浙江省嘉兴市南湖区2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（含解析）

嘉兴市南湖区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．两条平行直线：与：之间的距离是（ ）
A．0 B．2 C．1 D．
2．若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
3．若点在圆C：外，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，则椭圆的焦距的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
5．已知点分别是椭圆的左、右焦点，点在此椭圆上，则的周长等于（ ）
A．20 B．16 C．18 D．14
6．不论m取何值，直线都过定点（ ）
A． B． C． D．
7．设点，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题5分，共20分）
9．已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则曲线C是圆
B．若，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆
C．若，则曲线C是焦点在x轴上的双曲线
D．曲线C可以是抛物线
10．已知双曲线，则（ ）
A．渐近线方程为 B．焦点坐标是
C．离心率为 D．实轴长为4
11．对于抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．准线方程为 D．准线方程为
12．已知直线过原点，且，两点到直线的距离相等，则直线方程可以为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．若方程表示圆，则实数的取值范围是 .
14．求双曲线的渐近线为 .
15．直线，，若则 .
16．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的范围是 .
四、解答题（共70分）
17．（10分）已知圆，圆.
(1)试判断圆C与圆M的位置关系，并说明理由；
(2)若过点的直线l与圆C相切，求直线l的方程.
18．（12分）已知直线和点
(1)请写出过点且与直线平行的直线；
(2)求点关于直线的对称点的坐标.
19．（12分）已知直线，圆的圆心在轴正半轴上，且圆与和轴均相切.
(1)求圆的方程；
(2)若直线与圆交于，两点，且，求的值.
20．（12分）已知双曲线的实轴长为2，右焦点为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线与双曲线交于不同的两点，，求.
21．（12分）已知抛物线，点在抛物线上且到焦点的距离为2.
(1)求抛物线的方程，并求其准线方程；
(2)已知，直线与抛物线交于两点，记直线，的斜率分别为，，求的值.
22．（12分）已知椭圆，两点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交椭圆于两点，且线段的中点的横坐标为，过作直线，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
参考答案
1．D
【分析】根据平行直线间的距离公式求解即可.
【详解】直线：即，故与：的距离为
.故选：D
2．A
【分析】根据直线经过圆心即可求解.
【详解】由题意可得，直线过圆心，则，解得.故选：A
3．C
【分析】利用点与圆的位置关系，列出不等式求解即得.
【详解】由点在圆C：外，得，而，
所以实数m的取值范围是.故选：C
4．B
【分析】通过求出，然后求出即可求解．
【详解】椭圆的左、右焦点分别为、，可得，则，
则．故选：B．
5．C
【分析】由椭圆的定义求解．
【详解】根据椭圆方程可知，根据椭圆的定义可知，的周长为，故选：C
6．B
【分析】根据题意整理得，令，求解即可得定点.
【详解】因为，整理得，
令，解得，
所以直线过定点.故选：B.
7．C
【分析】利用直线斜率定义数形结合即可求得直线的斜率取值范围.
【详解】

直线过点，且与线段相交，
则直线的斜率取值范围是.故选：C
8．C
【分析】根据余弦定理即可求解.
【详解】由题意可知，，
在中，由余弦定理得，化简得，
则，所以，故选：C.
9．AC
【分析】根据圆、椭圆、双曲线、抛物线的有关知识求得正确答案.
【详解】A选项，当时，曲线，表示圆心在原点，
半径为的圆，所以A选项正确.
B选项，当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，B选项错误.
C选项，当时，，曲线表示焦点在轴上的双曲线，C选项正确.
D选项，由于是非零实数，所以的最高次项都是，
所以曲线不可能是抛物线，D选项错误.故选：AC
10．ABD
【分析】由双曲线方程求双曲线，焦点坐标，离心率，实轴长.
【详解】由双曲线方程为：，焦点在轴，
所以，
所以渐近线方程为，故A正确，
焦点坐标为，故B正确，
离心率为：，故C错误，
实轴长为：，故D正确，故选：ABD.
11．AD
【分析】把抛物线的方程化为标准方程，结合性质可得答案.
【详解】因为，所以，所以抛物线开口向上，焦点为，其准线方程为，结合选项可得A,D正确.故选：AD
12．AC
【分析】由题意先设出方程，根据已知条件建立方程解出直线的斜率即可
【详解】直线过原点，且，两点到直线的距离相等，
斜率必存在，设所求直线的方程为，
由已知及点到直线的距离公式可得：
，
解得或，
即所求直线方程为或.故选：AC.
13．
【分析】根据计算即可.
【详解】由题可知：
所以
故答案为：
14．
【分析】根据双曲线渐近线方程的求法求得正确答案.
【详解】双曲线的标准方程为，
所以，且双曲线的焦点在轴上，
渐近线方程为.
故答案为：.
15．或
【分析】根据直线垂直的判定列方程求参数即可.
【详解】由题设，故或.
故答案为：或
16．
【分析】方程表示焦点在轴上的椭圆的充要条件是，即可求解.
【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，
所以，解得.
故答案为：
17．(1)圆C与圆M相交，理由见解析
(2)或
【分析】（1）利用圆心距与半径的关系即可判断结果；
（2）讨论，当直线l的斜率不存在时则方程为，当直线l的斜率存在时，设其方程为，利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得出结果.
【详解】（1）把圆M的方程化成标准方程，得，
圆心为，半径.
圆C的圆心为，半径，
因为，
所以圆C与圆M相交，
（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为到圆心C距离为2，满足题意；
②当直线l的斜率存在时，设其方程为，
由题意得，解得，
故直线l的方程为.
综上，直线l的方程为或.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据点关于线对称列式求解即可；
（2）根据相关点法分析运算即可.
【详解】（1）
（2）设，由题意可得，解得，
所以点的坐标为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据题目条件求出圆心和半径，写出圆的方程；
（2）先求圆心到直线的距离，再利用弦长可得答案.
【详解】（1）设圆心为，半径为,
则由题意得，故该圆的方程为.
（2）圆心到直线的距离为，
由垂径定理得：，解得.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据实轴长可求，根据焦点坐标可求，然后可得方程；
（2）联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理和弦长公式可求答案.
【详解】（1）由已知，，
又，则，
所以双曲线方程为.
（2）由，得，
则，
设，，则，，
所以.
21．(1)抛物线的方程为，准线方程为
(2)
【分析】（1）由点在抛物线上且到焦点的距离为2，联立方程组解出即可；（2）设，，联立方程消元，韦达定理，用斜率公式写出，代入化简即可.
【详解】（1）由题意得，解得.
从而得到抛物线的方程为，
准线方程为；
（2）设，，
由
得，
∴，，
，
∴
所以的值为.
22．(1)
(2)证明见解析，
【分析】(1)分别讨论即可确定在上，即可求解；(2)利用点差法表示出的斜率，再表示出的直线方程，即可求出定点.
【详解】（1）显然不能同时在上，
若在上，则.
故在上，则，所以.
所以椭圆的方程为.
（2）设.
当时，设，显然.
联立，则，即.
又为线段的中点，故直线的斜率为.
又，所以直线的方程为，
即，显然恒过定点.
当时，过点.
综上所述，恒过定点.