高 2022 级高二（上）期中数学试题参考答案 → →→ → BD1·AC 1 6
∴cos〈BD1，AC〉＝ ＝ = .
满分 150 分 时间 120 分钟 → → 6|BD1||AC| 2 3
一、 单项选择题：（1---8 共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）. → → 6
即BD1与AC夹角的余弦值为 6 ...........................................................................12 分
二、多项选择题（9---12 共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）． （若用几何法相应给分）
19（1）证明：（法一）：取BC的中点G，连接GN , GB1
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
∵直三棱柱 ABC A1B1C1 中，M，N 分别为 A1B1 ，AC 的中点．
答案 B A D A A B C D AB ACD AB ABC 1 1
∴GN / / AB, B1M / / AB ................................2 分
2 2
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. ∴GN / /B1M ∴四边形B1MNG为平行四边形
5 ∴MN // B1G . .............................................................4 分 13. 36 14. 0 或 1 15. 16. 3 2 6
2 又∵MN 平面B1C1CB, B1G 平面B1C1CB
四、解答题：共 70 分．解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤． 故MN // 平面BCC1B1 .............................................6 分
17 解：（1）设 D ( x， y ) ，则 AB ( 1， 4），DC (4 x, 2 y) （法二）：取 AB的中点K，连接MK ,NK ，
由直三棱柱 ABC A1B1C1 可得四边形 ABB1A1为平行四边形
∵四边形 ABCD是平行四边形
∴ B1M //BK ∴四边形BB MK //BB1A1A为平行四边形 ∴ 1
∴ AB DC ，即（ 1， 4） (4 x, 2 y)
又∵MK 平面BCC1B1，BB1 平面BCC1B1
4 x 1 x 5 故MK // 平面BCC1B1 ..................................................2 分 ∴ ∴ D (5，2 )2 y 4 y 2 所以 ............................................5 分 ∵点N ,K分别为AC, AB的中点 ∴NK //BC，
y 3 x 2
由直线两点式知 AB 的方程为 4 x y 5 0 又∵
NK 平面BCC B，BC 平面BCC B
，即 .......7 分 1 1 1 1
1 3 1 2 ∴NK //平面BCC1B1 ...............................................................4 分
4 4 2 5 13 17 而NK MK K , NK ,MK 平面MKN
所以点C 到直线 AB 的距离 d ...............10 分
4 2 ( 1) 2 17 ∴平面MKN // 平面BCC1B1，
而MN 平面MKN ，故MN // 平面BCC B ...........................6 分
18 解： (1)由题意知： | a | | b | | c | 1 a,b b ,c c ,a 60 ， 1 1
（向量法同样给分）
1
∴ a b b c c a ....................................2 分
2 (2) 解：∵在直三棱柱 ABC A1B1C1 中又有 AB BC
又∵BD BA AA .......................4 分 1 1 A1D1 a c b
∴BC,BA,BB 1
两两垂直，分别以直线BC,BA,BB1为 x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角
2
∴ BD1 （b c a）
2 b 2 c 2 a 2 2b c 2b a 2c a 1 1 1 1 2 坐标系，则B 0,0,0 , A 0,2,0 ,N 1,1,0 ,M 0,1,2 ..............................................8 分
→ →
∴|BD1|＝ 2，即BD1的长为 2 .............................................................................6 分 ∴BA 0,2,0 ,BN 1,1,0 ,BM 0,1,2 ，
→
(2) ∵AC＝ AB AD a b → ∴|AC|＝ 3 ..............................................8 分 设n x, y, z 是平面BNM 的法向量
→ → n BN x y 0
BD1·AC＝（b c a) (a b ) a b a c a 2 b 2 b c a b 1 ..............10 分 则 ，取 z 1，则n 2,2, 1 ........................................10 分
n BM y 2z 0
高二（上）期中数学参考答案 1 / 3
{#{QQABKQCAoggIAAIAARgCAwFACgEQkBEAAKoGxFAEMAAAgBFABCA=}#}
4 2 1 7
设直线 AB与平面BNM 所成的角为 ，则sin | cos n,BA | ...............11 分 cos 2A 2cos2 A 1 2 ( )2 1
2 3 3 3 9
5
所以直线 AB与平面BNM 所成的角的余弦为cos 1 sin 2 . ....................12 分 6 5 3cosC 1 sin2 C 1 ( )2 .................................................9 分
3 9 9
20 解：（1）由频率分布直方图，得:（0.002+0.003+2a+0.006+0.001）×50=1， 4 2 5 3 7 6 6
∴ sin(2A C) sin 2AcosC cos 2AsinC
解得 a=0.004 ................................. ............................................................2 9 9 9 9 3分
6
因为专项贷款金额在[150，200）的频率最大，所以估计这 100 家中小微企业的专项贷款金额 所以sin(2A C) . .............................................................................12 分
3
1 2 2 2 2 2 2
的众数为 150 200 175万元 .................................................................................4 a c b (2 3) 1 3 3分 (法二)：由余弦定理可得cosB 2 2ac 2 2 3 1 3
20 1
（2）由题意知分层抽样抽取比例为 ，抽样的 20 家中小微企业中专项贷款金额在[200，300] 6
100 5 ∴ sin B 1 cos
2 B .....................................................................9 分
3
1
内应抽取的企业有100 (0.004 0.001) 50 5家. ................................6 分 ∴ sin(2A C) sin（ A C) A sin B A sin (B A) sin(B A)
5
4
在抽取的 5 家中小微企业中，专项贷款金额在[200，250）内的有5 4家，记为 A,B,C,D
6 1 3 2 2 6
； sin B cos A cosB sin A ( ) ......................12 分
5 3 3 3 3 3
1
专项贷款金额在[250，300]内的有5 =1家，记为 E． ..................................8 分 22（1）证明：∵在等腰梯形 ABCD中有 ， ， ABC 60
5 ∴ AB 2， AC 2 AB2 BC 2 2AB BC cos 60 3
从这 5 家中小微企业中随机抽取 3 家的可能情况为 ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD， ∴ AB2 AC 2 BC 2 ，则BC AC .................................................................2 分
BCE，BDE，CDE，共 10 种，其中这 3 家中小微企业的专项贷款金额都在[200，250）内的情 ∵平面 ACFE 平面 ABCD，平面 ACFE 平面 ABCD AC，BC 平面 ABCD
况为 ABC，ABD，ACD，BCD，共 4 种， ∴BC 平面ACFE ................................. ....................................... 3 分
4 2 （2）解(法一)：易知： AF AC 2 CF 2 ， 2 2
所以所求概率P
2 BF BC CF 2
． .......................................................................................12 分
10 5 14 1 14 7
1 ∴ ABF为等腰三角形，边BF 上的高为 ∴ S ABF 2
21 解：（1）因为a 2 3 ，b 3c，cos A 2 2 2 2
3 1 1
b2 c2 a2 9c2 c2 12 1 设点C到平面 ABF 的距离为h，由VC ABF VF ABC 得： S ABF h S ABC CF
由余弦定理可得cos A 3 3
2bc 6c2 3 1 7 1 1
解得：c＝1 ...............................................................................................................3 分 ∴ h 1 3 1
3 2 3 2
1 2 2
（2）cos A ， A 0, ，所以sin A 1 cos2 A 21 213 3 解得：h , 所以点 C 到平面 ABF 的距离为 ..............................................7 分
7 7
a c 2 3 1
由正弦定理 可得: (法二)：由 可建立分别以直线 ， ， 为 轴， 轴， 轴的如图所示空间直角坐标系
sin A sinC 2 2 sinC 则C(0,0,0), A( 3,0,0),B(0,1,0),F (0,0,1)
3
∴CA ( 3,0,0), AF ( 3,0,1), BF (0, 1,1)
6
解得sinC ....................................................................................................6 分
9 设m (x1, y , z )为平面 ABF 的一个法向量 1 1
2 2 1 4 2
(3) (法一) 由（2）得：sin 2A 2sin AcosA 2 ( )
3 3 9
高二（上）期中数学参考答案 2 / 3
{#{QQABKQCAoggIAAIAARgCAwFACgEQkBEAAKoGxFAEMAAAgBFABCA=}#}
z
m AF 3x z 0 x
1
1 1 1
由 3 ,
m BF y 1 z1 0 y1 z1
取 z1 3, ∴m (1, 3, 3) .......................................................................5 分
|CA m | 3 21
所以点 C 到平面 ABF 的距离为 . ...........................................7 分
|m | 7 7
解：由 可建立分别以直线 ， ， 为 轴， 轴， 轴的如图所示空间直角坐标系，
令FM (0 3)，则C(0,0,0), A( 3,0,0),B(0,1,0)，M ( ,0,1)
2则PA PD PE EA PE ED PE2 PE EA ED EA ED PE 36，
∴ AB ( 3,1,0),BM ( , 1,1)
MAB 显然，当PE的长度最小时， 取得最小值，
设 n (x , y , z ) 为平面平面 的一个法向量，则 PA PD1 2 2 2
n AB 3x y 0 y2 3x2 设正四面体内切球的球心为O，可求得OA h r 3 6 ， 1 2 2 ，
n BM x y z 0 z2 3 x1 2 2 2 2 则球心O到点E的距离d OA2 AE2 3 2 ，
取 x2 1，则 ...........................................................9 分
所以内切球上的点 P到点E的最小距离为d r 3 2 6 ，
易知 是平面 的一个法向量 ...............................................10 分
| n n | 1 1 即当 取得最小值时，点 P到 AD的距离为3 2 6 ．
∴ cos 1 2
PA PD
n1 n2 1 3 ( 3 )
2 1 ( 3)2 4
故答案为：3 2 6 ．
∵ , ∴ 2 （ 3）2 4 7
7 1 1
∴
7 ( 3)2 4 2
7 1
故 cos 的取值范围为 ， . ............................................................................12 分
7 2
16 题解析：由正四面体 ABCD的棱长为 12，则其高为h 4 6 ，
1 1 3
则其体积为V 12 12 4 6 144 2 ，
3 2 2
设正四面体 ABCD内切球的半径为 r ，
1 1 3
则V 4 12 12 r 144 2 ，解得 r 6 ，
3 2 2
如图，取 AD的中点为E，
高二（上）期中数学参考答案 3 / 3
{#{QQABKQCAoggIAAIAARgCAwFACgEQkBEAAKoGxFAEMAAAgBFABCA=}#}m,n
2022 6． 设 是两条不同的直线， , 是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）高 级高二上期期中考试
A．若m∥ , ，则m B．若m ,n ,n ，则m
数 学 试 题 C．若m n,n , ，则m D．若m / / 且 n / / ，则m // n
总分 150 分 考试时间 120 分钟 7．第 31届世界大学生夏季运动会于 2023年 7月 28
日在成都东安湖体育公园开幕．公园十二景中的第
一景东安阁，阁楼整体采用唐代风格、萃取太阳神
注意事项：
鸟形象、蜀锦与宝相花纹（芙蓉花）元素，严谨地
1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
按照唐式高阁的建筑形制设计建造，已成为成都市
2．答选择题时，必须使用 2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干
文化新地标，面向世界展现千年巴蜀风韵．某数学
净后，再选涂其它答案标号。
兴趣小组在探测东安阁高度的实践活动中，选取与阁底 A 在同一水平面的 B，C 两处作为观测点，
3．答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。
测得 BC 36m， ABC=45 ， ACB 105 ，在 C 处测得阁顶 P 的仰角为 45°，则他们测得东安阁
4．考试结束后将答题卡交回。
的高度 AP 为（精确到0.1m，参考数据： 2 1.41， 3 1.73）（ ）
一 单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 A．72.0m B．51.0m C．50.8m D．62.3m
合题目要求的. 8．南高学生到南充内燃机厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如
1．直线 3x - y - 5 = 0的倾斜角为（ ） 图，该模型为长方体 ABCD A1B1C1D1 挖去四棱锥O EFGH 后所得的
A．30 B． 60 C．120 D．150 几何体，其中O为长方体的中心， E,F ,G,H 分别为所在棱的中点，
2．水平放置的△ABC 的直观图如图所示，D 是 A B C 中 B C 边的中点， AB = BC =12cm, AA1 = 8cm，3D 打印所用原料密度为0.9g / cm3 ，不
且 A D 平行于 y 轴，则 A B , A D , A C 对应于原△ABC 中的线段 AB， 考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为（ ） g ．
AD，AC，对于这三条线段，正确的判断是（ ） A．86.4 B．172.8
A．最短的是 AD B．最短的是 AC C．864 D．950.4
C．AB>AC D．AD>AC 二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
5 2 5 2 部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.3．若 0, ， cos cos sin sin 0，则 的值是（ ）
3 3 3 3 9．设复数 z 1 2i ， i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A B C D A．
z 的共轭复数为1 2i B． z 5
． ． ． ．
6 4 3 2 C． z2 5 4i D． z i4 1 2i
4．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， AC 2，CC1 BC 1， AC BC ， 10．将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件 A “第一次出现奇数点”，事件 B “两次点数之积为偶数”，
则异面直线 AC 与 BC1所成角大小为（ ） 事件C “两次点数之和为 5”，则（ ）
A．90 B．60 C． 45 D．30 A．事件 B 包含事件C B．事件A与事件 B 是互斥事件
5．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两 C．事件 A B 是必然事件 D．事件A与事件C 是相互独立事件
次命中的概率：先由计算机产生 0到 9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表 11．如图所示，四边形 ABCD为梯形，其中 AB / /CD ，AB 2CD ，M ，N 分别为 AB，CD的中点，则
示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下 12组随机数： 下列表示正确的是（ ）
137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257，据此估计，该运动员三次投篮恰有 A． AC AD
1 1 1
AB B．CM CA CB
两次命中的概率为（ ） 2 2 2
1 1 3 5 5 1
A． B C D C．MN AD AB D． BC AD AB． ． ．
4 8 12 8 4 2
高 2022级 数学试题 第1页，共 4页 高 2022级 数学试题 第 2页，共 4页
{#{QQABKQCAoggIAAIAARgCAwFACgEQkBEAAKoGxFAEMAAAgBFABCA=}#}
1 1 20．（12分）2023年，某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持．下图
12．如图，棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 M 、N 满足 AM AC1 ，CN CD ，点 P3 2 是该地 100家中小微企业的专项贷款金额（万元）的频率分布直方图．
是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（ ）
（1） 确定 a 的值，并估计这 100家中小微企业的专项贷款金额的众数；
A． DM AC1
（2） 从这 100家中小微企业中按专项贷款金额分层抽样随机抽取 20家，再从这 20家专项贷款金
B． DM ∥平面CB1D1
额在[200，300]内的企业中随机抽取 3家，求这 3家的专项贷款金额都在[200，250）内的概率．
C．若 B1P ∥平面 A1NC1，则 B1P 的最大值为 5
D．若 B1P ∥平面 A1NC1，则点 P 的轨迹长度为6 2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．已知一组数据：24，30，40，44，48，52．则这组数据的第 30百分位数和第 50百分位数的平均数
为 ．
14．直线 l1 :mx y 1 0， l2 : 3m 2 x my 2 0，若 l l ，则实数m的值为 ． 1 2
15．已知OA 0,0,1 , OB 2, 1,2 ，则三角形OAB 的面积为 ．
16．正四面体 ABCD的棱长为 12，点 P 是该正四面体内切球球面上的动点，当PA PD取得最小值时，
点 P 到 AD 的距离为 ．
1
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21．（12分）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知 a＝2 3，b 3c，cos A ．3
17．（10分）已知四边形 ABCD的三个顶点 A (2，3）， B(1， 1），C(4, 2)．
（1）求 c 的值；
（1）若四边形 ABCD是平行四边形，求顶点 D 的坐标；
（2）求 sinC 的值；
（2）求点C 到直线 AB 的距离．
（3）求 sin(2A+C)的值．
18．（12分）如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，以顶点 A 为端点的三条棱长度都为 1，且两两
→
夹角为 60°．记AB →＝ a，AD b A→＝ ， A1＝ c .
22．（12分）如图，在等腰梯形 ABCD中，AB CD， ABC 60 ，四边形 ACFE为矩形，平面 ACFE
（1） 求 BD1 的长； 平面 ABCD， = = = = 1.
（2） 求 BD 与 AC 夹角的余弦值． （1） 求证： BC 平面 ACFE；1
（2） 求点C 到平面 ABF 的距离；
（3） 若点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 的夹角为 ，试求cos 的取值范围．
19．（12分）如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， AB BC， AB BC 2，M，N 分别为 A1B1，AC
的中点．
（1） 求证：MN∥平面 BCC1B1；
（2） 求直线 AB 与平面 BMN 所成角的余弦值．
高 2022级 数学试题 第3页，共 4页 高 2022级 数学试题 第 4页，共 4页
{#{QQABKQCAoggIAAIAARgCAwFACgEQkBEAAKoGxFAEMAAAgBFABCA=}#}
