合肥市六校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考
数学试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.直线 的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.如右图，直三棱柱中，若，，，则等于( )
A. B. C. D.
3.已知圆的方程 圆心坐标为，则它的半径为( )
A. B. C. D.
4.如果向量，，共面，则实数的值是( )
A. B. C. D.
5.已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为( )
A. B.
C. D.
6.如右图，已知点在正方体的对角线上，
设，则的值为( )
A. B. C. D.
7.从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为( )
A. B. C. D.
8.在正方体中，若棱长为，，分别为线段，上的动点，则下列结论错误的是( )
A. 平面 B. 直线与平面所成角的正弦值为定值
C. 平面平面 D. 点到平面的距离为定值
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.正方体的棱长为，体对角线与，相交于点，则( )
A. B. C. D.
10.下列说法中，正确的有( )
A. 点斜式可以表示任何直线
B. 直线在轴上的截距为
C. 点到直线的的最大距离为
D. 直线关于对称的直线方程是
11.已知，，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 为钝角 D. 在方向上的投影向量为
12.以下四个命题表述正确的是( )
A. 直线恒过定点
B. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点
C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则
D. 圆上存在个点到直线的距离都等于
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知，方程表示圆，圆心为 ．
14.已知正方体的棱长为，点是的中点，则点到直线的距离是 ．
15.若圆，与圆：相交于，，则公共弦的长为__________．
16.如图，把边长为的正方形纸片沿对角线折起，设二面角的大小为，异面直线与所成角为，当时，的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分求经过直线：与直线：的交点，且满足下列条件的直线方程．
与直线平行；
与直线垂直．
18.本小题分如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，，，设，，．
求的值；
求的值．
19.本小题分已知三角形的三个顶点的坐标为、、试求：
边上的高所在的直线方程
三角形的面积．
20.本小题分在正方体中，已知为中点，如图所示．
求证：平面
求异面直线与夹角大小．
21.本小题分已知点，，直线：，设圆的半径为，圆心在直线上．
若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；
若圆上存在点，使，为坐标原点，求圆心的横坐标的取值范围．
22.本小题分如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，，底面为直角梯形，其中，，，为中点．
求直线与平面所成角的余弦值；
线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求出的值；若不存在，请说明理.合肥市六校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考
数学试卷参考答案
一、单选题
1. ；2. ；3. ；4.B；5. ；6.； 7.； 8..
二、多选题（每题5分，部分对给2分，有选错误答案的0分）
9. ；10. ；11. ；12.；
三、填空题（每题5分）
13. ；14. ；15.；16. .
四、解答题
17.（本题10分）解：联立解得，可得交点．………2分
若直线平行于直线，则斜率为，
故可得方程为，即. ………………………………… 6分
若直线垂直于直线，则斜率为，
故可得方程为，即． ………………………………… 10分
18.（本题12分）Ⅰ，………2分
，，
， ………………………………………………5分
， 即有. ………………………………………8分
Ⅱ … … 12分
19.（本题12分）解：因为，则边上的高的斜率为， ……2分
又经过点，故方程为，化简得． …………………… 4分
， ………………………………………6分
直线方程为，整理得， …………………………… 8分
则到的距离为， ……………………………………………………… 10分
则的面积为． …………………………… 12分
20.（本题12分）证明：在正方体中，因为，，两两垂直，
故以为原点，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系如图：…………1分
不妨设正方体的棱长为1，则，故，，
设平面的一个法向量为，
由得令，则，
所以． ………………………………… 4分
又，，所以， ………………………………… 5分
从而，所以平面 …………………………………6分解：设、分别为直线与的方向向量，则由，
得． ……………………………………………………… 10分
所以两异面直线与的夹角的大小为． ………………………………12分
21.（本题12分）解：由，得：，
所以圆：， ………………………………2分
当切线的斜率存在时，设切线方程为，
由，解得：， ………………………………………………………4分
当切线的斜率不存在时，切线方程为，满足题意.………………………………5分
所以切线的方程为：或． ………………………………6分
由圆心在直线：上，设，
设点，由，
得：，化简得：， ………………………9分
所以点在以为圆心，为半径的圆上．
又点在圆上，所以圆与圆有交点，
则，即，解得：或．………12分
22（本题12分.解：在中，，为中点，所以，
又侧面 底面，
平面平面，平面，
所以平面． ………………………………………………………2分
又在直角梯形中，易得，
所以以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系． …………3分
则，，，，；
，，，且，，平面，
故平面，所以是平面的一个法向量，
设与平面所成角为，
， ………………………5分
所以与平面所成角的余弦值为．…………6分
假设存在，且设．
因为，，
，所以．
设平面的法向量中，则
取，得． ……………………………………………9分
平面的一个法向量为， …………………………………………10分
要使二面角的余弦值为，需使．
整理化简得：，得或舍去，所以存在，且．……12分
