宜春市五校2023-2024学年高一上学期11月第一次联考
数学试题
考试范围：必修一、必修二(1～4章) 考试时间：2023.11.16
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．“函数在上单调递减”是“函数是偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．定义在上的偶函数在区间上单调递增，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．函数的零点所在的大致区间为（ ）
A． B． C． D．
5．函数在上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知边长为2的菱形中，，点E是BC上一点，满足，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知是定义在上的奇函数，且，当且时.已知，若对恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列选项中，与的值相等的是（ ）
A． B．
C． D．
10．的内角，，的对边分别为，，，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则是钝角三角形
C．若，则为等腰三角形
D．若，则符合条件的有两个
11．下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小值为2 B．若正实数a，b满足，则的最小值为
C．关于x的不等式的解集是，则
D．函数（且）的定义域为R，则实数m的取值范围是
12．已知函数，则以下结论正确的是（ ）．
A．函数为增函数 B．，，
C．若在上恒成立，则自然数n的最小值为2
D．若关于的方程有三个不同的实根，则
二、填空题（20分）
13．，且，则 .
14．已知集合，，若，则实数m组成的集合为 .
15．已知若对任意，不等式恒成立，的取值范围为 ．
16．已知x，y均为正数，则的最大值是 .
三、解答题
17．（10分）
(1) 已知角的终边经过点．求的值．
．
18．（12分）在①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题.设全集，______，
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
19．（12分）我校近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，今年月我校进行一次化学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取名同学将其成绩百分制，均为整数分成六组：第组，第组，第组，第组，第组，第组，得到部分频率分布直方图如图，观察图形中的信息，回答下列问题：
求补全这个频率分布直方图，并利用组中值估计本次考试成绩的平均数；
从频率分布直方图中，估计第百分位数是多少；
已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于分时为优秀等级，若从第组和第组两组学生中，随机抽取人，求所抽取的人中至少人成绩优秀的概率．
20．（12分）已知，，，函数的最小正周期为.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，a=2,求周长的取值范围.
21．（12分）已知函数为奇函数．
（1）求实数的值，判断函数的单调性，给出证明；
（2）若存在，使在区间上的值域为，求实数的取值范围．
22．（12分）已知函数．
求方程在上的解集；
求证：函数有且只有一个零点，且数学试卷答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D B D D B B C A ABD AB BC BCD
14、 15、 () 16、
17．解：由三角函数的定义可知 ........................2分
． ........................5分
（2） ．........................10分
18．解：（1）若选①：
，...........................2分
， 所以，.......................4分
，，
故.........................6分
若选②：
...........................2分
，所以，..........................4分
，，
故.........................6分
（2）由（1）知，，
因为“”是“”的充分不必要条件，
若，即，此时，所以等号不同时取得，
解得.故..........................8分
（2）若，则，不合题意舍去；........................10分
（3）若，即，此时，等号不同时取得，解得.
综上所述，a的取值范围是...................................................12分
19．解：第五组数据频率为，
对应纵轴数值为，补全这个频率分布直方图如下：
............................................2分
平均数；.........................4分
第百分位数是；........................7分
第五组与第六组学生总人数为，
其中第五组有人记为、、、，第六组有人记为、、，
从中随机抽取人的情况有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、共有种，
其中至少人成绩优秀的情况有种，
所抽取的人中至少人成绩优秀的概率． ..................................................12分
20．（1）因为，，则，
，
故，
因为最小正周期为，所以，所以，故，.....................................4分
由，，解得，，
所以的单调递增区间为，......................................6分
（2）由（1）及，即，又，所以，解得，
又为锐角三角形，即，即，解；............................................8分
..........................................10分
又
.....................................................12分
21．（1）因为函数为奇函数，所以，
即对定义域内任意恒成立，所以，即，
显然，又当时，的定义域关于原点对称．
所以为满足题意的值．.........................................................................3分
单调性：在，上均为增函数．...................................................................4分
证明：由（1）知，其定义域为，
任取，不妨设，则，
因为，又，
所以，所以，即，所以在上为增函数．
同理，在上为增函数． .............................................................................................6分
（2）由（1）知在上为增函数，又因为函数在上的值域为，
所以，且，所以，
即是方程的两实根， .........................................................................................8分
问题等价于方程在上有两个不等实根，
令，对称轴
则， 解得．.......................................................................12分
22．解：
所以．所以或
当时，显然，则，
又，所以，........................................................................3分
当，则，又．
所以或，所以，
所以方程在上的解集为 ....................................6分
证：设，
当，则，此时在单调递增，
在也单调递增，所以在单调递增，
，，所以在时有唯一零点，
当，所以，所以在没有零点，
当时，，所以，所以，所以在没有零点，
综上，在有唯一零点，...................................................................8分
所以，且，
所以，
所以
，
令，因为，所以，
又，则，
所以．
故函数有且只有一个零点，
且 ....................................................12分
