浙江省高中联盟2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

浙江省高中联盟2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；
4．参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析。
一．单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知直线l：，则直线l的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．若复数z满足：，则复数z的虚部为（ ）
A．-3 B．2 C．3 D．
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．若函数的图象关于直线对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．直三棱柱中，，，D，E分别为AC，BC的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
第5题图
A． B． C． D．
6．若关于x的不等式在上有解，则实数m的最小值为（ ）
A．9 B．5 C．6 D．
7．设椭圆：与双曲线：的离心率分别为，，且双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，四棱锥中，，，△ACD是正三角形，，平面平面PBC，若点F是△PAD所在平面内的动点，且满足，点E是棱PC（包含端点）上的动点，则当直线AE与CD所成角取最小值时，线段EF的长度不可能为（ ）
第8题图
A． B． C． D．
二．多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错或不选的得0分）
9．下列命题正确的是（ ）
A．集合的子集共有8个
B．若直线：与：垂直，则
C．若（x，），则的最大值为5
D．长、宽、高分别为1、2、3的长方体的外接球的表面积是
10．已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．不存在，使得 B．当时，
C．对任意，都有 D．当时，在方向上的投影向量的模为
11．已知直线l：，：，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l恒过定点
B．直线l与必定相交
C．与：公共弦所在直线方程为
D．当时，直线l与的相交弦长是
12．设椭圆C：的左、右焦点分别为、，椭圆C的右顶点为A，点P、Q都在椭圆C上且P、Q关于原点对称，直线与椭圆C相交于点M、N，则下列说法正确的是（ ）
A．四边形不可能是矩形
B．周长的最小值为6
C．直线PA，QA的斜率之积为定值
D．当的周长最大时，的面积是
三．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应的横线上）
13．若双曲线上一点M与它的一个焦点的距离为9，则点M与另一个焦点的距离为________．
14．已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积是________．
15．若直线l：与曲线C：只有一个公共点，则实数m的取值范围是________．
16．已知扇形OPQ中，半径，圆心角为，若要在扇形上截取一个面积为1的矩形ABCD，且一条边在扇形的一条半径上，如图所示，则的最小值为________．
第16题图
四．解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若，AC边上的中线，求△ABC的面积S．
18．（12分）亚洲运动会简称亚运会，是亚洲规模最大的综合性运动会，由亚洲奥林匹克理事会的成员国轮流主办，每四年举办一届．1951年第1届亚运会在印度首都新德里举行，七十多年来亚洲运动员已成为世界体坛上一支不可忽视的力量，而中国更是世界的体育大国和亚洲的体育霸主．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举办，为普及体育知识，增强群众体育锻炼意识，衢州举办了亚运知识竞赛活动．活动分为男子组和女子组进行，最终决赛男女各有40名选手参加，下图是其中男子组成绩的频率分布直方图（成绩介于85到145之间），
（1）求图中缺失部分的直方图的高度，并估算男子组成绩排名第8的选手分数：
（2）若计划从男子组中105分以下的选手中随机抽样调查2个同学的答题状况，则抽到的选手中至多有1位是95分以下选手的概率是多少？
（3）若女子组40位选手的平均分为117，标准差为11，试求所有选手的平均分和方差．
19．（12分）已知双曲线C的渐近线方程是，点在双曲线C上．
（1）求双曲线C的离心率e的值；
（2）若动直线l：与双曲线C交于A，B两点，问直线MA，MB的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
20．（12分）如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，，，M为AD的中点．
（1）若，求证：；
（2）若二面角的余弦值为，求直线PB与平面PAD所成角的正弦值．
21．（12分）已知函数．
（1）当时，求函数的值域；
（2）若不等式对恒成立，求实数a的最小值．
22．（12分）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的倍．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设过焦点F的直线l与椭圆C交于A、B两点，是椭圆的另一个焦点，若内切圆的半径，求直线l的方程．
浙江省高中联盟2023-2024学年高二上学期期中考试
数学参考答案
1．C 2．A 3．B 4．C 5．D
6．B 7．C 8．A 9．ACD 10．ABD
11．BC 12．BCD
1．解：，故选C
2．解：，故选A
3．解：，故选B
4．解：，，，，，…，故选C
5．解：以BA为x轴，BC为y轴，为z轴，得，，，，，故选D
6．解：有解有解，故选B
7．解：，，，设，，，故选C
8．解：，，点F的轨迹是椭圆，；
AE与CD所成的角等于AE与AB所成的角，即，
由三余弦定理得：，此时E与C重合，
设AD的中点为O，则，∵
故选A
9．解：A的子集共有个，故A正确；或1，故B不正确；
令，，故C正确；，故D正确；故选：ACD
10．解：不存在，故A正确；，故B正确；
若，存在，故C不正确；
，故D正确；故选：ABD
11．解：，直线恒过定点，故A不正确；，∴定点在内，故B正确；公共弦：，故C正确；：，，弦长，故D不正确；故选：BC
12．解：，，，有可能成立，故A不正确；由对称性知：，∴周长为，故B正确；
，，，故C正确；
由草图得：，设，，周长为，此时，，故D正确；故选BCD
13．解：，，或3，故填：15或3
14．解：；，，故填：
15．解：l：，C：，由草图得：；
若相切，则，∴；故填：
16．解：设，，，
，∴当时，，故填：
17．解：（1）；
（2）
18．解：（1），∴图中缺失部分的直方图的高度；人，人，，∴排名第8的选手分数为131；
（2）人，人，总数，
，抽到的选手中至多有1位是95分以下选手的概率是
（3）男子组40位选手的平均分，∴所有选手的平均分；女子组的方差，
男子组的方差
所有选手的方差
综述：所有选手的平均分，所有选手的方差
19．解：（1）设C：，∵，：，，；
（2）设，，的根为，，
且，
同理：，
20．解：（1），，同理：，
∵，平面PMC，；
（2）设CD的中点为N，AB的中点为E，正，∵
∴，∵，作于点，
，，设，则，
，，
，，
，∴．
21．解：（1），①；
②；综述：函数的值域是；
（2），，
①，不符题意，∴舍去；
②，
；综述：
22．解：（1），焦点在x轴上，，：
（2）设，的根为，，
，又∵
∴：