云南省昆明市昆八中2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 云南省昆明市昆八中2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 696.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-19 06:15:51 | ||
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文档简介
昆八中2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试卷
试卷满分：150分 考试时间：120分钟
一、单选题（每个小题只有一个正确选项，每小题5分，共40分）
1.若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
4.设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
5.已知定义在上的函数满足，且为偶函数，若在上单调递减，则下面结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6.一个袋中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球和2个白球，从中一次性随机摸出2个球，则下列说法正确的是（ ）
A.“恰好摸到2个红球”与“恰好摸到2个白球”是相互独立事件
B.“恰好没摸到红球”与“至多摸到1个白球”，是对立事件
C.“至少摸到1个红球”的概率大于“至少摸到1个白球”的概率
D.“恰好摸到1个红球”与“至少摸到1个白球”是互斥事件
7.已知圆上有四个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，若且，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二.多选题（每个小题有不止一个正确选项，每小题5分，共20分）
9.已知圆和圆相交于，两点，下列说法正确的为（ ）
A.两圆有两条公切线 B.直线的方程为
C.线段的长为 D.圆上点，圆上点，的最大值为
10.已知直线、，平面、，给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A.若，，且，则 B.若，，则
C.若，，且，则 D.若，，且，则
11.函数，下列命题为真命题的是（ ）
A.， B.，
C.，都不是偶函数 D.，是奇函数
12.已知椭圆的焦点在轴上，且，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，则下列结论正确的是（ ）
A. B.的离心率为
C.存在，使得 D.面积的最大值为
三、填空题.（每小题5分，共20分）
13.设向量，夹角的余弦值为，且，，则______.
14.正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为2，点、、、、都在同一球面上，则此球的体积为______.
15.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节，活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为60°），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为______.
16.已知，，，则的最大值为______.
四、解答题（共6个小题，共70分）
17.（本题满分10分）已知圆，直线过点.
（1）当直线与圆相切时，求直线的斜率；
（2）线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.
18.（本题满分12分）为庆祝“十一”国庆节，昆明市有关单位举行了爱国知识竞赛活动，为了解全市参赛者成绩的情况，从所有参赛者中随机抽样抽取100名，将其成绩整理后分为6组，画出频率分布直方图如图所示（最低90分，最高150分），但是第一、二两组数据丢失，只知道第二组的频率是第一组的2倍.
（1）求第一组、第二组的频率各是多少？并补频率分布直方图；
（2）现划定成绩大于或等于上四分位数即第75百分位数为“良好”以上等级，根据直方图，估计全市“良好”以上等级的成绩范围（保留1位小数）；
（3）现知道频率分布直方图中成绩在内的平均数为136，在内的平均数为144，求成绩在内的平均数.
19.（本题满分12分）已知函数的最小正周期为.
（1）求的值；
（2）若方程在区间上有两个不等的实根，求的取值范围.
20.（本题满分12分）如图，已知长方形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面平面.
（1）求证：；
（2）若是线段的中点，求平面与平面的夹角的余弦值.
21.（本题满分12分）已知中，内角，，所对的边分别是，，，且满足.
（1）求角；
（2）若点在线段上，平分，，且，求的面积.
22.（本题满分12分）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点，为椭圆上异于，的两个动点，面积的最大值为2.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线，的斜率分别为，，和的面积分别为，.若，求的最大值.
昆八中2023-2024学年高二上学期期中考试
答案及其解析
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B B D B A C
二、多选题
题号 9 10 11 12
答案 ACD AD BD ACD
三、填空题
13.11 14. 15. 16.
四、解答题
17.解：（1）已知的圆心是，半径是，
设直线斜率为，则直线方程是，即，
则圆心到直线距离为，解得直线的斜率.
（2）设点，则，由点是的中点得，，所以①
因为在圆上运动，所以②
①代入②得，，化简得点的轨迹方程是.
18.解：（1）设第一组的频率为，则第二组的频率为，依题意
，解得，所以第一组的频率为0.04，则第二组的频率为0.08，补全频率分布直方图如下：
（2）由，设上四分位数为，则，
所以，解得，
所以全市“良好”以上等级的成绩范围；
（3）有图可知，成绩在的频率为；
成绩在的频率为，成绩在的频率为，
显然，，成绩在内的平均数为；
19.解：（1）
函数的最小正周期，∴；
（2）由（1），
方程在区间上有两个不等的实根，即函数的图象与直线在区间有两个交点，当时，
∴当，即时，方程在区间上有两个不等的实根；
故的取值范围是.
20.解：（1）∵长方形中，，，为的中点，
∴，∴，
∵平面平面，平面平面，平面
∴平面∵平面∴；
（2）取的中点，取中点为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的直角坐标系，
则，，，，，
由（1）平面，则平面的一个法向量为
又，设平面的一个法向量，
则，取，得，
∴，所以二面角的余弦值为.
21.（1）解：∵，由正弦定理得：，
即，则，
又在中，，，故，故.
（2）由题可知，设，则，，
由正弦定理得：，，即，，
解得，由余弦定理得，
解得；又，故.
由余弦定理得，即，
解得，则，.的面积为.
22.（1）椭圆的标准方程为.
（2）
设点，，若直线的斜率为零，由对称性知，，
则，，，不合题意.
设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右顶点，则
联立得，由可得，
，，
所以，解得：.
即直线的方程为，故直线过定点.
由韦达定理可得，
由平面几何知识，，
所以，，
设，当时，单调增，
因为，所以，因此，的最大值为.
数学试卷
试卷满分：150分 考试时间：120分钟
一、单选题（每个小题只有一个正确选项，每小题5分，共40分）
1.若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
4.设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
5.已知定义在上的函数满足，且为偶函数，若在上单调递减，则下面结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6.一个袋中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球和2个白球，从中一次性随机摸出2个球，则下列说法正确的是（ ）
A.“恰好摸到2个红球”与“恰好摸到2个白球”是相互独立事件
B.“恰好没摸到红球”与“至多摸到1个白球”，是对立事件
C.“至少摸到1个红球”的概率大于“至少摸到1个白球”的概率
D.“恰好摸到1个红球”与“至少摸到1个白球”是互斥事件
7.已知圆上有四个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，若且，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二.多选题（每个小题有不止一个正确选项，每小题5分，共20分）
9.已知圆和圆相交于，两点，下列说法正确的为（ ）
A.两圆有两条公切线 B.直线的方程为
C.线段的长为 D.圆上点，圆上点，的最大值为
10.已知直线、，平面、，给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A.若，，且，则 B.若，，则
C.若，，且，则 D.若，，且，则
11.函数，下列命题为真命题的是（ ）
A.， B.，
C.，都不是偶函数 D.，是奇函数
12.已知椭圆的焦点在轴上，且，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，则下列结论正确的是（ ）
A. B.的离心率为
C.存在，使得 D.面积的最大值为
三、填空题.（每小题5分，共20分）
13.设向量，夹角的余弦值为，且，，则______.
14.正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为2，点、、、、都在同一球面上，则此球的体积为______.
15.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节，活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为60°），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为______.
16.已知，，，则的最大值为______.
四、解答题（共6个小题，共70分）
17.（本题满分10分）已知圆，直线过点.
（1）当直线与圆相切时，求直线的斜率；
（2）线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.
18.（本题满分12分）为庆祝“十一”国庆节，昆明市有关单位举行了爱国知识竞赛活动，为了解全市参赛者成绩的情况，从所有参赛者中随机抽样抽取100名，将其成绩整理后分为6组，画出频率分布直方图如图所示（最低90分，最高150分），但是第一、二两组数据丢失，只知道第二组的频率是第一组的2倍.
（1）求第一组、第二组的频率各是多少？并补频率分布直方图；
（2）现划定成绩大于或等于上四分位数即第75百分位数为“良好”以上等级，根据直方图，估计全市“良好”以上等级的成绩范围（保留1位小数）；
（3）现知道频率分布直方图中成绩在内的平均数为136，在内的平均数为144，求成绩在内的平均数.
19.（本题满分12分）已知函数的最小正周期为.
（1）求的值；
（2）若方程在区间上有两个不等的实根，求的取值范围.
20.（本题满分12分）如图，已知长方形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面平面.
（1）求证：；
（2）若是线段的中点，求平面与平面的夹角的余弦值.
21.（本题满分12分）已知中，内角，，所对的边分别是，，，且满足.
（1）求角；
（2）若点在线段上，平分，，且，求的面积.
22.（本题满分12分）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点，为椭圆上异于，的两个动点，面积的最大值为2.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线，的斜率分别为，，和的面积分别为，.若，求的最大值.
昆八中2023-2024学年高二上学期期中考试
答案及其解析
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B B D B A C
二、多选题
题号 9 10 11 12
答案 ACD AD BD ACD
三、填空题
13.11 14. 15. 16.
四、解答题
17.解：（1）已知的圆心是，半径是，
设直线斜率为，则直线方程是，即，
则圆心到直线距离为，解得直线的斜率.
（2）设点，则，由点是的中点得，，所以①
因为在圆上运动，所以②
①代入②得，，化简得点的轨迹方程是.
18.解：（1）设第一组的频率为，则第二组的频率为，依题意
，解得，所以第一组的频率为0.04，则第二组的频率为0.08，补全频率分布直方图如下：
（2）由，设上四分位数为，则，
所以，解得，
所以全市“良好”以上等级的成绩范围；
（3）有图可知，成绩在的频率为；
成绩在的频率为，成绩在的频率为，
显然，，成绩在内的平均数为；
19.解：（1）
函数的最小正周期，∴；
（2）由（1），
方程在区间上有两个不等的实根，即函数的图象与直线在区间有两个交点，当时，
∴当，即时，方程在区间上有两个不等的实根；
故的取值范围是.
20.解：（1）∵长方形中，，，为的中点，
∴，∴，
∵平面平面，平面平面，平面
∴平面∵平面∴；
（2）取的中点，取中点为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的直角坐标系，
则，，，，，
由（1）平面，则平面的一个法向量为
又，设平面的一个法向量，
则，取，得，
∴，所以二面角的余弦值为.
21.（1）解：∵，由正弦定理得：，
即，则，
又在中，，，故，故.
（2）由题可知，设，则，，
由正弦定理得：，，即，，
解得，由余弦定理得，
解得；又，故.
由余弦定理得，即，
解得，则，.的面积为.
22.（1）椭圆的标准方程为.
（2）
设点，，若直线的斜率为零，由对称性知，，
则，，，不合题意.
设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右顶点，则
联立得，由可得，
，，
所以，解得：.
即直线的方程为，故直线过定点.
由韦达定理可得，
由平面几何知识，，
所以，，
设，当时，单调增，
因为，所以，因此，的最大值为.
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