12.3 角平分线的性质 第2课时 课件(共19张PPT) 2023-2024学年人教版八年级数学上册

(共19张PPT)
第2课时 角平分线的判定
12.3 角平分线的性质
学习目标
1.掌握角的平分线的性质“到角两边距离相等的点在角的平分线上”.2.能应用性质解决一些简单的实际问题.
新课导入
壹
我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，反过来，到角的两边的距离相等的点是否在这个角的平分线上呢？这节课我们来对这个问题进行探究.
课堂导入
讲授新知
贰
　　角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上？也就是交换角的平分线的性质中的已知和结论。下面我们证明这个命题的正确性.
已知：如图所示，PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE．
求证：点P 在∠AOB的平分线上（OP平分∠AOB）．
证明：因为 PD⊥OA，PE⊥OB（已知），
所以∠PDO =∠PEO=90°．
在Rt△PDO和Rt△PEO中，

所以 Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）．
所以∠POD =∠POE．即点P 在∠AOB的平分线上．
知识点1　角平分线的判定定理
讲授新知
角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
O
A
B
C
P
D
E
┐
（1）使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部；
（2）角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要办法.
几何表示：
如图所示，因为点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，所以点P在∠AOB的平分线OC上.
由命题的正确性我们可得判定定理
讲授新知
P
如图所示：P点即为所求 ;理由如下：
P点在这个交叉口的角平分线上，
所以P点到公路与铁路的距离相等.
　例1 如图所示，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路的交叉处500 m. 这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？
图上距离
500m
1
20000
=
解：因为
所以图上距离 = 0.025m = 2.5cm.
范例应用
正确理解两个定理的条件和结论，性质定理和判定定理的条件和结论是相反的，性质定理是证明两条线段相等的依据，判定定理是证明两个角相等的依据.
知识点2　角的平分线的性质定理与判定定理的关系
讲授新知
分别画出以下三角形的三个内角的角平分线，从位置上你能观察出什么结论？
三角形三个内角的角平分线的交点位于三角形的内部.
知识点3　三角形三个内角平分线的性质
讲授新知
过交点分别作三角形三边的垂线，根据角平分线的性质定理你能得出什么结论？
┐
┐
┐
┐
┐
┐
┐
┐
┐
A
B
C
A
B
B
C
A
C
过交点作三角形三边的垂线段相等
讲授新知
例2 如图所示，△ABC 的角平分线AD、BE、CF相交于点P.求证：点P 到△ABC 三边AB，BC，CA的距离相等.
B
C
P
D
E
F
M
N
O
┐
┐
┐
A
证明：过点P作PM⊥BC，PN⊥AC，PO⊥AB，
垂足分别为点M，N，O.
因为AD为△ABC的角平分线，所以PN=PO.
因为BE为△ABC的角平分线，所以PM=PO.
因为CF为△ABC的角平分线，所以PM=PN.
所以PM=PN=PO，
即点P到△ABC三边AB、BC、CA的距离相等.
范例应用
当堂训练
叁
1. 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A.1处 B.2处 C.3处 D.4处
2.如图，O是△ABC内一点，O到三边AB，BC，CA的距离分别为OF，OD，OE，且OF=OD=OE，若∠BAC=70°，则∠BOC= .
3.判断题:
(1)如图1，若QM=QN，则OQ平分∠AOB.( )
(2)如图2，若QM⊥OA于点M，QN⊥OB于点N，则OQ平分∠AOB.( )
D
125°
×
×
当堂训练
4.如图所示，点P是△ABC的外角∠CBE和外角∠BCF的平分线的交点，求证：AP平分∠BAC.
证明：作PQ⊥BC，PM⊥AE，PN⊥AF，垂足分别为Q，M，N.
因为P点在∠CBE和∠BCF的平分线上，
所以PM = PQ，PN = PQ，
所以PM = PN.
N
Q
M
又PM⊥AE，PN⊥AF，
所以 AP平分∠BAC.
当堂训练
课堂小结
肆
课堂小结
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
判定定理
应用
综合利用角的平分线的性质和判定来解决实际问题
学会用添加辅助线
的方法解题
角平分线的判定
课后作业
基础题：1.课后习题 P50练习 1,2题。
提高题：2.请学有余力的同学做P52T6,7
谢
谢