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一元一次方程常见七种应用问题
一.配套问题：
1．某车间每天能制作甲种零件250只，或者制作乙种零件500只，甲、乙两种零件各一只配成一套产品，现要在30天内制作最多的成套产品，设甲种零件应制作天，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，1立方米木材可制作个桌面，或者制作条桌腿，现有立方米木材，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？设立方米木材制作桌面，根据题意列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．某车间有33名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或1800个螺母，1个螺钉配两个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？设有名工人生产螺钉，则下列方程错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．某工程队共有人，每人每天平均挖土方或运土方为，合理安排劳力，使挖出的土能及时运走，若分配人挖土，则根据题意所列方程为 .
5．某眼镜厂车间有28名工人，每名工人每天可以生产60个镜架或90片镜片，要求每天生产的镜架和镜片刚好配套，则应安排 名工人生产镜片．
6．现用110立方米木料制作桌子和椅子，已知1张桌子配6把椅子，1立方米木料可做5把椅子或1张桌子．设用x立方米的木料做桌子，则依题意可列方程为 ．
7．家具厂生产方桌，按设计1立方米木材可制作50个桌面或300个桌腿，现有10立方米木材，怎样分配木材才能使生产的桌面和桌腿恰好配套，并指出共可生产多少张方桌 （一张方桌按1个桌面4条桌腿配置）
8．某玩具厂接到一笔1500盒积木的订单，需要在15天内完成，已知该种积木每盒里都有4个正方体积木和4个半圆形积木．玩具厂现在有100名工人，每人每天能加工9个正方体积木或6个半圆形积木，但每人一天只能加工一种积木，玩具厂每天加工的正方体积木和半圆形积木数量正好全部配套（一样多）．
(1)玩具厂每天能生产多少盒积木？
(2)为了能在规定期限内完成订单，玩具厂决定从其他车间调来名工人帮忙，新调来的工人由于工作不熟练，只会加工正方体积木，且每人每天只能加工6个，为了确保每天加工的两种积木数量正好全部配套，重新对100名熟练工进行分工．若要在规定时间内完成订单，求的最小值．
9．某工厂正在生产某种仪器的部件．
(1)一套仪器由一个A部件和三个B部件构成．用钢材可做60个A部件或300个B部件．现将（钢材全部用于制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，才能使生产的A，B部件恰好配套？
(2)甲、乙两个车间接到任务生产一批A部件．若甲车间单独完成，则恰好能在规定工期完成，若乙车间单独完成，则需要比规定工期多用6天．若甲、乙两车间合作4天，剩下的由乙车间单独完成，也正好按照规定工期完成，则生产这批A部件的规定工期为多少天？
二.工程问题
1．某工程，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成，现由甲先做天，乙再加入合作，直至完成这项工程，求甲完成这项工程所用的时间．若设甲完成此项工程一共用天，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．某市为缓解交通拥堵，决定修建高架快速路，原计划用20个月完成这项工程，实际提前2个月完成该工程，求实际每月的工作效率比原计划提高的百分比？若设实际每月的工作效率比原计划提高的百分比是，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．某工厂，甲单独做12天完成，乙单独做8天完成．现在由甲先做3天，乙再参加做，求完成这项工程乙还需要几天？若设完成这项工程乙还需要天，则下列方程不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．一个农场的工人们要把两片草地的草锄掉，大的一片草地的锄草量是小的一片的两倍，上午半天工人们都在大的一片上锄草，一半人留在大的草地上，刚好下午半天就把草锄完了，下午半天锄草后还剩一小块，第二天由一个工人去锄，恰好用了一天的时间将草锄完，如果每一个工人每一天锄草量相同，那么这个农场有 个工人．
5．一项工程，甲单独完成要12天，乙单独完成要18天，如果甲单独做了7天后，余下工程甲乙共同完成，则乙工作了 天．
6．一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成，现由甲先做2天，乙再加入合作，完成这项工程共需 天．
7．某童装工厂甲组的3名工人1天完成的总工作量比日人均定额的3倍多60件，乙组的4名工人1天完成的总工作量比日人均定额的5倍少20件．
(1)如果两组工人实际完成的日人均工作量相同，那么日人均定额是多少件？
(2)如果甲组工人实际完成的日人均工作量比乙组多10件，那么日人均定额是多少件？
(3)如果乙组工人实际完成的日人均工作量比甲组多10件，那么日人均定额是多少件？
8．甲、乙两个工程队分别承担一条20公路的维修任务，甲队有一半时间每天维修公路，另一半时间每天维修；乙队维修前10公路时，每天维修，维修后10公路时，每天维修，问甲、乙两队哪一队先完成任务？
9．有一些相同的房间需要粉刷，一天2名师傅粉刷了6个房间墙面；同样的时间内3名徒弟去粉刷7个房间的墙面，结果其中有墙面未来得及刷．每名师傅比徒弟一天多刷的墙面．
(1)求每个房间需要粉刷的墙面面积；
(2)张老板现有30个这样的房间需要粉刷，若请1名师傅带2名徒弟去，需要几天完成？
三.销售问题
1．某品牌的手机现在的售价3500元，比去年售价的八折还少500元，则该品牌的手机去年的售价为（ ）
A．2300元 B．3300元 C．5000元 D．6000元
2．某商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以80元出售，若按成本计算，其中一件赢利，另一件亏本，在这次买卖中，该商贩（ ）
A．不盈不亏 B．盈利20元 C．亏损10元 D．盈利10元
3．一家商店将一种自行车按进价提高后标价，又以八折优惠卖出，结果每辆仍获利元，这种自行车每辆的进价是多少元？设这种自行车每辆的进价是元，则所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．某种商品进价为元，标价为元．现打折销售，要使利润率为，则需打 折销售．
5．“六一”期间某游乐场门票八五折优惠，某校“六一”期间购买了40张这个游乐场门票供学生去游玩，比原价节省了240元，每张门票的原价是 元．
6．有两种消费券：券，满元减元，券，满元减元，即一次购物大于等于元、元，付款时分别减元、元．小敏有一张券，小聪有一张券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款元，则所购商品的标价是 元
7．春节将至，某商店预测A、B两种烟花应该会受欢迎，该商店得知A种烟花的进价比B种烟花贵15元，但该店依然用3100元购进了60捆A种烟花和50捆B种烟花．
(1)求A、B两种烟花的进价分别是多少元？
(2)如商店预料的一样，两种烟花大卖，因此该商店又购进了A、B两种烟花共200捆，已知A种烟花的数量不少于B种烟花的3倍．则本次购买两种烟花的最低花费是多少元？
8．某水果商人以每千克20元的价格购进一批草莓，售完后，又再次购进一批，由于第二批草莓的进货价格比第一批每千克便宜2元，故多购进50千克，两批草莓共花费4700元．
(1)该商人第二批购进多少千克的草莓？
(2)水果商人将第二批购进的草莓平均分给甲、乙两家水果店零售，零售价为每千克30元．甲店按零售价卖出千克后，剩余的按零售价的八折全部售出；乙店同样按零售价卖出千克，然后将千克按零售价打九折售出，剩余的按零售价打七折全部售出，结果销售额与甲店相同．
①求与的数量关系；
②已知乙店按零售价打九折售出的数量不超过按零售价卖出的数量，那么乙店的利润能恰好为588元吗？请说明理由．
9．新学期开始，某文具店一共花费600元购进50本款笔记本和60本款笔记本进行试销．已知款笔记本单价比款笔记本单价贵20%．
(1)求，两种文具的单价分别为多少元？
(2)试销结束后，文具店决定第二次购进、两款笔记本．因“国庆”促销活动，文具店老板发现，款笔记本的单价下降百分率为，款笔记本的单价上涨百分率为，文具店老板决定款笔记本的购进数量比试销时的购进数量增加的百分率为，款笔记本的购进数量与试销时的购进数量一致，结果购进这两款笔记本所花费的总费用仍为600元．求的值．
四.方案问题
1．某超市在“双十一”活动期间，推出如下购物优惠方案：
①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠；
②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠；
③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠．
小敏在该超市两次购物分别付了85元和288元，若小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款（ ）A．445元 B．405元 C．356元 D．324元
2．某超市推出如下优惠方案：
（1）一次性购物不超过100元不享受优惠；
（2）一次性购物超过100元，但不超过300元一律九折；
（3）一次性购物超过300元一律八折；
兰兰两次购物分别付款80元，252元．如果兰兰一次性购买和上两次相同的物品应付款（ ）
A．288元 B．288元或332元
C．332元 D．288元或316元
3．某新华书店暑假期间推出售书优惠方案：①一次性购书不超过200元，不享受优惠；②一次性购书超过200元但不超过400元一律打九折；③一次性购书400元以上一律打八折．如果黄聪同学一次性购书共付款324元，那么黄聪所购书的原价是（ ）
A．360元 B．405元 C．360元或400元 D．360元或405元
4．一工地计划租用甲、乙两辆车清理淤泥，从运输量来估算：若单独租用甲车，15天可以完成任务；若单独租用乙车，30天可以完成任务．已知两车合运，共需租金65000元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多1500元．在租甲、乙两车，单独租甲车，单独租乙车这三种方案中，租金最少是 元．
5．甲、乙两商场在做促销，如下所示，已知两家商场相同商品的标价都一样．
甲商场：全场均打八五折；
乙商场：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元，一律打八八折；超过500元时，其中的500元打八八折，超过500元的部分打八折．
（1）某顾客要购买商品的总标价为600元，该顾客选择 （填“甲”或“乙”）商场更划算；
（2）当购物总额是 元时，甲、乙两商场实付款相同．
6．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作．书中记载这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这个问题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车无人乘坐，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则有 辆车， 人．
7．随着“云品入沪”工程的深入实施，为云南特色农产品(简称云品)开拓了广阔市场．某农户要将规格相同的80件云品运往A，B两蔬菜产销对接基地，各地的运费如表所示：
销售地 A地 B地
运费(元/件) 20 6
(1)若运往A，B两地的总运费为760元，分别求出运往A、B两地云品的件数；
(2)若此农户运往两地的总运费不超过800元，求最多可运往A地的云品的件数．
8．某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机，已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．
(1)若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．
(2)若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？
9．某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价300元，领带每条定价50元．厂方在国庆节期间开展促销活动，向客户提供两种优惠方案：
国庆特惠方案一：买一套西装送一条领带；方案二：西装和领带都按定价的九折付款．
(1)某客户要到该服装厂购买西装20套，领带30条．通过计算说明此时按哪种方案购买较为划算．
(2)若客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条，请你根据x的不同取值，从以上两个方案中为客户选择一个划算的购买方案．
五.日历问题
1．正整数1至300按一定的规律排列如表所示，若将表中三个涂黑的方框同时移动到表中其它的位置，使它们重新框出三个数，那么方框中三个数的和可能是（ ）
A．315 B．416 C．530 D．644
2．如图是2023年元月份的日历，小明与小亮发现日历上数字之间存在一定的数量关系，于是，他俩由如图所示的框，框出四个数，，，，并得到3个结论：（1）；（2）；（3），其中，正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．如图，是一个数表，现用一个长方形在数表中任意框出4个数，则当时， ．
4．已知表格内每一横行中从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m，各竖列中从第二个数起的数都比它上面相邻的数大n，则 ．
5．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2021年1月的日历，我们任意选择其中如图所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，结果都是一个常数，这个常数是 ．
6．小明在某月的日历上像图①那样圈了个数，若正方形的方框内的四个数的和是，那么这四个数是 _(直按写出结果）
小莉也在日历上像图②那样圈出个数．呈十字框形，若这五个数之和是则中间的数是 (直接写出结果）．
7．将从1开始的连续自然数按图规律排列：规定位于第3行，第2列的自然数记为，自然数14记为……
列 行 第1列 第2列 第3列 第4列
第1行 1 2 3 4
第2行 8 7 6 5
第3行 9 10 11 12
第4行 16 15 14 13
… … … … …
第n行 … … … …
按此规律，回答下列问题：
(1)记为表示的自然数是________；
(2)自然数记为_______；
(3)用一个正方形方框在第列和第4列中任意框四个数，这四个数的和能为吗？如果能，求出框出的四个数中最小的数；如果不能，请写出理由．
8．如图，将连续的偶数2，4，6，8，10，…排成一数阵，有一个能够在数阵中上下左右平移的T字架，它可以框出数阵中的五个数．
(1)框出数阵中的五个数中，最大的数字为20时，求框出数阵中的五个数最小的数是多少？
(2)试判断这五个数的和能否为216，若能，请求出这五个数，若不能，请说明理由．
9．观察下面三行数：
2、、8、、32、、
0、、6、、30、、
2、、14、、62、、
(1)第①行第7个数是______；
(2)第①行第n个数是______；
(3)第1列的3个数之和为4，第二列3个数之和为，是否存在一列数3数之和为1020？若存在，说明是哪三个数；若不存在，说明理由．
（参考数据：，，，，，，，，，）
六.数字问题
1．一个两位数，十位上的数是，个位上的数是．把与对调，新两位数比原两位数大．根据题意列出的方程为（ ）．
A． B．
C． D．
2．在等式□□的两个“□”内分别填入一个数，使这两个数互为相反数且等式成立，则第一个“□”内的数是（ ）
A．6 B． C．4 D．5
3．任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数为例进行说明：设，由可知，，所以，解方程，得．于是，得，将写成分数的形式是（ ）
A． B． C． D．
4．把这九个数字填入的方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的“幻方”．如图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为 ．
8
5
5．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中，用今天的数学语言描述一个三阶幻方，就是其每行、每列、每条对角线上的三个数的和相等．如图，一个3×3的方格中填写了一些数和字母，若它能构成一个三阶幻方，则 ．
1
6．已知三个连续奇数的和是，这三个数分别是 ．
7．仔细观察下列有关联的三行数：
第一行：，……；
第二行：，……；
第三行：，……；
回答下列问题：
(1)第一行数的第8个数是 ；
(2)第二行数的第n个数是 ，第三行数的第n个数是 ；
(3)取每行的第n个数，是否存在这样的n的值，使得这三个数的和为？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．
8．若任意一个三位数 t 的百位数字为 a，十位数字为 b，个位数字为 c，那么可将这个三位数表 示为，且满足，我们把三位数各数位上的数字的乘积叫做原数的积数，记为．重新排列一个三位数各位上的数字，必可以得到一个最大的三位数和一个最小的三位数，此最大三位数与最小三位数之差叫做原数的差数，记为，例如：264 的积数，差数
(1)根据以上材料： ；
(2)若一个三位数 ，且，，求这个三位数．
9．阅读理解：对于任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为0，那么这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这个新三位数的和与111的商记为．例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，，所以．
(1)填空：①__________；②若“相异数”的百位、十位、个位上的数字分别为、、，则__________．
(2)若（为小于等于9的正整数）是相异数，且，求的值．
(3)设和都是“相异数”，其中4和2分别是的十位和个位上的数字，2和5分别是的百位和个位上的数字，且的十位上的数字比的百位上的数字小2；若，求与的值是多少？
七.几何问题
1．在数轴上，点、点分别表示数，，则线段的长表示为||，例如：在数轴上点表示，点表示，则线段的长表示为||，数轴上的任意一点表示的数是，且||||的最小值为，若，则的值为（）
A．或 B．或 C．或 D．或
2．如图，8块相同的小长方形地砖拼成了一个大长方形图案，求每块地砖的宽．设每块地砖的宽为，则的值为（ ）
A．30 B．20 C．15 D．40
3．如图，已知A，B两点在数轴上，，点M以每秒1个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动（点M、点N同时出发），经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等（ ）
A．5秒 B．5秒或者4秒
C．5秒或者秒 D．秒
4．在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面，使数轴上数3表示的点与数1表示的点重合．已知点A到与原点的距离是5个单位长度，并且A、B两点经折叠后重合，则点B点表示的数是 ．
5．一条数轴上有点A、B，点C在线段上，其中点A、B表示的数分别是，6，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点落在数轴上且到点B距离4个单位长度，则C点表示的数是 ．
6．已知，则在数轴上表示的数为 ．
7．已知数轴上两点A、B对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x；O为原点，
①若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；
②数轴上是否存在点P，使点P到点A，点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值；
③当点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动时，点A以每分钟5个单位长度的速度向左运动，点B以每分钟20个单位长度的速度向左运动，问几分钟时点P到点A、点B的距离相等．（直接写出结果）
8．如图，线段，点从点出发以每秒的速度在射线上向点方向运动；点从点出发，先向点方向运动，当与点重合后立即改变方向与点同向而行且速度始终为每秒，设运动时间为秒．
(1)若点点同时出发，且当点与点重合时，求的值．
(2)若点点同时出发，在与相遇前，若点是线段的三等分点时，求的值．
(3)若点点同时出发，点与点相遇后仍然继续往点的方向运动到点后再返回，求整个运动过程中为时的值．
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一元一次方程常见七种应用问题
一.配套问题：
1．某车间每天能制作甲种零件250只，或者制作乙种零件500只，甲、乙两种零件各一只配成一套产品，现要在30天内制作最多的成套产品，设甲种零件应制作天，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
解：设甲种零件应制作天，由题意，得：；
故选A．
2．制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，1立方米木材可制作个桌面，或者制作条桌腿，现有立方米木材，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？设立方米木材制作桌面，根据题意列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：设立方米木材制作桌面，立方米木材制作桌腿，则制作桌面数量为个，制作桌腿数量为，
制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，
，
故选；A．
3．某车间有33名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或1800个螺母，1个螺钉配两个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？设有名工人生产螺钉，则下列方程错误的是（ ）
A． B．
C． D．
解生产螺钉的工人为人，工人总数为：33人，
生产螺母的工人为人，
一个螺钉需两个螺母配套，每人每天可生产螺钉1200个或螺母1800个，
为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，则生产螺母的总数为螺钉总数的两倍，
可列等量关系式为：，
∴B选项不符合题意；
∵，可变形为：A选项，C选项，
∴A选项，C选项不符合题意；
故选：D．
4．某工程队共有人，每人每天平均挖土方或运土方为，合理安排劳力，使挖出的土能及时运走，若分配人挖土，则根据题意所列方程为 .
解：设挖土的人数人，运土的就是人，
由题意可得：，
故答案为：．
5．某眼镜厂车间有28名工人，每名工人每天可以生产60个镜架或90片镜片，要求每天生产的镜架和镜片刚好配套，则应安排 名工人生产镜片．
解：设安排名工人生产镜片，则生产镜架的工人有名，
由题意可得：
解得，，即安排名工人生产镜片
故答案为：
6．现用110立方米木料制作桌子和椅子，已知1张桌子配6把椅子，1立方米木料可做5把椅子或1张桌子．设用x立方米的木料做桌子，则依题意可列方程为 ．
解：设用x立方米的木料做桌子，用（110-x）立方米的木料做椅子，
根据题意，得，
故答案为：
7．家具厂生产方桌，按设计1立方米木材可制作50个桌面或300个桌腿，现有10立方米木材，怎样分配木材才能使生产的桌面和桌腿恰好配套，并指出共可生产多少张方桌 （一张方桌按1个桌面4条桌腿配置）
解：设有x立方米的木材生产桌面，则有立方米的木材生产桌腿，
由题意得，
解得：，
（立方米）
方桌有（张）
答：用6立方米的木材生产桌面，4立方米的木材生产桌腿，可生产出300张方桌．
8．某玩具厂接到一笔1500盒积木的订单，需要在15天内完成，已知该种积木每盒里都有4个正方体积木和4个半圆形积木．玩具厂现在有100名工人，每人每天能加工9个正方体积木或6个半圆形积木，但每人一天只能加工一种积木，玩具厂每天加工的正方体积木和半圆形积木数量正好全部配套（一样多）．
(1)玩具厂每天能生产多少盒积木？
(2)为了能在规定期限内完成订单，玩具厂决定从其他车间调来名工人帮忙，新调来的工人由于工作不熟练，只会加工正方体积木，且每人每天只能加工6个，为了确保每天加工的两种积木数量正好全部配套，重新对100名熟练工进行分工．若要在规定时间内完成订单，求的最小值．
（1）解：设每天安排名工人生产正方体积木，依题意得，
解得：，
则玩具厂每天能生产的积木数为：（盒），
答：玩具厂每天能生产90盒积木．
（2）解：设原100名熟练工中负责生产正方体积木的人数为人，依题意得：，解得：，
此时该厂每天生产个正方体积木
故此时该厂每天生产盒积木，
由题意可得：，解得：，
为确保每天加工的两种积木数量正好全部配套，则必须为整数，故是5的倍数
∵不小于且是5的倍数的最小整数值为20，
最小值为20．
9．某工厂正在生产某种仪器的部件．
(1)一套仪器由一个A部件和三个B部件构成．用钢材可做60个A部件或300个B部件．现将（钢材全部用于制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，才能使生产的A，B部件恰好配套？
(2)甲、乙两个车间接到任务生产一批A部件．若甲车间单独完成，则恰好能在规定工期完成，若乙车间单独完成，则需要比规定工期多用6天．若甲、乙两车间合作4天，剩下的由乙车间单独完成，也正好按照规定工期完成，则生产这批A部件的规定工期为多少天？
（1）解：设用钢材做A部件，
由题意可得：，
解得：，
，
∴应用钢材做A部件，钢材做B部件，才能使生产的A，B部件恰好配套．
（2）设规定的工期为天，
由题意可得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴规定的工期为12天．
二.工程问题
1．某工程，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成，现由甲先做天，乙再加入合作，直至完成这项工程，求甲完成这项工程所用的时间．若设甲完成此项工程一共用天，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：设甲完成此项工程一共用天，则乙完成此项工程共用天，
根据题意得：，
故选：D．
2．某市为缓解交通拥堵，决定修建高架快速路，原计划用20个月完成这项工程，实际提前2个月完成该工程，求实际每月的工作效率比原计划提高的百分比？若设实际每月的工作效率比原计划提高的百分比是，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
解：设实际每月的工作效率比原计划提高的百分比是，根据题意，得
故选：A．
3．某工厂，甲单独做12天完成，乙单独做8天完成．现在由甲先做3天，乙再参加做，求完成这项工程乙还需要几天？若设完成这项工程乙还需要天，则下列方程不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：A.由题意可知，完成这项工程，甲做天，共完成这项工程的，乙完成总工程的，故有，方程正确，该选项不符合题意；
B. 甲先做3天，可完成这项工程的，之后甲乙两人再做天，每天可完成这项工程的，故有，该选项所列方程错误，符合题意；
C. 甲先做3天，可完成这项工程的，之后甲乙两人再做天，每天可完成这项工程的，故有，方程正确，该选项不符合题意；
D. 完成这项工程，甲做天，共完成这项工程的，乙完成总工程的，故有，方程正确，该选项不符合题意．
故选：B．
4．一个农场的工人们要把两片草地的草锄掉，大的一片草地的锄草量是小的一片的两倍，上午半天工人们都在大的一片上锄草，一半人留在大的草地上，刚好下午半天就把草锄完了，下午半天锄草后还剩一小块，第二天由一个工人去锄，恰好用了一天的时间将草锄完，如果每一个工人每一天锄草量相同，那么这个农场有 个工人．
解：设这个农场有x个工人，每个工人一天的锄草量为1，
依题意，得：，
解得：．
故答案为：8．
5．一项工程，甲单独完成要12天，乙单独完成要18天，如果甲单独做了7天后，余下工程甲乙共同完成，则乙工作了 天．
解：设甲乙共做了x天，则甲共做了天，根据题意，得：
，
解得：．
故答案为3．
6．一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成，现由甲先做2天，乙再加入合作，完成这项工程共需 天．
解：设完成这项工程共需x天，
根据题意得，
，
解得x=5
答：完成这项工程共需5天．
7．某童装工厂甲组的3名工人1天完成的总工作量比日人均定额的3倍多60件，乙组的4名工人1天完成的总工作量比日人均定额的5倍少20件．
(1)如果两组工人实际完成的日人均工作量相同，那么日人均定额是多少件？
(2)如果甲组工人实际完成的日人均工作量比乙组多10件，那么日人均定额是多少件？
(3)如果乙组工人实际完成的日人均工作量比甲组多10件，那么日人均定额是多少件？
（1）解：设日人均定额是件．
由题意，得，
解得．
答：如果两组工人实际完成的日人均工作量相同，那么日人均定额是100件．
（2）解：设日人均定额是件．
由题意，得，
解得．
答：如果甲组工人实际完成的日人均工作量比乙组多10件，那么日人均定额是60件．
（3）解：设日人均定额是件．
由题意，得，
解得．
答：如果乙组工人实际完成的日人均工作量比甲组多10件，那么日人均定额是140件．
8．甲、乙两个工程队分别承担一条20公路的维修任务，甲队有一半时间每天维修公路，另一半时间每天维修；乙队维修前10公路时，每天维修，维修后10公路时，每天维修，问甲、乙两队哪一队先完成任务？
解：设甲共用时间为天，
依题意得，，解得，
由题意知，乙用的时间为，
∵，
∴甲的时间更长，即乙队先完成任务，
∴乙队先完成任务．
9．有一些相同的房间需要粉刷，一天2名师傅粉刷了6个房间墙面；同样的时间内3名徒弟去粉刷7个房间的墙面，结果其中有墙面未来得及刷．每名师傅比徒弟一天多刷的墙面．
(1)求每个房间需要粉刷的墙面面积；
(2)张老板现有30个这样的房间需要粉刷，若请1名师傅带2名徒弟去，需要几天完成？
（1）解：设每个房间需要粉刷的墙面面积是，
由题意得：，解得．
答：每个房间需要粉刷的墙面面积是．
（2）解：设需要天完成，
由师傅每天每人刷墙，徒弟每天每人刷墙，
由题意可得，解得．
答：需要4天完成．
三.销售问题
1．某品牌的手机现在的售价3500元，比去年售价的八折还少500元，则该品牌的手机去年的售价为（ ）
A．2300元 B．3300元 C．5000元 D．6000元
解：设该品牌手机去年的售价为x元．
依题意得，，
解得：，
∴该品牌手机去年的售价为元．
故选：C．
2．某商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以80元出售，若按成本计算，其中一件赢利，另一件亏本，在这次买卖中，该商贩（ ）
A．不盈不亏 B．盈利20元 C．亏损10元 D．盈利10元
解：设赢利的上衣成本为元，亏本的上衣成本为元，
依题意得，，
解得，，
，
解得，，
∵，，
∴这次买卖中，该商贩盈利10元，
故选：D．
3．一家商店将一种自行车按进价提高后标价，又以八折优惠卖出，结果每辆仍获利元，这种自行车每辆的进价是多少元？设这种自行车每辆的进价是元，则所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
解：设这种自行车每辆的进价是元，
则，，
故选：B．
4．某种商品进价为元，标价为元．现打折销售，要使利润率为，则需打 折销售．
解：设需打折，根据题意得：
，
解得：，
故答案为：．
5．“六一”期间某游乐场门票八五折优惠，某校“六一”期间购买了40张这个游乐场门票供学生去游玩，比原价节省了240元，每张门票的原价是 元．
解：设每张门票的原价是x元；
根据题意可得：，
解得：．
故答案为：40．
6．有两种消费券：券，满元减元，券，满元减元，即一次购物大于等于元、元，付款时分别减元、元．小敏有一张券，小聪有一张券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款元，则所购商品的标价是 元
解：设所购商品的标价是元，则
①所购商品的标价小于元，
，
解得；
②所购商品的标价大于元，
，
解得．
故所购商品的标价是或元．
故答案为或．
7．春节将至，某商店预测A、B两种烟花应该会受欢迎，该商店得知A种烟花的进价比B种烟花贵15元，但该店依然用3100元购进了60捆A种烟花和50捆B种烟花．
(1)求A、B两种烟花的进价分别是多少元？
(2)如商店预料的一样，两种烟花大卖，因此该商店又购进了A、B两种烟花共200捆，已知A种烟花的数量不少于B种烟花的3倍．则本次购买两种烟花的最低花费是多少元？
（1）解：设B种烟花的进价是x元，则A种烟花的进价是元，
由题意得：，
解得：，
（元），
答：A种烟花的进价是35元，B种烟花的进价是20元
（2）解：设B种烟花购进了a捆，则购进A种烟花为捆，费用为w元，
∵购进的A种烟花的数量不少于B种烟花的3倍，
，且，
解得，
根据题意得，
，
∴w随a的增大而减小，
时，w最小值为（元），
答：最低费用为4000元．
8．某水果商人以每千克20元的价格购进一批草莓，售完后，又再次购进一批，由于第二批草莓的进货价格比第一批每千克便宜2元，故多购进50千克，两批草莓共花费4700元．
(1)该商人第二批购进多少千克的草莓？
(2)水果商人将第二批购进的草莓平均分给甲、乙两家水果店零售，零售价为每千克30元．甲店按零售价卖出千克后，剩余的按零售价的八折全部售出；乙店同样按零售价卖出千克，然后将千克按零售价打九折售出，剩余的按零售价打七折全部售出，结果销售额与甲店相同．
①求与的数量关系；
②已知乙店按零售价打九折售出的数量不超过按零售价卖出的数量，那么乙店的利润能恰好为588元吗？请说明理由．
（1）解：设该商人第二批购进千克的草莓，则第一批购进千克的草莓，
依题意得：，
解得：，
答：该商人第二批购进150千克的草莓．
（2）解：①（千克）．
依题意得：，
．
②乙店的利润不能为588元，理由如下：
假设乙店的利润能恰好为588元，
，
，
即，
，
∴，
∴，
∵乙店按零售价打九折售出的数量不超过按零售价卖出的数量，
乙店的利润不能为588元．
9．新学期开始，某文具店一共花费600元购进50本款笔记本和60本款笔记本进行试销．已知款笔记本单价比款笔记本单价贵20%．
(1)求，两种文具的单价分别为多少元？
(2)试销结束后，文具店决定第二次购进、两款笔记本．因“国庆”促销活动，文具店老板发现，款笔记本的单价下降百分率为，款笔记本的单价上涨百分率为，文具店老板决定款笔记本的购进数量比试销时的购进数量增加的百分率为，款笔记本的购进数量与试销时的购进数量一致，结果购进这两款笔记本所花费的总费用仍为600元．求的值．
（1）解：设款笔记本单价为元，则款笔记本单价为元，
由题意：，
解得：，
答：款笔记本单价为5元，款笔记本单价为6元；
（2）由题意：，
整理得：，
解得：，（舍），
∴的值为．
四.方案问题
1．某超市在“双十一”活动期间，推出如下购物优惠方案：
①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠；
②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠；
③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠．
小敏在该超市两次购物分别付了85元和288元，若小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款（ ）
A．445元 B．405元 C．356元 D．324元
解：设第一次购物购买商品的价格为元，第二次购物购买商品的价格为元，
当时，；
当时，，
解得：（不符合题意，舍去）；
∴；
当时，则，
∴，
当时，，
∴；
∴或；
综上所述，小敏两次购物的实质价值为或，均超过了350元，因此均可以按照8折付款：
∴或，
∴至少付款324元．
故选：D．
2．某超市推出如下优惠方案：
（1）一次性购物不超过100元不享受优惠；
（2）一次性购物超过100元，但不超过300元一律九折；
（3）一次性购物超过300元一律八折；
兰兰两次购物分别付款80元，252元．如果兰兰一次性购买和上两次相同的物品应付款（ ）
A．288元 B．288元或332元
C．332元 D．288元或316元
解：（1）第一次购物显然没有超过100，
即在第一次消费80元的情况下，他的实质购物价值只能是80元．
（2）第二次购物消费252元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）：
①第一种情况：他消费超过100元但不足300元，这时候他是按照9折付款的．
设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.9=252，解得：x=280．
①第二种情况：他消费超过300元，这时候他是按照8折付款的．
设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.8=252，解得：x=315．
即在第二次消费252元的情况下，他的实际购物价值可能是280元或315元．
综上所述，他两次购物的实质价值为80+280=360或80+315=395，均超过了300元．因此均可以按照8折付款：
360×0.8=288元
395×0.8=316元
故选D．
3．某新华书店暑假期间推出售书优惠方案：①一次性购书不超过200元，不享受优惠；②一次性购书超过200元但不超过400元一律打九折；③一次性购书400元以上一律打八折．如果黄聪同学一次性购书共付款324元，那么黄聪所购书的原价是（ ）
A．360元 B．405元 C．360元或400元 D．360元或405元
解：设所购书的原价是x元，
∵一次性购书共付款324元，
∴原价一定大于324元，则①不用考虑，
根据②，，列式：，解得，在范围内符合题意，
根据③，，列式：，解得，在范围内符合题意，
∴购书原价是360元或405元．
故选：D．
4．一工地计划租用甲、乙两辆车清理淤泥，从运输量来估算：若单独租用甲车，15天可以完成任务；若单独租用乙车，30天可以完成任务．已知两车合运，共需租金65000元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多1500元．在租甲、乙两车，单独租甲车，单独租乙车这三种方案中，租金最少是 元．
解：设甲车每天的租金为x元，则乙车每天的租金为（x-1500）元，
甲车单独运输需要15天，则每天运输，乙车单独运输需要30天，则每天运输，
甲乙一起运输，则每天运输+=，即甲乙一起运输需要10天，
∴10x+10（x-1500）=65000，解得：x=4000，
∴甲车每天的租金为4000元，乙车每天的租金为2500元，
单独租甲车租金为：4000×15=60000元，
单独租乙车租金为：2500×30=75000元，
∴三种方案中，租金最少是60000元；
故答案为：60000；
5．甲、乙两商场在做促销，如下所示，已知两家商场相同商品的标价都一样．
甲商场：全场均打八五折；
乙商场：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元，一律打八八折；超过500元时，其中的500元打八八折，超过500元的部分打八折．
（1）某顾客要购买商品的总标价为600元，该顾客选择 （填“甲”或“乙”）商场更划算；
（2）当购物总额是 元时，甲、乙两商场实付款相同．
解：（1）甲商场需要：（元）
乙商场需要：（元）
该顾客选择甲商场更划算；
故答案为：甲
（2）设购物总额是元时，甲、乙两商场实付款相同，
当时，，此方程无解，
当时，则，此方程无解
当时
依题意，
解得
故答案为：
6．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作．书中记载这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这个问题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车无人乘坐，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则有 辆车， 人．
解：设有x辆车，依题意得：
3(x-2)=2x+9．
解得，x=15．
∴2x+9=2×15+9=39（人）
答：15辆车，有39人．
故答案为：15，39．
7．随着“云品入沪”工程的深入实施，为云南特色农产品(简称云品)开拓了广阔市场．某农户要将规格相同的80件云品运往A，B两蔬菜产销对接基地，各地的运费如表所示：
销售地 A地 B地
运费(元/件) 20 6
(1)若运往A，B两地的总运费为760元，分别求出运往A、B两地云品的件数；
(2)若此农户运往两地的总运费不超过800元，求最多可运往A地的云品的件数．
解（1）设运往A地x件，则运往B地的蔬菜为件，
由题意得：，
解得：，
∴，
∴运往A地20件，运往B地的蔬菜为60件；
（2）设运往A地x件，则运往B地的蔬菜为件，
由题意得：，
解得：，
的最大整数解为22，
∴最多可运往A地的云品的件数为22件．
8．某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机，已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．
(1)若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．
(2)若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？
（1）解：按购A，B两种，B，C两种，A，C两种电视机这三种方案分别计算：
设购A种电视机x台，则B种电视机y台，
①当选购A，B两种电视机时， 设购A种电视机x台，则购B种电视机购台．
由题意得：，
，
，
，则．
②当选购A，C两种电视机时，设购A种电视机x台，购C种电视机台，
由题意得：，
，
，则，
③当购B，C两种电视机时，设购B种电视机y台，购C种电视机为台，
由题意得：，
，
，不合题意．
由此可选择两种方案：一是购A，B两种电视机各25台；二是购A种电视机35台，C种电视机15台．
（2）解：若选择（1）中的方案①，可获利 （元），
若选择（1）中的方案②，可获利（元），
，
答：为了获利最多，选择购A种电视机35台，C种电视机15台．
9．某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价300元，领带每条定价50元．厂方在国庆节期间开展促销活动，向客户提供两种优惠方案：
国庆特惠方案一：买一套西装送一条领带；方案二：西装和领带都按定价的九折付款．
(1)某客户要到该服装厂购买西装20套，领带30条．通过计算说明此时按哪种方案购买较为划算．
(2)若客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条，请你根据x的不同取值，从以上两个方案中为客户选择一个划算的购买方案．
（1）解：选择方案一所需费用为（元），
选择方案二所需费用为（元）．
∵，
∴选择方案一购买较为划算；
（2）解：若该客户按方案一购买，需付款（元），
若该客户按方案二购买，需付款（元），
当时，解得：，
当时，解得：，
当时，解得：，
答：当时，方案一更划算，当时，两种方案费用相同，当时，方案二更划算．
五.日历问题
1．正整数1至300按一定的规律排列如表所示，若将表中三个涂黑的方框同时移动到表中其它的位置，使它们重新框出三个数，那么方框中三个数的和可能是（ ）
A．315 B．416 C．530 D．644
解：设最左边数为x，则另外两个数分别为、，
∴三个数之和为．
根据题意得：
A、，解得：，
B、，解得，
C、，解得，
D、，解得，
∵x是最左边的数，
∴x为整数且不能在第六列，也不能在第七列，
∴，，，都不可能，
∴，
故选：C．
2．如图是2023年元月份的日历，小明与小亮发现日历上数字之间存在一定的数量关系，于是，他俩由如图所示的框，框出四个数，，，，并得到3个结论：（1）；（2）；（3），其中，正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解：根据题意可得：，，，
，故（1）正确；
，故（2）正确；
，故（3）正确；
综上，正确的有3个，
故选：D．
3．如图，是一个数表，现用一个长方形在数表中任意框出4个数，则当时， ．
解：由图可知，b＝a+1，c＝a+5，d＝a+6，
∵a+b+c+d＝80，
∴a+（a+1）+（a+5）+（a+6）＝80，
解得：a＝17．
故答案为：17．
4．已知表格内每一横行中从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m，各竖列中从第二个数起的数都比它上面相邻的数大n，则 ．
解：∵每一横行中从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m，
∴18 12＝2m，
∴m＝3，
∵各竖列中从第二个数起的数都比它上面相邻的数大n，
∴27 12＝3n，
∴n＝5，
∴y＝12＋3 5＝10，
x＝27 6 5＝16，
u＝27＋3＝30，
v＝12 3 5＝4，
∴mn＋xy＋uv＝3×5＋10×16＋30×4＝295．
故答案为：295．
5．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2021年1月的日历，我们任意选择其中如图所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，结果都是一个常数，这个常数是 ．
解：设四个数为a﹣7，a﹣6，a，a+1，
则（a﹣7）（a+1）﹣a（a﹣6）
＝a2+a﹣7a﹣7﹣a2+6a
＝﹣7，
a（a﹣6）﹣（a﹣7）（a+1）＝7，
故这个常数是7或﹣7，
故答案为：7或﹣7．
6．小明在某月的日历上像图①那样圈了个数，若正方形的方框内的四个数的和是，那么这四个数是 _(直按写出结果）
小莉也在日历上像图②那样圈出个数．呈十字框形，若这五个数之和是则中间的数是 (直接写出结果）．
（1）设最小的数为a，则另外三个数分别为：a＋1、a＋7、a＋8，
根据题意得：a＋（a＋1）＋（a＋7）＋（a＋8）＝44，
解得：a＝7，
∴a＋1＝8，a＋7＝14，a＋8＝15．
故答案为：7、8、14、15．
（2）设中间的数为x，则另外四个数分别为：x 7、x 1、x＋1、x＋7，
根据题意得：（x 7）＋（x 1）＋x＋（x＋1）＋（x＋7）＝60，
解得：x＝12．
故答案为：12．
7．将从1开始的连续自然数按图规律排列：规定位于第3行，第2列的自然数记为，自然数14记为……
列 行 第1列 第2列 第3列 第4列
第1行 1 2 3 4
第2行 8 7 6 5
第3行 9 10 11 12
第4行 16 15 14 13
… … … … …
第n行 … … … …
按此规律，回答下列问题：
(1)记为表示的自然数是________；
(2)自然数记为_______；
(3)用一个正方形方框在第列和第4列中任意框四个数，这四个数的和能为吗？如果能，求出框出的四个数中最小的数；如果不能，请写出理由．
（1）解：第6行为偶数行，偶数行的数字从左往右是由大到小排列，故第6行四个数为：，，，
记为的这个自然数是，
故答案为．
（2），
，
在第506行，
偶数行的数字从左往右是由大到小排列，
第行，依次是，，，，故自然数记为．
故答案为
（3）若正方形框内第一行为奇数行，设四个数分别为，，，，
解得：
为第46行的第第一列自然数，不合题意舍去．
若正方形框内第一行为偶数行，设四个数分别为，，，，
解得：
为146行的第三个自然数，
最小的数为．
8．如图，将连续的偶数2，4，6，8，10，…排成一数阵，有一个能够在数阵中上下左右平移的T字架，它可以框出数阵中的五个数．
(1)框出数阵中的五个数中，最大的数字为20时，求框出数阵中的五个数最小的数是多少？
(2)试判断这五个数的和能否为216，若能，请求出这五个数，若不能，请说明理由．
（1）解：框出数阵中的五个数中，最大的数字为20时，则框出数阵中的五个数最小的数为：，
∵0不在偶数2，4，6，8，10，…排成的数阵中，
∴框出数阵中的五个数中，最大的数字不可能是20．
（2）解：这五个数的和能为．原因如下：
设最小数为，则其余数为：，，，．
由题意得，，
解方程得：，
则其余4个数为，44，46，52，
所以这五个数为32，，44，46，52．
9．观察下面三行数：
2、、8、、32、、
0、、6、、30、、
2、、14、、62、、
(1)第①行第7个数是______；
(2)第①行第n个数是______；
(3)第1列的3个数之和为4，第二列3个数之和为，是否存在一列数3数之和为1020？若存在，说明是哪三个数；若不存在，说明理由．
（参考数据：，，，，，，，，，）
（1）解：根据题意可得：第①行第7个数为：；
故答案为：128；
（2）解：，
，
，
，
第①行第个数为：；
故答案为：；
（3）解：不存在这样的三个数，理由如下：
同一列的数符号相同，
这三个数都是正数，
设这三个数第一个为x，这一列三个数的和为：，
解得：，
这3个数为256、254、510．
，
解得：，
而第8列数是负数，
不存在这样的数．
六.数字问题
1．一个两位数，十位上的数是，个位上的数是．把与对调，新两位数比原两位数大．根据题意列出的方程为（ ）．
A． B．
C． D．
解：由题意得：原两位数为，新两位数为，
则，
故选：．
2．在等式□□的两个“□”内分别填入一个数，使这两个数互为相反数且等式成立，则第一个“□”内的数是（ ）
A．6 B． C．4 D．5
解：设第一个“□”填入的数为，则第二个“□”填入的数为，
由题意可得：，
解得，
故选：A．
3．任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数为例进行说明：设，由可知，，所以，解方程，得．于是，得，将写成分数的形式是（ ）
A． B． C． D．
解：设，由题意可得
解得，即
故选：C
4．把这九个数字填入的方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的“幻方”．如图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为 ．
8
5
解：设8下方格子的数为，
根据题意得：，
移项得：，
故答案为：3．
5．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中，用今天的数学语言描述一个三阶幻方，就是其每行、每列、每条对角线上的三个数的和相等．如图，一个3×3的方格中填写了一些数和字母，若它能构成一个三阶幻方，则 ．
1
解：设第一行中间的数为a，
则，
解得，
故答案为：．
6．已知三个连续奇数的和是，这三个数分别是 ．
解：设最小的奇数为x，
则
解得：
故这三个数分别为：15，17，19；
故答案为：15，17，19
7．仔细观察下列有关联的三行数：
第一行：，……；
第二行：，……；
第三行：，……；
回答下列问题：
(1)第一行数的第8个数是 ；
(2)第二行数的第n个数是 ，第三行数的第n个数是 ；
(3)取每行的第n个数，是否存在这样的n的值，使得这三个数的和为？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．
（1）解：
∴第一行数的第n个数是：，
第一行数的第8个数是，
故答案为：256；
（2）观察可知：第二行数字都是由第一行数字的每一个数加上2，第三行数字都是由第一行数字的每一个数除以2；
∴第二行数的第n个数是；第三行数的第n个数是；
故答案为：，；
（3）存在，设第一行的第n个数为x，
则：，
解得：，
∵，
∴，
所以取每行的第9个数，使得这三个数的和为．
8．若任意一个三位数 t 的百位数字为 a，十位数字为 b，个位数字为 c，那么可将这个三位数表 示为，且满足，我们把三位数各数位上的数字的乘积叫做原数的积数，记为．重新排列一个三位数各位上的数字，必可以得到一个最大的三位数和一个最小的三位数，此最大三位数与最小三位数之差叫做原数的差数，记为，例如：264 的积数，差数
(1)根据以上材料： ；
(2)若一个三位数 ，且，，求这个三位数．
（1）解：根据原数的差数的定义得，，
（2）根据原数的积数的定义得，，
∵， ∴，
∴或（m，n同时为0时不符合题意），
第一种情况：当时，具体如下：
I．当时，
∵，，
∴，
∴，满足题意．
即：三位数为：405
Ⅱ．当时，，
∴，此时，n不是整数，不满足题意，
第二种情况：当时，具体如下：
I．当时，，
∴，即三位数为：450，
Ⅱ．当时，，
∴，此时，m不是整数，不满足题意，
即：满足条件的三位数为405或450.
9．阅读理解：对于任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为0，那么这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这个新三位数的和与111的商记为．例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，，所以．
(1)填空：①__________；②若“相异数”的百位、十位、个位上的数字分别为、、，则__________．
(2)若（为小于等于9的正整数）是相异数，且，求的值．
(3)设和都是“相异数”，其中4和2分别是的十位和个位上的数字，2和5分别是的百位和个位上的数字，且的十位上的数字比的百位上的数字小2；若，求与的值是多少？
（1）解：对调百位与十位上的数字得到631，对调百位与个位上的数字得到163，对调十位与个位上的数字得到316，这三个新三位数的和为：
，
；
“相异数”的百位、十位、个位上的数字分别为、、，对调百位与十位上的数字得到，对调百位与个位上的数字得到，对调十位与个位上的数字得到，这三个新三位数的和为：
，
∴．
故答案为：10；．
（2）解：，为小于等于9的正整数，
三位数的百位数字是，
，
解得：，，
．
（3）解：设的百位上的数字为，则的十位上的数字为，
，
解得：，
，
．
七.几何问题
1．在数轴上，点、点分别表示数，，则线段的长表示为||，例如：在数轴上点表示，点表示，则线段的长表示为||，数轴上的任意一点表示的数是，且||||的最小值为，若，则的值为（）
A．或 B．或 C．或 D．或
解：由线段上的点到线段两端点的距离的和最小，
①当点在的右侧时，
得在点与点的线段上，的值最小为，
最小，
解得：；
②当点在的左侧时，
得在点与点的线段上，的值最小为，
最小，
解得：；
故选C.
2．如图，8块相同的小长方形地砖拼成了一个大长方形图案，求每块地砖的宽．设每块地砖的宽为，则的值为（ ）
A．30 B．20 C．15 D．40
解：由题意得到每块地砖的长为，
由长方形的性质得到，
解得．
故选C．
3．如图，已知A，B两点在数轴上，，点M以每秒1个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动（点M、点N同时出发），经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等（ ）
A．5秒 B．5秒或者4秒
C．5秒或者秒 D．秒
解：∵点A表示的数为，
∴，
∴点B表示的数为20，
设经过x秒，点M运动距离为x，则点M表示的数为，点N运动的距离为，点N表示的数为，
∴，，
根据题意,得：，即，
∴或，
解得：或，
即经过5秒或秒后，点N到原点O的距离相等；
故选：C．
4．在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面，使数轴上数3表示的点与数1表示的点重合．已知点A到与原点的距离是5个单位长度，并且A、B两点经折叠后重合，则点B点表示的数是 ．
解：∵数轴上数3表示的点与数1表示的点重合
∴数3表示的点与数1表示的点的中点表示的数为，
∵点A到与原点的距离是5个单位长度，
∴点A表示的数是5或；
设点B表示的数为x，
①当点A表示的数为时，有，解得，
②当点A表示的数为5时，有，解得，
所以，点B表示的数是或9，
故答案为：或9．
5．一条数轴上有点A、B，点C在线段上，其中点A、B表示的数分别是，6，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点落在数轴上且到点B距离4个单位长度，则C点表示的数是 ．
解：由折叠可知，，
∵点落在数轴上且到点B距离4个单位长度，
∴点表示的数为或，
设点C表示的数为x，
若点表示的数为10时，则，，
∴，
解得，
即点C表示的数为1，
若点表示的数为2时，则，，
∴，
解得，
即点C表示的数为，
综上所述，点C表示的数为1或，
故答案为：1或．
6．已知，则在数轴上表示的数为 ．
解：当时，由原方程可得：，
解得：；
当时，由原方程可得：，
此方程无解；
当时，由原方程可得：，
解得：．
综上可知在数轴上表示的数为或．
故答案为：或．
7．已知数轴上两点A、B对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x；O为原点，
①若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；
②数轴上是否存在点P，使点P到点A，点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值；
③当点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动时，点A以每分钟5个单位长度的速度向左运动，点B以每分钟20个单位长度的速度向左运动，问几分钟时点P到点A、点B的距离相等．（直接写出结果）
解：①由题意得：，
∴，
∴或，
解方程得：方程无解，
解方程得：，
所以点对应的数是1．
②当点在点的左侧时，则，解得，符合题设；
当点在点和点的中间时，则，舍去；
当点在点的右侧时，则，解得，符合题设；
综上，存在这样的点，此时的值为或．
③设分钟时点到点、点的距离相等，
此时点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，
则，即，
或，
解得或，
答：分钟或分钟时点到点、点的距离相等．
8．如图，线段，点从点出发以每秒的速度在射线上向点方向运动；点从点出发，先向点方向运动，当与点重合后立即改变方向与点同向而行且速度始终为每秒，设运动时间为秒．
(1)若点点同时出发，且当点与点重合时，求的值．
(2)若点点同时出发，在与相遇前，若点是线段的三等分点时，求的值．
(3)若点点同时出发，点与点相遇后仍然继续往点的方向运动到点后再返回，求整个运动过程中为时的值．
（1）解：依题意得：，
解得：（秒）．
（2）①当时，
即，
（秒）；
②当时，
即，
（秒），
即当点是的三等分点时的值为3秒或秒．
（3）①相遇前，
即，
（秒），
②相遇后未到达点前，
即
（秒），
③相遇后到达后返回未追上时，
即，
（秒），
④相遇后到达后返回追上时，
即，
（秒），
综上所述当时，秒或7秒或9秒或21秒．
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