安徽省皖豫名校联盟2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（含解析）

皖豫名校联盟2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知A，B，C，D是空间中互不相同的四个点，则（ ）
A． B． C． D．
2．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．经过点，且以为圆心的圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知向量，，若，且，则的值为（ ）
A．0 B．4 C．0或4 D．1或4
6．已知椭圆的两个焦点为，，且焦距为4，点在上，若的最大值为25，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．若直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率不可能是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
10．下列结论中正确的是（ ）
A．若，分别为直线l，m的方向向量，则
B．若为直线的方向向量，为平面的法向量，则或
C．若，分别为两个不同平面，的法向量，则
D．若向量是平面的法向量，向量，，则
11．已知圆与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的圆心恒在直线上
B．若圆经过圆的圆心，则圆的半径为
C．当时，圆与圆有4条公切线
D．当时，圆与圆的公共弦长为
12．法国数学家蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆．若矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（ ）
A．的蒙日圆的方程为
B．若为正方形，则的边长为
C．若圆与的蒙日圆有且仅有一个公共点，则
D．过直线上一点作的两条切线，切点分别为，，当为直角时，直线（为坐标原点）的斜率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知平面的一个法向量为，点，在平面内，则__________．
14．椭圆的右焦点到直线的距离是__________．
15．已知是圆上的动点，，则实数的取值范围是__________．
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上异于顶点的一点，为坐标原点，为线段的中点，的平分线与直线交于点，当四边形的面积为时，__________．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知圆经过，两点．
（Ⅰ）求圆的半径；
（Ⅱ）判断圆（且）与圆的位置关系．
18．（12分）
已知直线和圆．
（Ⅰ）求与直线垂直且经过圆心的直线的方程；
（Ⅱ）求与直线平行且与圆相切的直线的方程．
19．（12分）
已知空间中三点，，．设，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若与互相垂直，求实数的值．
20．（12分）
已知圆的圆心在坐标原点，面积为．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）若直线，都经过点，且，直线交圆于，两点，直线交圆于，两点，求四边形面积的最大值．
21．（12分）
如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，，二面角的大小为．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
22．（12分）
已知圆的圆心为（且），，圆与轴、轴分别交于，两点（与坐标原点不重合），且线段为圆的一条直径．
（Ⅰ）求证：的面积为定值；
（Ⅱ）若直线经过圆的圆心，求圆的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设是直线上的一个动点，过点作圆的切线，，切点为，，求线段长度的最小值．
皖豫名校联盟2023-2024学年高二上学期期中考试
数学·答案
一、单项选择题
1．答案B
【命题意图】本题考查空间向量的线性运算．
【解析】．
2．答案C
【命题意图】本题考查直线的斜率与倾斜角．
【解析】直线的斜率，其倾斜角满足，因为，所以．
3．答案A
【命题意图】本题考查圆的一般方程．
【解析】由题意得，圆的半径，所以圆的标准方程为，所以圆的一般方程为．
4．答案A
【命题意图】本题考查两直线平行的定义．
【解析】直线与直线平行的充要条件是且，解得或．
5．答案C
【命题意图】本题考查空间向量的坐标运算．
【解析】由，且，得①．由，得②．由①②可得或则的值为0或4．
6．答案B
【命题意图】本题考查椭圆的性质及基本不等式．
【解析】因为，所以（当且仅当时，等号成立）．由题可知的半焦距，所以离心率．
7．答案D
【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系．
【解析】显然直线恒过点，曲线为半圆，当直线与半圆相切时，有，解得或，由如图所示的图象知直线过点时，斜率，直线过点时，斜率，所以半圆与直线有两个不同的交点时，或，所以实数的取值范围为．
8．答案C
【命题意图】本题考查椭圆的离心率．
【解析】设椭圆的半焦距为．圆与坐标轴的公共点为，，，又椭圆的焦点在轴上，所以，①若椭圆的上顶点为，左焦点为或，即，或，则或，离心率或；②若椭圆的左顶点为，左焦点为，则，，离心率．
二、多项选择题
9．答案ACD
【命题意图】本题考查直线的方程．
【解析】当直线的截距不为0时，设直线的截距式方程为，由题可得所以或解得或所以直线方程为或，故A正确，B错误，C正确；当直线的截距为0时，设直线方程为，由题可知，故直线方程为，D正确．
10．答案BD
【命题意图】本题考查空间向量的应用．
【解析】，，，直线与不垂直，故A错误；，或，故B正确；，与不共线，不成立，故C错误；由题可知即解得，故D正确．
11．答案BC
【命题意图】本题考查圆与圆的位置关系．
【解析】圆的方程可化为，圆心为点，恒在直线上，故A错误；由题可知，解得，所以圆的半径为，故B正确；当时，，两圆相离，所以圆与圆有4条公切线，故C正确；当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为，到公共弦所在直线的距离为，所以圆与圆的公共弦长为，故错误．
12．答案ABC
【命题意图】本题考查数学文化．
【解析】由题可知的蒙日圆的半径为，则蒙日圆的方程为，故A正确；设正方形的边长为，由题可知，则，故B正确；易知点在圆外部，所以若圆与的蒙日圆有且仅有一个公共点，则两圆外切，所以，解得，故C正确；设直线与圆交于，两点，联立可得不妨设，，当点与点或重合时，为直角，且，，所以直线的斜率为或0，故D错误．
三、填空题
13．答案6
【命题意图】本题考查平面的法向量的定义．
【解析】因为，且，所以，解得．
14．答案
【命题意图】本题考查椭圆的性质及点到直线的距离．
【解析】由题可知椭圆的右焦点坐标为，所以右焦点到直线的距离是．
15．答案
【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系．
【解析】设，由题知圆的圆心为，半径，表示直线的斜率，不妨设过点的圆的切线方程为，则圆心到切线的距离，解得或，再结合图可知，实数的取值范围为．
16．答案
【命题意图】本题考查椭圆的方程与性质．
【解析】由题可知，．因为平分，所以到，的距离相等，设为，则．易知是的中位线，延长，交于点，则为的中点，过作于，易得，则，从而．
四、解答题
17．【命题意图】本题考查圆的方程及圆与圆的位置关系．
【解析】（Ⅰ）由题可得解得
所以圆的一般方程为，标准方程为，
故圆的半径为2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知．又，所以．
因为，所以圆与圆外离．
18．【命题意图】本题考查求直线的方程．
【解析】（Ⅰ）设与直线垂直的直线的方程为．
圆可化为，圆心为，
因为直线经过圆心，所以，即，
故所求直线的方程为．
（Ⅱ）设与直线平行的直线的方程为．
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即，
所以或10，
故所求直线的方程为或．
19．【命题意图】本题考查空间向量的坐标运算．
【解析】（Ⅰ），，，，，
，，
于是，
．
（Ⅱ），
，
又与互相垂直，，
即，
，．
20．【命题意图】本题考查圆的方程及直线与圆的位置关系．
【解析】（Ⅰ）由题可知圆的圆心为，半径．
所以圆的方程为．
（Ⅱ）当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，圆心到直线的距离为，
则，，
同理可得，
则，
当且仅当，即时等号成立．
当直线的斜率不存在时，，，
此时．
当直线的斜率为0时，根据对称性可得．
综上所述，四边形面积的最大值为14．
21．【命题意图】本题考查线面平行与线面角．
【解析】（Ⅰ）如图，连接交于点，连接，显然是的中点，
因为为的中点，所以为的中位线，，
而平面，平面，所以平面．
（Ⅱ）设的中点为，连接并延长交于点．
因为，所以，于是有．
因为三棱柱是直三棱柱，所以平面平面，
而平面平面，所以平面．
因为侧面是矩形，所以．
以为原点，分别以直线，，为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则，，，
于是，．
设平面的法向量为，
则有即令，可得．
易知平面的一个法向量为．
因为二面角的大小为，所以，
即，解得（负值舍去）．
故，，．
设直线与平面所成的角为，
则，即直线与平面所成角的正弦值为．
22．【命题意图】本题考查直线与圆的综合应用．
【解析】（Ⅰ）由题可知点在圆上，且圆的方程为，
整理得，则，．
所以，为定值．
（Ⅱ）因为直线经过圆的圆心，所以．
又，且，解得．
所以圆的方程为．
（Ⅲ）显然P，G，C，H四点共圆，且为该圆的一条直径，设这四点所在的圆为圆，，
则圆的方程为，
即，①
又圆的半径，方程可化为，②
①－②，得圆与圆的相交弦所在直线的方程为．
点到直线的距离，
所以，
所以当时，取得最小值，
故线段长度的最小值为．