河南省南阳市2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

南阳市2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效．
2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．
4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
5．保持卷面清洁，不折叠、不破损．
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知直线过点，且倾斜角为，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．二次函数的图像为抛物线，其准线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知三条直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，．若，则下列关系不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．国家体育场（鸟巢），是2008年北京奥运会的主体育场．在《通用技术》课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（ ）cm
A． B． C． D．
5．直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知的顶点在抛物线上，若抛物线的焦点恰好是的重心，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知实数、满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆（或双曲线）上两条相互垂直的切线的交点的轨迹方程为圆，该圆称为外准圆，也叫蒙日圆．双曲线的蒙日圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．已知直线和直线，下列说法不正确的是（ ）
A．当或时，
B．当时，
C．直线过定点，直线过定点
D．当，平行时，两直线的距离为
10．已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线是椭圆
B．当或时，曲线是双曲线
C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则
11．是椭圆上的一点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若存在点，使，则椭圆的离心率
D．若的中点在轴上，则
12．已知是抛物线的焦点，直线经过点交抛物线于、两点，则下列说法正确的是（ ）
A．以为直径的圆与抛物线的准线相切
B．若，则直线的斜率
C．弦的中点的轨迹为一条抛物线，其方程为
D．若，则的最小值为18
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．请写出一个焦点在轴上，焦距为的椭圆的标准方程 ．
14．、分别是圆与圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ．
15．已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设、分别为双曲线的左、右焦点，为右支上任意一点，则双曲线的离心率为 ；的最小值为 ．
16．参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点．他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为，影子椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则这个影子椭圆的离心率 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分10分）
在平行四边形中，，，，点是线段的中点．
（1）求直线的方程；
（2）求过点且与直线垂直的直线方程．
18．（本小题满分12分）
已知焦点在轴上的双曲线的离心率为，焦点到其中一条渐近线的距离为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过双曲线的上焦点的直线交双曲线的上支于、两点．在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（本小题满分12分）
已知圆．
（1）证明：圆过定点．
（2）当时，是否存在斜率为的直线交圆于、两点，使得以为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点且垂直于轴的弦长为，且 ．（从以下三个条件中任选一个，将其序号写在答题卡的横线上并作答．）
①椭圆的长轴长为；②椭圆与椭圆有相同的焦点；③，与椭圆短轴的一个端点组成的三角形为等边三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线经过，且与椭圆交于，两点，求面积的最大值．
21．（本小题满分12分）
已知动圆经过点，且与直线相切．设圆心的轨迹为．
（1）求曲线的方程；
（2）设为直线上任意一点，过作曲线的两条切线，切点分别为、，求证：．
22．（本小题满分12分）
已知两定点，，过动点的两直线和的斜率之积为．设动点的轨迹为．
（1）求曲线的方程；
（2）设，过的直线交曲线于、两点（不与、重合）．设直线与的斜率分别为，，证明为定值．
南阳市2023-2024学年高二上学期期中考试
数学参考答案
一、选择题 1-4 DCDB 5-8 BDCA
二、选择题 9．ACD 10．BCD 11．CD 12．AD
三、填空题 13．（答案不唯一，只要焦点在轴上且）．
14．11 15．3；8．（第一空2分，第二空3分） 16．
四、解答题（答案仅供参考，各小题若有其他解法，请酌情给分）
17．解：（1）设点的坐标为，则，
由题意，，又，
故，解得，，，
所以点的坐标为，，从而直线的斜率为，
所以直线的方程为，
即．
（2）设所求直线为．
点是线段的中点，则，
直线的斜率为，
由于直线与垂直，故直线的斜率为，
所以直线的方程为，
即．
18．解：（1）由题意，；
又，故，
所以，双曲线的标准方程为．
（2）根据题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立得，，
设点，，
由根与系数的关系得，，．
设点，若，则，
即
化简得，
则点的坐标为．
综上，轴上存在点，使恒成立．
19．解：（1）证明：圆的方程变形为：，
令，解得，
把代入圆成立，
所以圆过定点．
（2）当时，圆的方程为：．
假设存在直线符合题意．
设直线的方程为，与圆联立得：
．
所以判别式．
设，，由根与系数的关系得，
，．
若以为直径的圆经过原点，则，从而有，
即
解得：，
代入，均成立，
所以直线的方程为或
20．解：（1）选①．由题意，，解得，．
所以椭圆的方程为．
选②．椭圆的焦点坐标为，则，
又，得，
由得，，
所以椭圆的方程为．
选③．由题意，，
又与椭圆短轴的一个端点组成等边三角形，所以，
又，得，，
所以椭圆的方程为．
（2）【解法一】：易知，设直线的方程为，
联立得，，
设点，，由根与系数的关系得，
，．
所以
．
设，则，
因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，
所以，当时，（此时，直线为）．
所以，面积的最大值为．
【解法二】：易知，当直线的斜率不存在时，直线，
此时，所以的面积为．
联立得，，
设点，，由根与系数的关系得，
，．
所以，
所以
．
设，则，
所以（其中）
所以当时，．
综上所述：面积的最大值为．
21．解：（1）由题意可得：，
即点到点的距离与到直线的距离相等，
根据抛物线定义，圆心的轨迹为抛物线，且焦点为，准线方程为，所以曲线的方程为．
（2）【解法一】：由题意，过点的切线斜率存在，且不为；
设点，切线方程为，
联立，得，
则，
由于过点存在两条切线，故关于的方程有两个不相等的实数根，，
且由根与系数的关系得，；
设切线、的斜率分别为，，则，
所以直线．
【解法二】由题意，过点的切线斜率存在，且不为；
设点，切线方程为，
联立，得，
则，
由于过点存在两条切线，故关于的方程有两个不相等的实数根，，
且由根与系数的关系得，；
设切线、的斜率分别为，，则
，
所以直线．
22．解：（1）设点，根据题意，
，
整理得，．（没有扣1分）
（2）【证法一】：设直线的方程为，
联立，得，
设点，，由根与系数的关系得，
，，
则
．
综上，为定值．
【证法二】：设直线的方程为，
联立，得，
设点，，由根与系数的关系得，
，，
，所以
，
综上，为定值．
【证法三】：证明：设直线的方程为，
联立，得，
设点，，由根与系数的关系得，
，，
连结，则．
而
所以
【证法四】：当直线的斜率不存在时，直线，
此时，,，，所以
当直线的斜率存在时，直线，
联立得，，
设点，，由根与系数的关系得，
，．
连接，设其斜率为，由题意可得：
而
所以．
综上所述：为定值．