湖北省部分高中联考协作体2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 湖北省部分高中联考协作体2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-19 11:54:29 | ||
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文档简介
湖北省部分高中联考协作体2023-2024学年高二上学期期中联考
数学试卷
考试时间：2023年11月17日8:00—10:00 试卷满分：150分
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校、考号、班级、姓名等填写在答题卡上．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效．
3．填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知空间任意四个点，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
3．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若一入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线与平行，则实数的值为（ ）
A． B． C．或 D．
6．已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
7．已知是椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为椭圆外一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知空间中三个点组成一个三角形，分别在线段上取三点，当周长最小时，直线与直线的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．下列说法正确的有（ ）
A．直线过定点
B．过点且斜率为的直线的点斜式方程为
C．斜率为，在轴上的截距为3的直线方程为
D．经过点且在轴和轴上截距相等的直线方程为
10．如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，则（ ）
A．直线与底面所成的角为
B．平面与底面夹角的余弦值为
C．直线与直线的距离为
D．直线与平面的距离为
11．已知圆和圆的交点为，则下列结论中正确的是（ ）
A．公共弦所在的直线方程为
B．线段的中垂线方程为
C．公共弦的长为
D．若为圆上的一个动点，则三角形周长的最大值为
12．给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：．规定：
①为同时与垂直的向量；
②三个向量构成右手系（如图1）；
③．
如图2，在长方体中中，，则（ ）
图1 图2
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知直线的一方向向量为．则直线的倾斜角为______．
14．已知圆与圆恰有两条公切线，则实数的取值范围为______．
15．已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为______．
16．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数满足，则的最小值为______，的最大值为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．求分别满足下列条件的直线的一般式方程．
（1）斜率是，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；
（2）经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．
18．已知以点为圆心的圆与______，过点的动直线与圆相交于两点．从①直线相切；②圆关于直线对称；③圆的公切线长这3个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题．
（1）求圆的方程；
（2）当时，求直线的方程．
19．如图，四棱椎的底面是矩形，平面．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值的大小；
（3）求点到平面的距离．
20．已知三棱锥（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形是边长为的正方形，和均为等边三角形．
图1 图2
（1）证明：平面平面；
（2）棱上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21．平面直角坐标系内有两点，存在点使得恒为．
（1）求点轨迹方程；
（2）若点在第三象限，连接交轴于点，连交轴于点，四边形面积是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由．
22．生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点．现椭圆的焦点在轴上，中心在原点，从下焦点射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点，这束光线的总长度为4，且反射点与焦点构成的三角形面积的最大值为，已知椭圆的离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若从椭圆的中心出发的两束光线，分别穿过椭圆上的两点后射到直线上的两点，若连线过椭圆的上焦点，试问，直线与直线能交于一定点吗？若能，求出此定点；若不能，请说明理由．
湖北省部分高中联考协作体2023-2024学年高二上学期期中联考
数学答案
1、答案：D
解析：
2、答案：C
3、答案：B
解析：对于A，设，则此方程组无解，所以不共面；
对于B，因为，所以共面；
对于C，设，则此方程组无解，所以不共面；
对于D，设，则此方程组无解，所以不共面．故选B．
4．答案：D
解析：设点关于直线的对称点为，则
解得所以．因为反射光线经过点，所以，所以反射光线所在直线的方程为，即．故选D．
5、答案：A
解析：当时，两直线方程分别为，此时两条直线不平行；
当时，两直线方程分别为，此时两条直线不平行；
当且时，两直线方程分别为，
两条直线平行，，且，解得．
综上，．故选A．
6、答案：C
解析：设直线与椭圆交点为，分别代入椭圆方程，由点差法可知，代入，解得，选C．
7、答案：D
解析：点为椭圆的右焦点，点为椭圆上任意一点，点的坐标为，点在椭圆外，设椭圆的左焦点为，
当点为射线与椭圆的交点时等号成立，，则的最大值为．故选D．
8、答案：B，当为三角形的垂足三角形时候周长最小，此时与的交点即为三角形的垂心，即为B
9、答案：AB
解析：对于A，直线恒过定点，A正确；
对于B，过点且斜率为的直线的点斜式方程为，B正确；对于C，斜率为，在轴上的截距为3的直线方程为，C错误；
对于D，经过点且在轴和轴上截距相等的直线过原点时，方程为，
当该直线不过原点时，方程为，D错误．
故选：AB．
10、答案：BCD
解析：如图，以点为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，所以，平面的法向量．
设直线与底面所成的角为，则
，
所以直线与底面所成的角不为，故A错误．
易知．设平面的法向量为，则
取，则，所以．
设平面与底面的夹角为，则
，所以平面与底面夹角的余弦值为
，故B正确．
易知，所以直线与直线的距离
，故C正确．
因为平面平面，所以平面．又，平面的一个法向量，所以直线与平面的距离，故D正确．选BCD．
11、答案：AB
解析：两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程为，故A正确；线段的中垂线即为直线，由，得直线的方程为，故B正确；圆心到直线的距离为，则弦长，故C错误；D错误应该为．故选AB．
12、答案：ACD
解析：对于A，同时与垂直，
，且构成右手系，故成立，故A正确．
对于B，则，故B错误．
对于C，与共线，且方向相同，与共线，且方向相同，与共线，且方向相同，所以与共线，且方向相同，所以，故C正确．
对于D，，所以，故D正确．
13、答案：
解析：因为直线的一方向向量为，
所以直线的斜率为，
设直线的倾斜角，则，
所以，即．
故答案为：
14、答案：
解析：由，即，可知圆的圆心为，半径为5．
因为圆与圆恰有两条公切线，所以圆与圆相交，
则，
又，所以，
即的取值范围是．
15、答案：
解析：因为，由椭圆的定义可得，可得，，在中，由余弦定理可得：
，而，
即，可得，
可得离心率故答案为：
16、答案：（1）（2）
即为圆上的点到的距离和到直线的距离的2倍之比，再利用两角和的正弦公式即可求得．
17、（1）答案：
解析：设直线的方程为．
令，得．令，得，解得．
直线的方程为，化为一般式为．
（2）答案：直线的方程为或或
解析：设直线在轴、轴上的截距分别为．
当时，直线的方程为．
直线过点．
又，解得或
直线的方程为或．
当时，直线过原点且过点，
直线的方程为．
综上所述，直线的方程为或或．
18、答案：解：
（1）选①，由直线与圆相切知圆的半径为点到直线的距离
即，所以圆的方程为．
选②由与圆关于直线对称知圆的半径，
所以圆的方程为．
选③，圆的公切线长3，设圆的半径为
则，解得
所以圆的方程为．
（2）记线段的中点为，依据可得
且，则
即点到直线的距离为1，
若直线的斜率存在设为，直线即，
所以，解得，直线的方程为．
若直线的斜率不存在，直线的方程为，符合题意．
综上直线的方程为或．
解析：
19、答案：（1）证明见解析（2）（3）
解析：（1）证明：建立如图所示的直角坐标系，
则．
在中，，
．
，
，
即，又平面，
平面
（2）由（1）得．
设平面的法向量为，则，即，
故平面的法向量可取为，
平面，为平面的一个法向量．
设二面角的大小为，由图易得为锐角，
依题意可得，即二面角余弦值为．
（3）由（1）得，
设平面的法向量为，则，
，故可取为．，
到平面的距离为
20、答案：（1）证明见解析（2）
解析：（1）证明：设的中点为，连接，如图．
由题意得，．
在中，为的中点，．
在中，，
．
平面平面．
平面平面平面．
（2）由平面平面，
得．易知．
以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
设，
则，
．．
设平面的法向量为，则
令，则．
设平面的法向量为，
则取，则．
设平面与平面所成的角为．
由图可知为锐角，则
化简，得，解得或（舍去）．
棱上存在点，使平面与平面所成角的余弦值为，此时．
21．（1）
且，定弦定角轨迹为圆，但点应在优弧上，则点的轨迹方程为（或）
（2）为定值，证明如下：
设（或）则
且则
22、答案：（1）
（2）直线与直线能交于一定点，且该定点为
解析：（1）由题意设椭圆方程为，
则．
又，所以．
故椭圆的标准方程为．
（2）设直线的方程为．
联立得方程组消去并整理，得，
则．
设，则．
由对称性知，若定点存在，则直线与直线必相交于轴上的定点．
由得，
则直线的方程为．
令，则
．
又，
则，
所以直线过定点，
同理直线也过定点．
故直线与直线能交于一定点，且该定点为．
数学试卷
考试时间：2023年11月17日8:00—10:00 试卷满分：150分
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校、考号、班级、姓名等填写在答题卡上．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效．
3．填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知空间任意四个点，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
3．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若一入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线与平行，则实数的值为（ ）
A． B． C．或 D．
6．已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
7．已知是椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为椭圆外一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知空间中三个点组成一个三角形，分别在线段上取三点，当周长最小时，直线与直线的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．下列说法正确的有（ ）
A．直线过定点
B．过点且斜率为的直线的点斜式方程为
C．斜率为，在轴上的截距为3的直线方程为
D．经过点且在轴和轴上截距相等的直线方程为
10．如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，则（ ）
A．直线与底面所成的角为
B．平面与底面夹角的余弦值为
C．直线与直线的距离为
D．直线与平面的距离为
11．已知圆和圆的交点为，则下列结论中正确的是（ ）
A．公共弦所在的直线方程为
B．线段的中垂线方程为
C．公共弦的长为
D．若为圆上的一个动点，则三角形周长的最大值为
12．给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：．规定：
①为同时与垂直的向量；
②三个向量构成右手系（如图1）；
③．
如图2，在长方体中中，，则（ ）
图1 图2
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知直线的一方向向量为．则直线的倾斜角为______．
14．已知圆与圆恰有两条公切线，则实数的取值范围为______．
15．已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为______．
16．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数满足，则的最小值为______，的最大值为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．求分别满足下列条件的直线的一般式方程．
（1）斜率是，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；
（2）经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．
18．已知以点为圆心的圆与______，过点的动直线与圆相交于两点．从①直线相切；②圆关于直线对称；③圆的公切线长这3个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题．
（1）求圆的方程；
（2）当时，求直线的方程．
19．如图，四棱椎的底面是矩形，平面．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值的大小；
（3）求点到平面的距离．
20．已知三棱锥（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形是边长为的正方形，和均为等边三角形．
图1 图2
（1）证明：平面平面；
（2）棱上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21．平面直角坐标系内有两点，存在点使得恒为．
（1）求点轨迹方程；
（2）若点在第三象限，连接交轴于点，连交轴于点，四边形面积是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由．
22．生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点．现椭圆的焦点在轴上，中心在原点，从下焦点射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点，这束光线的总长度为4，且反射点与焦点构成的三角形面积的最大值为，已知椭圆的离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若从椭圆的中心出发的两束光线，分别穿过椭圆上的两点后射到直线上的两点，若连线过椭圆的上焦点，试问，直线与直线能交于一定点吗？若能，求出此定点；若不能，请说明理由．
湖北省部分高中联考协作体2023-2024学年高二上学期期中联考
数学答案
1、答案：D
解析：
2、答案：C
3、答案：B
解析：对于A，设，则此方程组无解，所以不共面；
对于B，因为，所以共面；
对于C，设，则此方程组无解，所以不共面；
对于D，设，则此方程组无解，所以不共面．故选B．
4．答案：D
解析：设点关于直线的对称点为，则
解得所以．因为反射光线经过点，所以，所以反射光线所在直线的方程为，即．故选D．
5、答案：A
解析：当时，两直线方程分别为，此时两条直线不平行；
当时，两直线方程分别为，此时两条直线不平行；
当且时，两直线方程分别为，
两条直线平行，，且，解得．
综上，．故选A．
6、答案：C
解析：设直线与椭圆交点为，分别代入椭圆方程，由点差法可知，代入，解得，选C．
7、答案：D
解析：点为椭圆的右焦点，点为椭圆上任意一点，点的坐标为，点在椭圆外，设椭圆的左焦点为，
当点为射线与椭圆的交点时等号成立，，则的最大值为．故选D．
8、答案：B，当为三角形的垂足三角形时候周长最小，此时与的交点即为三角形的垂心，即为B
9、答案：AB
解析：对于A，直线恒过定点，A正确；
对于B，过点且斜率为的直线的点斜式方程为，B正确；对于C，斜率为，在轴上的截距为3的直线方程为，C错误；
对于D，经过点且在轴和轴上截距相等的直线过原点时，方程为，
当该直线不过原点时，方程为，D错误．
故选：AB．
10、答案：BCD
解析：如图，以点为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，所以，平面的法向量．
设直线与底面所成的角为，则
，
所以直线与底面所成的角不为，故A错误．
易知．设平面的法向量为，则
取，则，所以．
设平面与底面的夹角为，则
，所以平面与底面夹角的余弦值为
，故B正确．
易知，所以直线与直线的距离
，故C正确．
因为平面平面，所以平面．又，平面的一个法向量，所以直线与平面的距离，故D正确．选BCD．
11、答案：AB
解析：两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程为，故A正确；线段的中垂线即为直线，由，得直线的方程为，故B正确；圆心到直线的距离为，则弦长，故C错误；D错误应该为．故选AB．
12、答案：ACD
解析：对于A，同时与垂直，
，且构成右手系，故成立，故A正确．
对于B，则，故B错误．
对于C，与共线，且方向相同，与共线，且方向相同，与共线，且方向相同，所以与共线，且方向相同，所以，故C正确．
对于D，，所以，故D正确．
13、答案：
解析：因为直线的一方向向量为，
所以直线的斜率为，
设直线的倾斜角，则，
所以，即．
故答案为：
14、答案：
解析：由，即，可知圆的圆心为，半径为5．
因为圆与圆恰有两条公切线，所以圆与圆相交，
则，
又，所以，
即的取值范围是．
15、答案：
解析：因为，由椭圆的定义可得，可得，，在中，由余弦定理可得：
，而，
即，可得，
可得离心率故答案为：
16、答案：（1）（2）
即为圆上的点到的距离和到直线的距离的2倍之比，再利用两角和的正弦公式即可求得．
17、（1）答案：
解析：设直线的方程为．
令，得．令，得，解得．
直线的方程为，化为一般式为．
（2）答案：直线的方程为或或
解析：设直线在轴、轴上的截距分别为．
当时，直线的方程为．
直线过点．
又，解得或
直线的方程为或．
当时，直线过原点且过点，
直线的方程为．
综上所述，直线的方程为或或．
18、答案：解：
（1）选①，由直线与圆相切知圆的半径为点到直线的距离
即，所以圆的方程为．
选②由与圆关于直线对称知圆的半径，
所以圆的方程为．
选③，圆的公切线长3，设圆的半径为
则，解得
所以圆的方程为．
（2）记线段的中点为，依据可得
且，则
即点到直线的距离为1，
若直线的斜率存在设为，直线即，
所以，解得，直线的方程为．
若直线的斜率不存在，直线的方程为，符合题意．
综上直线的方程为或．
解析：
19、答案：（1）证明见解析（2）（3）
解析：（1）证明：建立如图所示的直角坐标系，
则．
在中，，
．
，
，
即，又平面，
平面
（2）由（1）得．
设平面的法向量为，则，即，
故平面的法向量可取为，
平面，为平面的一个法向量．
设二面角的大小为，由图易得为锐角，
依题意可得，即二面角余弦值为．
（3）由（1）得，
设平面的法向量为，则，
，故可取为．，
到平面的距离为
20、答案：（1）证明见解析（2）
解析：（1）证明：设的中点为，连接，如图．
由题意得，．
在中，为的中点，．
在中，，
．
平面平面．
平面平面平面．
（2）由平面平面，
得．易知．
以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
设，
则，
．．
设平面的法向量为，则
令，则．
设平面的法向量为，
则取，则．
设平面与平面所成的角为．
由图可知为锐角，则
化简，得，解得或（舍去）．
棱上存在点，使平面与平面所成角的余弦值为，此时．
21．（1）
且，定弦定角轨迹为圆，但点应在优弧上，则点的轨迹方程为（或）
（2）为定值，证明如下：
设（或）则
且则
22、答案：（1）
（2）直线与直线能交于一定点，且该定点为
解析：（1）由题意设椭圆方程为，
则．
又，所以．
故椭圆的标准方程为．
（2）设直线的方程为．
联立得方程组消去并整理，得，
则．
设，则．
由对称性知，若定点存在，则直线与直线必相交于轴上的定点．
由得，
则直线的方程为．
令，则
．
又，
则，
所以直线过定点，
同理直线也过定点．
故直线与直线能交于一定点，且该定点为．
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