吉林省梅河口市2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 吉林省梅河口市2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 363.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-19 11:57:41 | ||
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文档简介
梅河口市2023-2024学年高三上学期期中考试数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，若，则（ ）
A. 或3 B. 0 C. 3 D.
2. 若复数满足，则的虚部是（ ）
A. B. C. 1 D.
3. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
4.某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购入污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量 N(mg/L)与时间t(h)的关系为N=N e t，其中N 为初始污染物的数量，k为常数。若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30%，则可计算前6个小时共能过滤掉污染物的（ ）
A.49% B.51% C.65.7% D.72.9%
5.要得到函数f(x)=sin(2x+)的图象，可以将函数g(x)=sin(2x+)的图象（ ）
A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
6.已知A,B,C,D 是半径为的球体表面上的四点，AB=2，∠ACB=90°，∠ADB=30°，则平面CAB 与平面DAB的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 设函数，则使成立的x的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 关于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 函数在上单调递减
B. 函数的图像关于中心对称
C. 函数对称轴方程为，
D. 将的图像向右平移个单位长度后，可以得到的图像
10. 对于数列，如果为等比数列，那么就称为“等和比数列”．已知数列，且，，设为数列的前n项和，且，则下列判断中正确的有（ ）
A B. C. D.
11. 定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则下列结论正确的有（ ）
A. B. C. D.
12. 已知，且，则（ ）
A. ab的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 设，则函数的最小值是__________.
14. 函数的定义域为R，满足，且当时，，若对任意的，都有，则m的取值范围是_______
15. 三棱锥中，在底面的射影为的内心，若，，则四面体的外接球表面积为_________.
16. 已知数列是各项均为正数的等比数列，为数列的前n项和，若，则的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.(12分)设数列{a }的前n项和为S ,已知S =(3a -1)，(n∈N+)。
(1)求{a }的通项公式；
(2)设bn=，求数列{b }的前2n项的和T2n。
18. 已知函数的最小正周期为．
（1）求的解析式；
（2）当时，，求的值．
19. 第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品 新技术 新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x千台空调，需另投入资金R万元，且.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R=4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.
（1）求2022年该企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；
（2）2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.
20. 如图，已知三个内角，，的对边分别为，，，且，，．
（1）求；
（2）是外一点，连接，构成平面四边形，若，求最大值．
21．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)求的最大值.
22. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，若，是的两个极值点，证明：．
CADCB BBC 9 ACD 10 AC 11 AC 12 ABC
13 14 15 16 18
17.(1)a =3n-1；(2)T2n=n2+。
18 （1）
（2）
19 （1）
（2）当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元
20 （1） （2）
21 （1）方法1：由及正弦定理可得：
，
所以，
故，
因为，即，故，
所以，又，所以.
方法2：由及余弦定理可得：
，
所以，
所以，又，所以.
（2）由正弦定理可知，
即，其中，
,
故当时，的最大值为.
22 （1）求导后，分、两种情况讨论即可；
（2）由题意可得，，从而可得要证成立，只需证，即证，即证，设，构造函数，求导后判断单调性即可证明.
【小问1详解】
，则，的定义域为．
①当时，恒成立，所以在上单调递增；
②当时，令，得（舍去负值），
当时， ，单调递减；
当时，，单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
【小问2详解】
由题意得，可知，
因为，是的极值点，所以，是方程的两个不等的正实数根，
所以，，则
．
要证成立，只需证，即证，
即证，即证，
设，则，即证．
令，则，
所以在上单调递减，则，
所以，故．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，若，则（ ）
A. 或3 B. 0 C. 3 D.
2. 若复数满足，则的虚部是（ ）
A. B. C. 1 D.
3. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
4.某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购入污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量 N(mg/L)与时间t(h)的关系为N=N e t，其中N 为初始污染物的数量，k为常数。若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30%，则可计算前6个小时共能过滤掉污染物的（ ）
A.49% B.51% C.65.7% D.72.9%
5.要得到函数f(x)=sin(2x+)的图象，可以将函数g(x)=sin(2x+)的图象（ ）
A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
6.已知A,B,C,D 是半径为的球体表面上的四点，AB=2，∠ACB=90°，∠ADB=30°，则平面CAB 与平面DAB的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 设函数，则使成立的x的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 关于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 函数在上单调递减
B. 函数的图像关于中心对称
C. 函数对称轴方程为，
D. 将的图像向右平移个单位长度后，可以得到的图像
10. 对于数列，如果为等比数列，那么就称为“等和比数列”．已知数列，且，，设为数列的前n项和，且，则下列判断中正确的有（ ）
A B. C. D.
11. 定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则下列结论正确的有（ ）
A. B. C. D.
12. 已知，且，则（ ）
A. ab的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 设，则函数的最小值是__________.
14. 函数的定义域为R，满足，且当时，，若对任意的，都有，则m的取值范围是_______
15. 三棱锥中，在底面的射影为的内心，若，，则四面体的外接球表面积为_________.
16. 已知数列是各项均为正数的等比数列，为数列的前n项和，若，则的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.(12分)设数列{a }的前n项和为S ,已知S =(3a -1)，(n∈N+)。
(1)求{a }的通项公式；
(2)设bn=，求数列{b }的前2n项的和T2n。
18. 已知函数的最小正周期为．
（1）求的解析式；
（2）当时，，求的值．
19. 第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品 新技术 新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x千台空调，需另投入资金R万元，且.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R=4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.
（1）求2022年该企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；
（2）2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.
20. 如图，已知三个内角，，的对边分别为，，，且，，．
（1）求；
（2）是外一点，连接，构成平面四边形，若，求最大值．
21．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)求的最大值.
22. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，若，是的两个极值点，证明：．
CADCB BBC 9 ACD 10 AC 11 AC 12 ABC
13 14 15 16 18
17.(1)a =3n-1；(2)T2n=n2+。
18 （1）
（2）
19 （1）
（2）当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元
20 （1） （2）
21 （1）方法1：由及正弦定理可得：
，
所以，
故，
因为，即，故，
所以，又，所以.
方法2：由及余弦定理可得：
，
所以，
所以，又，所以.
（2）由正弦定理可知，
即，其中，
,
故当时，的最大值为.
22 （1）求导后，分、两种情况讨论即可；
（2）由题意可得，，从而可得要证成立，只需证，即证，即证，设，构造函数，求导后判断单调性即可证明.
【小问1详解】
，则，的定义域为．
①当时，恒成立，所以在上单调递增；
②当时，令，得（舍去负值），
当时， ，单调递减；
当时，，单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
【小问2详解】
由题意得，可知，
因为，是的极值点，所以，是方程的两个不等的正实数根，
所以，，则
．
要证成立，只需证，即证，
即证，即证，
设，则，即证．
令，则，
所以在上单调递减，则，
所以，故．
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