江苏省宿迁市泗阳县2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（含答案）

泗阳县2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学
（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．经过，两点的直线的斜率是（ ）
A．2 B． C． D．
2．直线：，：，若，则实数的值为（ ）
A． B．1 C．或1 D．
3．圆：与圆：的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆：的面积是，长轴的一个端点与短轴的两个端点构成等边三角形，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．圆上的点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知点到直线：和直线：的距离相等，则点到坐标原点距离的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
8．椭圆：长轴的左右两个端点分别是，，点满足，则面积的最大值为（ ）
A．40 B．44 C． D．
二、选择题：本题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法中，正确的有（ ）
A．直线的点斜式方程可以表示任何直线
B．直线在轴上的截距为
C．直线关于点对称的直线方程是
D．直线：与：之间的距离为
10．已知直线过点，若点和点到直线的距离相等，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
11．我们把离心率为的双曲线叫做理想双曲线，若双曲线：是理想双曲线，左右顶点分别为，，虚轴的上端点为，左焦点为，离心率为，则（ ）
A． B．顶点到渐近线的距离为
C． D．的外接圆的面积为
12．已知圆：，则下列结论中正确的有（ ）
A．圆过定点 B．点在圆外
C．直线平分圆周 D．存在实数，使圆与轴相切
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．直线的倾斜角是________．
14．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是________．
15．已知圆：，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程是________．
16．已知是双曲线上的点，为双曲线的右焦点，点的坐标为，则的最小值是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知直线过点，直线：．
（1）若直线，求直线的方程；
（2）若直线为入射光线，经直线反射，其反射光线经过点，求的方程．
18．已知圆：，直线：，与圆相交于，两点，．
（1）求实数的值；
（2）当时，求过点并与圆相切的直线方程．
19．设为实数，直线．
（1）求证：不论为何值，直线必过定点，并求出定点的坐标；
（2）过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴的截距之和最小，求的方程．
20．在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）直线与相交异于坐标原点的两点，，若，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标．
21．已知双曲线经过点，两个焦点在轴上，离心率为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若斜率为的直线与双曲线相交于，两点，点关于轴对称点为，点关于轴对称点为，设直线的斜率为，请问与的乘积是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．
22．已知焦距为2的椭圆：，，分别为其左右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，的周长为8．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的直线与椭圆交于，两点且满足，求四边形面积的最小值．
泗阳县2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学参考答案
一、单选题 1-4 B A B D 5-8 A B C A
二、单选题 9 .BC 10.BC 11.ACD 12.ACD
三、填空题 13. 14. 15. 16.
17.解：(1)因为直线
所以，即
因为，所以，即，...........................................2分
从而直线的方程为：即......................4分
(2)设点关于直线的对称点为，
，解得：，...........................................8分
入射光线的斜率为，从而入射光线的直线方程为，
即.........................................10分
18.解：(1)设圆心到的距离为，由题意知，，
即，即，.................................2分
解得或.........................................................................4分
(2)当时，圆的方程为
①当直线斜率不存在时，成立...................................6 分
②当直线斜率存在时，
因为直线与圆相切所以，
，即，解得，...................8分
从而切线方程为....................................................10分
综上所述切线方程为或................................12分
19解：(1)因为直线
所以对恒成立，.........................2分
从而由，解得，从而过定点......................4分
(2)由题意设，
因为直线过定点，所以............................6分
两坐标轴的正半轴的截距之和为
等号成立的条件为.............8分
即..................................10分
从而的方程为（即）...............................12 分
20.解法一因为到点的距离与到直线的距离相等
所以的轨迹是以为焦点为准线的抛物线故可设的方程为
则有 所以.........................2分
故的方程为.......................................................4分
法二设的坐标为则有
所以...............................................2分
即 所以的方程为...........................4 分
法一设方程为
因为
所以即..........................6分
所以即
由得
所以...........................................8分
所以即所以............................10分
所以方程为
故恒过定点.............................................12分
法二设因为 所以
所以 所以............................6分
所以的方程为
所以........................................8分
所以 即...............................................10分
所以直线恒过定点................................................12 分
21.解设双曲线标准方程为
则有 因为 所以即.....................2分
所以 所以 所以的标准方程为..............4分
法一由题可得 所以
所以................................8分 因为 所以所以.....10分
所以............................12分
法二由题可得,设方程为则
所以所以..........................6分
由由得
所以...................................................8分
所以......................10分
即所以所以与的乘积为定值，定值为.........................12分
22.解设 则有所以.....................2分
所以所以的方程为.............................4分
斜率不存在时.方程为，方程为 则有
所以....................................5分
斜率为时.方程为，方程为
则有 所以...........................6分
斜率存在且不为时.设方程为
则方程为
所以
由得
所以
所以
所以
同理......................................8分
所以
即.............................................10分
令则
即
所以此时当时，面积最小，最小值为
又
故四边形的最小值为..........................................12分
（用基本不等式方法求出最值参照给分）