江苏省盐城市射阳县中2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（含答案）

射阳县中2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学试题
满分：150分 时间：120分钟 　
一、单项选择题： 每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．已知倾斜角为的直线过，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．以为顶点的三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．以为直角顶点的直角三角形 D．以为直角顶点的直角三角形
4．已知等差数列共有21项，若奇数项的和为110，则偶数项的和为（ ）
A．100 B．105 C．90 D．95
5．直线与圆的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
6．已知数列对任意满足，则（ ）
A．4040 B．4043 C．4046 D．4049
7．刚考入大学的小明准备向银行贷款元购买一台笔记本电脑，然后上学的时通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月还一次款，分10次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为．则小明每个月所要还款的钱数为（ ）元．
A． B． C． D．
8．斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为，则的范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
二、多选题:每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求,全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分.
9．已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．直线过点 B．直线的斜率为
C．直线在上的截距为 D．直线在上的截距为
10．若为等比数列，则下列数列中是等比数列的是（ ）
A． B．（其中且）
C． D．
11．已知抛物线的焦点为，顶点为，点在抛物线上，若，则下列各选项正确的是（ ）
A． B．以MF为直径的圆与轴相切
C． D．
12．已知与，则下列说法正确的是（ ）
A．与有2条公切线
B．当时，直线是与的公切线
C．若分别是与上的动点，则的最大值是3
D．过点作的两条切线，切点分别是，则四边形的面积是
三、填空题:每小题5分，共20分.
13．两条平行直线与间的距离是 ．
14．若满足：，则满足上述条件数列的一个通项公式为 ．
15．定义：点P为曲线外的一点，A，B为曲线上的两个动点，当取最大值时，为点P对曲线的张角．已知点P为直线l：上的动点，A，B为圆O：上的两个动点，设点P对圆O的张角为，则的最大值为 ．
16．已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，．若直线过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为 ．
四、解答题:共计70分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.
17．已知直线过点．
(1)若直线与直线垂直，求直线的方程
(2)若直线在两坐标轴的截距互为相反数，求直线的方程．
18．已知数列为等差数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和．
19．圆：内有一点，过的直线交圆于，两点.
(1)当为弦中点时，求直线的方程；
(2)若圆与圆：相交于，两点，求的长度.
20．已知拋物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且经过点 .
(1)求抛物线方程;
(2)若直线l与抛物线交于A,B两点，且满足,求证: 直线l恒过定点，并求出定点坐标.
21．各项均为正数的数列的前项和记为，已知，且对一切都成立．
(1)求数列的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使这个数组成等差数列，将插入的个数之和记为，其中．求数列的前项和．
22．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：

步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一定点，记为；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点（即折叠后图中的点与点重合）；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与的交点为；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.
现取半径为4的圆形纸片，设点到圆心的距离为2，按上述方法折纸．以线段的中点为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)直线与在第一象限内交于点,直线与交于两点（均异于点），则直线的斜率之和是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
数学试题参考答案
一、单项选择题： 每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．B 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．D 8．A
二、多选题:每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求,全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分.
9．BD 10．ABC 11．ABD 12．BD
三、填空题:每小题5分，共20分.
13．1 14．（答案不唯一，符合条件即可）15． 16．
四、解答题:共计70分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.
17．【详解】（1）因为直线与直线垂直，
所以可设直线的方程为，
因为直线过点，所以，解得，
所以直线的方程为 -------4分
（2）当直线过原点时，直线的方程是，即．
当直线不过原点时，设直线的方程为，
把点代入方程得，所以直线的方程是． -------9分
综上，所求直线的方程为或 -------10分
18．【详解】（1）解：由题意得：
，所以是公差为2的等差数列，则；-------5分
（2）由题知-------8分
则
-------12分
19．【详解】（1）因为为弦中点，由垂径定理得⊥，
因为，所以，
故直线的方程为，即；-------5分
（2）与相减得，，
即直线的方程为， -------8分
圆心到直线的距离为，
由垂径定理得的长度为. ------------12分
20．【详解】（1）由题可知，拋物线的开口向右，
设拋物线方程为，
因为经过点，
所以，解得
所以，抛物线的标准方程为: . ------------4分
（2）如图，
设直线 的方程为: ，
联立方程
消 有： ------------6分
由于交于 两点，设 ，
则 ，即 ，
，
由 .
则 .
解得: ，验证满足条件. -----------10分
所以直线 的方程为 ，
即证直线 恒过定点. -----------12分
21．【详解】（1）由，
得，
又，
所以， ---------3分
当时，，
所以，
即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
（2）由已知在和之间插入个数，这个数组成等差数列，
所以， ---------8分
设数列的前项和为，
则，
，
所以，
所以. ---------12分
22．【详解】（1）由题意可知，，
故点的轨迹是以为焦点，且长轴长的椭圆，焦距，
所以，
所以曲线的方程为． ---------4分
（2）把代入曲线的方程，求得．
设，

联立，消去得，---------6分
则，得，
，
则
，
所以直线的斜率之和为定值0． ---------12分