北师大版初中数学九年级下册1.4 解直角三角形同步课件（共31张PPT）

(共31张PPT)
1.4解直角三角形
1．使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形；
2．渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯.
学习目标
两锐角的关系:
三边的关系:.
边与角的关系:
直角三角的边角关系
c2
900
a2+b2=
∠A+∠B=
锐角三角函数
b
A
B
C
a
┌
c
sinA=cosB
cosA=sinB
tanA=
a
c
=
b
c
=
a
b
=
1
tanB
复习回顾
情境导入
特殊角的三角函数值：
60°
45°
30°
tanα
cosα
sinα
三角函数值
角α
三角函数
1
2
2
3
1
2
2
2
2
1
复习回顾
生活中,我们常常遇到与直角三角形有关的问题.
为了解决这些问题,
往往需要确定直角三角形的边和角
创设情境，引入新知
核心知识点一：
解直角三角形
直角三角形中有三条边三个角6个元素,除其中一个固定的直角外，还有两个锐角和三条边。
b
A
B
C
a
c
至少知道几个元素,就可以求出其他的元素呢
∟
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，叫做解直角三角形．
自主合作，探究新知
只知道直角三角形一个锐角的大小,
可以求出直角三角形中其它元素吗
无法求出直角三角形的三边
结论：
∟
∟
∟
∟
自主合作，探究新知
∟
知道直角三角形任意一边的长
可以求出直角三角形中其它元素吗
已知线段a，
以a为一条直角边的
直角三角形有几个
如果以a为斜边呢？
a
自主合作，探究新知
都无法完全求
知道直角三角形
任意一边的长,
∟
结论：
出直角三角形
中其它元素。
a
自主合作，探究新知
在一个直角三角形中，已知一条边和一锐角，或者已知两条边两个元素，才能求出其他元素。
A
B
a
b
c
C
一个直角三角形中，若已知五个元素中的两个元素
（其中必须有一个元素是边），则这样的直角三角形可解.
自主合作，探究新知
在Rt△ABC中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他元素吗？
类型1 已知两边解直角三角形
(1)三边之间的关系；
(2)两锐角之间的关系；
(3)边角之间的关系：sin A＝ ＝cos B，
cos A＝ ＝sin B，
tan A＝
自主合作，探究新知
应用勾股定理求斜边，
应用角的正切值求出
一锐角，再利用直角
三角形的两锐角互余，求出另一锐角．一般不用正弦或余弦值求锐角，因为斜边是一个中间量，如果是近似值，会影响结果的精确度．
已知斜边和直角边：先利用勾股定理求出另一直角边，再求一锐角的正弦和余弦值，即可求出一锐角，再利用直角三角形的两锐角互余，求出另一锐角．
已知两直角边：
已知斜边和直角边：
解直角三角形
自主合作，探究新知
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且 ,求这个直角三角形的其他元素.
解：在Rt△ABC中，a2+b2=c2,
A
B
C
在Rt△ABC中，
典例解析
例2 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且c＝5，b＝4，求这个三角形的其他元素．(角度精确到1′)
由c＝5，b＝4，得sin B＝ ＝0.8，
∴∠B≈53°8′.
∴∠A＝90°－∠B≈36°52′.
由勾股定理得
解：
典例解析
归纳总结
“已知两边”怎样解直解三角形？
A
B
a
b
c
C
(1)已知a，b，怎么求∠A的度数？
(2)已知a，c，怎么求∠A的度数？
(3)已知b，c，怎么求∠A的度数？
由
由
由
归纳总结
已知直角三角形的一边和一锐角，解直角三角形时，若已知一直角边a和一锐角A： ① ∠B=90 °- ∠ A；②c=
若已知斜边c和一个锐角A： ① ∠ B=90°- ∠ A；
②a=c·sin A ; ③b=c·cos A.
类型2 已知一边及一锐角解直角三角形
自主合作，探究新知
例3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠B＝35°，b=20,求这个直角三角形的其他元素(结果保留小数点后一位).
A
B
C
b
20
c
a
35°
解：
典例解析
1、数形结合有利于分析问题；
2、选择关系式时，尽量使用原始数据，以防“累积误差”和“一错再错”；
3、解直角三角形时，应求出所有未知元素。
注意事项：
解直角三角形的原则：
（1）有角先求角，无角先求边
（2）有斜用弦, 无斜用切；
宁乘毋除, 取原避中。
A
B
C
5
50
﹖
归纳总结
核心知识点一：
构造直角三角形解决问题
例4 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC.
D
A
B
C
解：过点 A作 AD⊥BC于D.
在△ACD中，∠C=45°，AC=2，
∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°= .
在△ABD中，∠B=30°，
∴BD=
∴BC=CD+BD= +
自主合作，探究新知
C
A
B
D
A
B
C
E
求解非直角三角形的边角问题，常通过添加适当的辅助线，将其转换为直角三角形来解.
提示
D
归纳总结
归纳总结
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是(　　)
A. B．4 C．8 D．4
D
2. 在△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝2∠A，b＝3，
则a等于(　　)
A. B. C．6 D.
B
随堂练习
3.如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB= ，则AC的长为（　　）
A．3 B．3.75
C．4.8 D．5
B
随堂练习
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
AB=8，则BC的长是（　　）
D
5.在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，则cosB 的值是_________.
随堂练习
6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的平分线 ，解这个直角三角形.
D
A
B
C
6
解：
∵AD平分∠BAC，
随堂练习
7.在Rt△ABC中， ∠C＝90° ， ∠A，∠B，∠C所对的边分别为a, b, c，根据下列条 件求出直角三角形的其他元素（角度精确到1° ):
(1) 已知 a = 4, b =8;
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得c＝ ＝ .
∵sin A＝ ＝ ＝ ， ∴∠A≈27°.
∵∠C＝90°，
∴∠B＝90°－∠A≈63°.
随堂练习
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°.
∵sin B＝ ，b＝10，
∴c＝ ＝ ＝ .
由勾股定理得a＝ ＝ .
(2) 已知 b =10， ∠B＝60°;
随堂练习
(3) 已知 c =20， ∠A＝60°;
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°.
∵sin A＝ ，c＝20，
∴a＝c·sin A＝20×sin 60°＝20× ＝ .
由勾股定理得b＝ ＝10.
随堂练习
图②
当△ABC为锐角三角形时，如图②，
BC=BD+CD=12+5=17.
图①
解：∵cos∠B= ，∴∠B=45°，
当△ABC为钝角三角形时，如图①，
∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5
∴BC=BD-CD=12-5=7；
∴BC的长为7或17.
当三角形的形状不确定时，一定要注意分类讨论.
8. 在△ABC中，AB= ，AC=13，cos∠B= ，求BC的长.
随堂练习
课堂小结
解直角三角形
依据
解法:只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素
勾股定理
两锐角互余
锐角的三角函数
课堂小结
1、教材“习题1.5”中第2、3题.
2、完成练习册中本课时的练习.
　　　
作业布置