北师大版初中数学九年级下册1.5 三角函数的应用同步课件（共35张PPT）

(共35张PPT)
1.5三角函数的应用
1.正确理解方位角、仰角和坡角的概念；
2.三角函数在航海、测量、改造工程等方面的应用
学习目标
创设情境，引入新知
创设情境，引入新知
创设情境，引入新知
核心知识点一：
与方位角有关的实际问题
方向角：
如图，指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
自主合作，探究新知
东
北
A
B
C
25°
例：如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.
一货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55 的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25 的C处.之后，货轮继续向东航行.
你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？
55°
自主合作，探究新知
A
B
55°
C
25°
你是怎样想的？与同伴进行交流.
20海里
D
x
Rt△ABD中,
Rt△ACD中,
∴BC=BD－CD=x·tan55°－x·tan25°
∴x= ≈20.79 海里
∴货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.
自主合作，探究新知
例：如图, 一艘海轮位于灯塔P的 北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时，B处距离灯塔 P有多远（结果取整数)？
A
P
C
B
北
65°
34°
自主合作，探究新知
A
P
C
B
北
65°
34°
解：如图，在Rt△APC中，
PC =PA cos(90°-65°)
=80 × cos 25°
≈72. 505.
在 Rt△BPC 中， ∠B = 34°，
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向
时，它距离灯塔P大约 130 n mile.
自主合作，探究新知
利用解直角三角形解决简单问题的一般解题步骤：
1. 将实际问题抽象为数学问题；
2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
3. 得到数学问题的答案；
4. 得到实际问题的答案.
归纳总结
核心知识点二：
仰角和俯角问题
仰角和俯角：
如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做_________，视线在水平线下方的叫做________．
仰角
俯角
视线
铅垂线
水平线
视线
仰角
俯角
自主合作，探究新知
例：欣赏完图片后，如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30 ,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60 ,那么该塔有多高 (小明的身高忽略不计,结果精确到1m).
D
A
B
C
┌
50m
30
60
自主合作，探究新知
D
A
B
C
┌
50m
30
60
答:该塔约有43m高.
解:如图,根据题意可知,∠A=30 ,
∠DBC=60 ,AB=50m. 设CD=x,
则∠ADC=60 ,∠BDC=30 ,
自主合作，探究新知
例 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.
分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，α=30°,β=60°.Rt△ABD中，
α=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
A
B
C
D
α
β
仰角
水平线
俯角
自主合作，探究新知
解：如图，α = 30°,β= 60°， AD＝120．
答：这栋楼高约为277.1m.
A
B
C
D
α
β
自主合作，探究新知
归纳总结
常见的俯角仰角问题的基本图形
45°
30°
450
β
α
A
B
O
P
A
B
O
P
30°
45°
450
归纳总结
45°
30°
200米
P
O
B
D
45°
30°
P
A
200米
C
B
O
60°
45°
200
200
45°
30°
归纳总结
常见的俯角仰角问题的基本图形
归纳总结
核心知识点三：
利用坡角解决实际问题
坡度和坡角：
如图，通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l之比叫_______，用字母i表示，把坡面与水平面的夹角叫做_______，记做α，于是i＝____＝tanα，显然，坡度越大，α角越大，坡面就越陡．
坡角
坡度
l
h
α
α为坡角
坡度和坡角有什么区别？
自主合作，探究新知
例：某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少 楼梯多占多长一段地面 (结果精确到0.01m).
40°
35°
A
B
C
D
∟
AC-AB
=CD-BD
CB
AD=
AB·
sin40°
AC=
AD
sin35°
典例解析
如图,∠ADB=90°,
40°
35°
A
B
C
∟
D
求(1)AC-AB.
AB=4m.
∠ABD=40°,
∠C=35°,
解：∵sin40°
AB
AD
=
∴AD=
AB·
sin40°
∵sin35°
AC
AD
=
∴AC=
AD
sin35°
=
AB·
sin40°
sin35°
=
4×
0.643
0.574
≈4.48
(m)
答:调整后的楼梯会加长约0.48m.
AC-AB=
4.48-4
≈0.48
(m)
典例解析
如图,∠ADB=90°,
40°
35°
A
B
C
∟
D
求CB
AB=4m.
∠ABD=40°,
∠C=35°,
(AD=
sin40°)
AB
解：∵tan40°
BD
AD
=
tan40°
∴BD=
AD
∵tan35°
CD
AD
=
tan35°
∴CD=
AD
∴CB=
CD-BD
tan35°
=
AD
tan40°
-
AD
tan35°
1
tan40°
-
1
=AD(
)
=4×
0.643(
0.700
1
0.839
-
1
)
≈0.61
(m)
答:楼梯多占约0.61m长的一段地面.
典例解析
例 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽（精确到0.1米, ）.
45°
30°
4米
12米
A
B
C
D
典例解析
解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知
　 DE＝CF＝4（米），
　 CD＝EF＝12（米）．
在Rt△ADE中，
在Rt△BCF中，同理可得
因此AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93（米）．
　　答： 路基下底的宽约为22.93米．
45°
30°
4米
12米
A
B
C
E
F
D
典例解析
1. 课外活动小组测量学校旗杆的高度. 当太阳光线与
地面成30°角时，测得旗杆在地面上的影长为24米，
那么旗杆的高度约是 ( )
A. 12米 B. 米 C. 24米 D. 米
B
随堂练习
2. 如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得
∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得
AC=100米，则B点到河岸AD的距离为 ( )
B
D
C
A
A. 100米 B. 米
C. 米 D. 50米
B
随堂练习
3.如图1，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=_________米.
4.如图2，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米.
100
图1
图2
B
C
B
C
随堂练习
4. 某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l(如图)．救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号．他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙马上从C处入海，径直向B处游去．甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去．若CD＝40米，B在C的北偏东35°方向，甲、乙的游泳速度都是2米/秒，则谁先到达B处？请说明理由 (参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43).
随堂练习
分析： 在Rt△CDB中，利用三角函数即可求得BC，BD的长，则可求得甲、乙所用的时间，比较二者之间的大小即可．
随堂练习
随堂练习
随堂练习
5.如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH∥BC，坡角∠ABC＝74°，坝顶到坝脚的距离AB＝6 m．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55°，由此，
点A需向右平移至点D，请你计算AD
的长(精确到0.1 m)．
分析： 将坝顶与坝脚的距离看做直角三角形的斜边，将坡角看做直角三角形的一个锐角，分别作AE，DF垂直于BC，构造直角三角形，求出BE，BF，进而得到AD的长．
随堂练习
随堂练习
课堂小结
解直角三角形的简单应用
一般解题步骤
1. 将实际问题抽象为数学问题
2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形
3. 得到数学问题的答案
4. 得到实际问题的答案
课堂小结
1、教材“习题1.6”中第1、2题.
2、完成练习册中本课时的练习
　　　
作业布置