江西省吉安市2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题（含答案）

吉安市2023-2024学年高三上学期11月期中考试
数学试卷
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知集合，则
A． B． C． D．
2．设，若复数的虚部为3（其中为虚数单位），则
A． B． C． D．3
3.已知，则
A． B． C． D．
4．小明参加某项答题闯关游戏，每答对一道题则进入下一轮，某次答题时小明从A、B两块题板中任选择一个答题，已知他答对A题板中题目概率为0.8，答对B题板中题目的概率为0.3，假设小明不了解每块题板背后的题目，即小明随机等可能地从A、B两块题板中任选一个作答，现已知小明进入了下一轮，则他答的是A题板中题目的概率是
A． B． C． D．1
5.已知双曲线的右焦点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线的两个交点为．若，则该双曲线的离心率为
A． B． C． D．
6.已知五个数成等差数列，这五个数之和为100，其中较大的三个数之和的是较小的两个数之和，则这五个数中最大的数为
A． B．20 C． D．
7．中，为上一点且满足，若为上一点，且满足为正实数，则下列结论正确的是
A．的最小值为 B．的最大值为1
C．的最大值为16 D．的最小值为4
8．设函数（）（为自然对数的底数），若关于x的不等式
f（x）<0的正整数解有且只有两个，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分）
9．关于下列命题中，说法正确的是
A．已知，若，则
B．某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现按年级分层，用分层随机抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人
C．已知，若，则
D．数据的分位数为77
10．已知函数，则
A．函数的最小正周期为
B．若，则函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到
C．若函数为偶函数，则
D．若，则函数的图象的中心为
11．已知x,y满足关系式：，则关于函数说法正确的是
A．函数在上为减函数 B．函数的图象的对称轴为
C． D．，使得
12．如图，矩形中，为边AB的中点，沿将折起，点折至处平面分别在线段和侧面上运动，且，若分别为线段的中点，则在折起过程中，下列说法正确的是
A．存在某个位置，使得
B．面积的最大值为
C．三棱锥体积最大时，三棱锥的
外接球的表面积为
D．三棱锥体积最大时，点到平面的距离的最小值为.
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．函数 在点（0，f（0））处的切线方程为 ．
14．已知球O的表面积为100，某个高为6的圆柱的上下底面圆周都在此球面上，则此圆柱的体积为 ．
15.已知函数，若，则实数的取值范围为 ．
16．在如图所示的三角形数阵中，用表示第行第个数），已知，且当时，除第行中的第1个数和第个数外，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和，即.若，则正整数的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且,若D为边上一点，，，
（1）求角；
（2）求的取值范围．
18．（12分）如图，在四棱锥中，底面，点在棱上，，点在棱上，为的中点，.
（1）求证：四点共面.
（2）求直线与平面的所成角的正弦值.
19．（12分）记为数列的前项和，已知a1=1,
（1）求的通项公式；
（2）令，记数列的前项和为，,试求除以3的余数.
20．（12分）本届杭州亚运会是首届采用云上转播的亚运会，预计在云上传输最大60路高清和超高清信号，某企业负责生产所需的某种高清转播设备，设生产该款设备的次品率为p（0＜p＜1），且各套设备的生产互不影响．
（1）生产该款设备需要两道工序，且互不影响，假设每道工序的次品率依次为，．
①求p；
②现对该企业生产的设备进行自动智能检测，自动智能检测为次品（注：合格品不会被误检成次品）的设备会被自动淘汰，若自动智能检测为合格，则再进行人工抽检，已知自动智能检测显示该款设备的合格率为96%，求人工抽检时，抽检的一套设备是合格品的概率．
（2）视p为概率，记从该企业生产的设备中随机抽取n套，其中恰含m（n＞m）个次品的概率为，求证：在时取得最大值．
21．（12分）已知抛物线C1：x2=2py（p>0）的焦点也是椭圆的一个焦点，是与在第一象限的公共点.
（1）求抛物线C1的方程；
（2）过点作斜率为的直线与交于两点，与交于两点，且与同向.
（i）当直线绕点旋转时，判断的形状；
（ii）若，求直线的斜率.
22．（12分）已知函数．
（1）若a=1,求f（x）的单调区间与极值
（2）若当时，恒有，求的取值范围；
（3）设，证明：．
吉安市2023-2024学年高三上学期11月期中考试
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C A C B C D B BC ABD AC BCD
填空题
13：2x-y-1=0 ; 14: 96 ; 15: ; 16: 2026
12．ACD【详解】对于A，由，，则，
所以当时，最大，且最大值为，故A正确；
对于B，取的中点，连接，显然，且，
又，所以四边形为平行四边形，
所以，又，且，为的中点，
则与不垂直，所以与不垂直，故B错；
对于C，易知三棱锥体积最大时，平面平面，交线为，
作，因为平面，则平面，
取中点，连接，，，则，由勾股定理可得，
又，故点为三棱锥的外接球的球心，所以其外接球的半径为，表面积为，故C正确；对于D，由选项C可知，，点在以为球心，1为半径的球面上，设点到平面的距离为，因为，所以，易知，，，
，，，所以点到平面的距离的最小值为，选项D正确.
16．2026【详解】，
.
因为若，则，即，
显然，，即，
所以正整数的最小值为2026.故答案为：2026.
17．（1）（2）
【详解】（1），由正弦定理可得，
即，因为，故，
又，故.
（2）因为，故，在中，，得,
在中，,得,故，而，
所以，由题意知，故，即的取值范围为.
18.（1）证明见解析；（2） 【详解】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，则.
设，则，解得，
则，即四点共面.
（2）由（1）中的空间直角坐标系，可得，
设平面的法向量为
由取，可得，所以.设直线与平面所成的角为，则，所以直线PA与平面AMN所成角的正弦值为.
19.（1） （2）2
【详解】（1）由得即，，故，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，
所以，即，故，两式相减得，即，所以，因此的通项公式为.
（2）由（1）及，有，所以，
又，因为均为正整数，所以存在正整数使得，
故，所以除以3的余数为2.
20.【详解】（1）①因为两道生产工序互不影响，
所以．
②记该款设备自动智能检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B，
且P（A）=96%,P（AB）=1-p=．
则人工抽检时，抽检的一套设备恰是合格品的概率：．
（2）因为各套设备的生产互不影响，所以，
所．
令，得，所以当时，为单调增函数；
当时，为单调减函数，所以，当时，取得最大值．
21.（1）x2=4y （2）（i）为钝角三角形. （ii）
【详解】（1）略
（2） 设，
（i）设直线的方程为，联立得，
则，，
所以为钝角三角形.
（ii）因为与同向，且，所以，
从而，即，所以，
联立得，
则，所以，即，
所以直线的斜率为.
【详解】（1）减区间，增区间，极小值为-1，无极大值
（2）令，则当时，；
，；令，则，；
①当时，，则在上存在点，使得当时，，
，即在上单调递增，此时，
在上单调递增，则，不合题意；
②当时，，
令，则，在上单调递减，，即，，则，，
，即在上单调递减，，
在上单调递减，，满足题意；综上所述：的取值范围为.
（3）当时，由（1）知：当时，恒成立，
令，则，，，
，即对任意恒成立，
对，，即，
.