辽宁省抚顺市六校协作体2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

抚顺市六校协作体2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第一册。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角为
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．圆不经过
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若抛物线上一点到焦点的距离是2m，则
A． B．l C．2 D．
4．已知点P为△ABC所在平面内一点，O为平面ABC外一点，若，则的值为
A．1 B． C．2 D．
5．双曲线的一个焦点是，则
A． B．1 C． D．2
6．已知空间三点，，，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为
A．3 B． C．6 D．
7．埃及金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，若金字塔P-ABCD的高为3，，点E满足，则点D到平面AEC的距离为
A． B． C． D．
8．设B是椭圆C：的上顶点，点P在C上，则PB的最大值为
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是
A．，， B．，，
C．，， D．，，
10．已知，是椭圆C：的上、下焦点，M，N是椭圆C上两点，且，则
A．椭圆C的焦距为 B．存在点N，使得
C．的周长为 D．的面积为1
11．已知是抛物线C：的焦点，直线l为抛物线C的准线，过F的直线与C交于A，B两点，点，且AD⊥BD，则
A． B．AB的中点到x轴的距离为1
C．以AB为直径的圆与准线l相切 D．直线AB的斜率为2
12．如图，正方体的棱长为2，M是的中点，点P满足，其中，，则下列结论正确的有
A．当时，MP⊥AC
B．当时，MP∥平面ABCD
C．当时，异面直线MP与AC所成角的余弦值为
D．若，二面角P-BD-C的平面角为，则△PBD的面积为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 ．
14．已知两条平行直线：，：间的距离为，则 ．
15．已知，点P在圆C：上，且，则a的取值范围为 ．
16．已知A，B为双曲线E：（，）的左、右顶点，M为E上一点，若点M到x轴的距离为2，，，则E的渐近线方程为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
如图，在三棱柱中，D，E分别为和AB的中点，设，，．
（1）用，，表示向量；
（2）若，，，求．
18．（12分）
已知直线l经过点，且与直线平行．
（1）求直线l的方程；
（2）已知圆C与y轴相切，直线l被圆C截得的弦长为，圆心在直线上，求圆C的方程．
19．（12分）
已知双曲线C的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知A，B是双曲线C上的两点，且A，B的中点为，求直线AB的方程．
20．（12分）
如图1，在菱形ABCD中，，将△ABC沿着AC翻折至如图2所示的的位置，构成三棱锥．
图1 图2
（1）证明：．
（2）若平面平面ACD，求与平面所成角的正弦值．
21．（12分）
已知F是抛物线C：的焦点，点P在C上，点Q满足，点Q的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）过点F的直线l与曲线E交于M，N两点，，求直线l的方程．
22．（12分）
动点P与定点的距离和它到直线l：的距离的比是常数，设点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知O为坐标原点，与x轴不垂直的直线l与曲线C交于A，B两点，若曲线C上存在点Q，使得四边形OAQB为平行四边形，证明：△AOB的面积为定值．
高二数学试卷参考答案
1．C
设直线的倾斜角为，，则，故．
2．A
可化为，即圆心为，半径为5，故选A．
3．B
设焦点为F，则，即，又，所以．
4．B
因为，且A，B，C，P四点共面，
所以，所以．
5．C
由题可知双曲线的焦点在y轴上，所以，则双曲线的标准方程为，
所以，解得．
6．D
，，则，，，即，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为．
7．A
如图，连接BD，设AC与BD相交于点O，连接PO，以点O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，设平面AEC的法向量为，则，，即，取，得，点D到平面AEC的距离
．
8．A
设点，因为，，所以，
而，所以当时，取得最大值．
9．BC
选项A，，所以，，共面；
选项D，，共线，则，，共面．
10．BD
由题意可知，，所以椭圆C的焦距为，故A错误．
因为，所以B正确．
的周长为，故C错误．
又，所以，则，故D正确．
11．BCD
由题可知，则，故A错误；设，，抛物线C：的准线l：，，则以AB为直径的圆的半径，线段AB的中点坐标为，则线段AB的中点到准线l的距离为，所以以AB为直径的圆与准线l相切，故C正确；易知D为l上的点，又AD⊥BD，则以AB为直径的圆与准线l相切于点D，所以AB的中点的纵坐标为1，即AB的中点到x轴的距离为1，故B正确；直线AB的斜率为，故D正确．
12．ABD
以点D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，，，，所以
，当时，，故MP⊥AC，故A正确；易知是平面ABCD的一个法向量，因为，，所以MP∥平面ABCD，故B正确；
当时，，则，异面直线MP与AC所成角的余弦值为，故C错误；作PP＇⊥平面ABCD（图略），因为，所以P＇为CD的中点，即，又二面角P-BD-C的平面角为，所以，即，故D正确．
13．
因为，所以，故，故．
14．或16
因为，所以，则与的距离为，解得或，则或．
15．
由，可知点P在圆上，所以问题等价于与圆C有交点，所以，所以，解得或．
16．
设，则，所以，即，所以E的渐近线方程为．
17．解：
（1）．
（2）
．
18．解：
（1）因为直线l与直线平行，所以直线l的斜率为，
则直线l的方程为，化简可得．
（2）设圆C的方程为，则，
因为圆C与y轴相切，所以，
又圆心C到l的距离，所以，即，
解得，．
故圆C的方程为．
19．解：
（1）因为双曲线C与双曲线有相同的渐近线，所以可设其方程为：（），
将代入得，则所求双曲线的标准方程为．
（2）设，，则，，
又因为，
所以，即有，
所以，
所以直线AB的方程为，即．
20．
（1）证明：取AC的中点O，连接，OD，
因为ABCD是菱形，，所以，△ACD为等边三角形，
所以，OD⊥AC，
又因为，平面，，
所以AC⊥平面，
因为平面，所以．
（2）解：因为平面平面ACD，且平面平面，，所以平面ACD．
以O为坐标原点，分别以OD，OA，所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，，，．
设平面的法向量为，
则，取，则，，所以．
，
所以与平面所成角的正弦值为．
21．解：
（1）设，则，
所以，
由P在抛物线C上可得，即，
则曲线E的方程为．
（2）设直线l的方程为，设，，
代入，消去x得，
则，，，
所以
，
所以或．
所以直线l的方程为或．
22．
（1）解：设点，依题意可得，
化简得，
所以曲线C的方程为．
（2）证明：设，，直线l：．
由消去y得，
则，
，．
因为四边形OAQB为平行四边形，所以．
设，则．
又因为，即，得，
所以．
因为坐标原点O到直线l的距离，
所以△AOB的面积，
所以△AOB的面积为定值．