四川成都市实验外国语学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

天府新区实外高级中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知直线经过两点，则的斜率为（ ）
A．2 B． C． D．
2．已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线过点，且与向量平行，则直线在轴上的截距为（ ）
A． B．1 C． D．3
4．已知圆的方程是，则它的半径是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
5．直线与直线平行，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．在空间直角坐标系中，点与点（ ）
A．关于原点对称 B．关于平面对称 C．关于轴对称 D．关于轴对称
7．直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
8．如图，在直三棱柱中，，则与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（在每小题给出的选项中，至少有一项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向
B．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小
C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
10．已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的有（ ）
A．的一个方向向量为
B．直线与两坐标轴围成三角形的面积为
C．与直线垂直
D．与直线平行
11．已知正方体的棱长为2，则（ ）
A直线与所成的角为 B．直线与所成的角为
C．点到平面的距高为 D．直线与平面所成的角为
12．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短？在平面直角坐标系中有两条河流，其方程分别为，点，，则下列说法正确的是（ ）
A．将军从A出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7
B．将军从A出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7
C．将军从A出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是
D．将军从A出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．已知，直线，若，则实数的值为______．
14．已知，若，则的值为______．
15．如图在一个的二面角的棱上有两点，线段分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱垂直，若，，则______．
16．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，点满足，设点的轨迹为圆，（1）圆的标准方程为______；（2）若为圆上任意一点，则的最大值为______．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知空间向量．
（1）若，求；
（2）若，求的值．
18．（12分）已知点，直线．
（1）求过点且与直线垂直的直线方程；
（2）直线为过点且和直线平行的直线，求平行直线的距离．
19．（12分）长方体的底面是边长为2的正方形，侧棱长为为棱上的中点，为棱的中点．
（1）证明：平面
（2）求直线到平面的距离．
20．（12分）已知表示圆的方程．
（1）求实数的取值范围；
（2）当圆的面积最大时，求过点圆的切线方程．
21．（12分）已知以点为圆心的圆经过点和点，且圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程；
（2）设点在圆上，求的面积的最大值．
22．（12分）如图所示，是等腰直角三角形，都垂直平面，且．
（1）证明：；
（2）在平面内寻求一点，使得平面，求此时二面角的平面角的正弦值．
参考答案：（评分标准）
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项 A B D B B D C A BD AC BD AC
1．【详解】 ，故选：A
2．【详解】 故选：B．
3．【详解】 设直线与轴的交点为，因为与向量平行，
所以，即，则，所以．故选：D．
4．【详解】 圆的方程可化简为，则它的半径是．故选：B
5．【详解】 时，显然两直线不平行，时，由两直线平行得，解得．故选：B．
6．【详解】 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为，则根据题所给的坐标，可以判断它们关于轴对称．故选：D
7．【详解】 解：曲线，整理得，画出直线与曲线的图象，如图，直线与曲线恰有两个交点，则故选：C．
8．【详解】 如图，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则，所以，所以，所以直线与所成角的余弦值为．故选：A．
9．【详解】 对于A：零向量的方向是任意的，A错误；
对于B：空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小，B正确；
对于C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量，
所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误；D符合定义，正确．故选：BD．
10．【详解】 由题意直线的斜率为，直线方程为，即，它与直线重合，D错误；
，因此是直线的一个方向向量，A正确；
在直线方程中令得，令得，
直线与两坐标轴围成三角形的面积为，B错误；
由于，C正确．故选：AC
11．【详解】 由题意，作正方体如下图所示：对于A：由正方体性质可知，，所以直线与所成的角为直线与所成的角，因为正方体的面对角线长度相等，所以为正三角形，从而，故A错误；
对于B：由正方体性质可知，平面，因为平面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以，故B正确；
选项C：由题意易知，，因为平面，且平面，所以，
因为，所以平面，点到平面的距离为，故C错误；
选项D：由正方体性质可知，平面，
从而直线与平面所成的角为，故D正确．故选：BD．
12．【详解】 由关于的对称点分别为，而，从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是，A对；从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是，B错；由关于的对称点分别为，从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程，C对；从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是，D错．故选：AC
二、填空题：
13． 14． 15．
16．（1） （2）40
13．【详解】 因为，
所以，即，解得（舍去）或．故
14．【详解】 因为，所以．
15．【详解】 由已知可得，所以，因为线段均与棱垂直，所以，因为二面角的大小为，所以，
所以,
因为，
所以，故答案为：．
16．【详解】 因为，点满足，
设点，则，化简得：，即；圆的方程可化为，设，
则
所以的最大值为40．
三、解答题：
17．【小问1详解】 （1），解得：，
故，故．
【小问2详解】 由，可得，解得：，
，，
．
18．【小问1详解】 设过点且与直线垂直的直线方程为．
把点的坐标代入可得：，解得．
过点且与直线垂直的直线方程为．
【小问2详解】 设过点且和直线平行的直线的方程为：．
把点的坐标代入可得：，解得．
直线的方程为：．
平行直线的距离．
19．【小问1详解】 （1）以点为原点，射线分别为轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则，
点，
设平面的一个法向量，则，
令，得，显然有，
则，而平面，因此，平面
【小问2详解】 （2），平面的一个法向量，
于是有直线到平面的距离等于点到平面的距离，所以直线到平面的距离是．
注：若此题学生采用传统证明方法或等体积法均可得分．
20．【小问1详解】 由题可知：，该方程表示圆，则，
即，解得．则实数的取值范围为；
【小问2详解】 令，开口向下，对称轴为，当时，圆的面积取得最大值，此时圆的方程为，
设切线方程为即．圆心到切线的距离等于半径长，即，解得，则另一条切线斜率不存在．
即切线方程为，即；另一条切线方程为；
21．【小问1详解】 中点为，且斜率为1，所以的垂直平分线为，
联立，即圆心为，
，所以所求圆的方程为．
【小问2详解】 ，圆心到的距离为，
到直线距离的最大值为，
所以的面积的最大值为．
22．【小问1详解】 因为都垂直平面，如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
，则，
所以，则，故；
【小问2详解】 设平面的法向量为，
则，令，则
设，则，由于平面，所以，则，所以，即，
又平面，故存在实数，且满足，
使得，
故，解得，所以
设平面的法向量为，又
则，令，则
设平面的法向量为，又
则，令，则，
所以，所以
则二面角的平面角的正弦值为．