平面向量的基本定理及坐标表示
知识点一 平面向量的基本定理
1 平面向量的基本定理
设 ， 同一平面内的两个不共线向量， 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对，使 .
我们把，叫做表示这个平面内所有向量的一个基底.
如下图，，其中，.
PS 唯一性的解释
若不共线，且则
2 正交分解及其坐标表示
① 正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解；
如上图，重力分解成平行斜面的力和垂直于斜面的压力.
② 向量的坐标表示
在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量 为基底，则平面内的任一向量 可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示.
向量，就是以原点为起点，点为终点的向量.
知识点二 平面向量数乘运算与数量积的坐标表示
1 坐标运算
设，则
(1)向量的模
(2)向量的加减法运算 ，
(3)若，，则
(4)实数与向量的积
(5)数量积
(6)夹角余弦值
拓展 定比分点
线段的端点的坐标分别是，点是直线上的一点，
当时，点的坐标是.
2 平面向量位置关系
若 ，
.
【题型一】平面向量的基本定理的理解
【典题1】 如果，是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )
A．与 B．与
C．与 D．与
【典题2】已知方程，其中是非零向量，且不共线，则该方程( )
A．至多有一个解 B．至少有一个解
C．至多有两个解 D．可能有无数多个解
【题型二】平面向量的基本定理的运用
【典题1】已知在中，分别是边上的点，且与相交于点记，用，表示的结果是( )
A． B． C． D．
【典题2】 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若，求.
【典题3】 在直角梯形中，分别为的中点，以为圆心，为半径的半圆分别交及其延长线于点，点在上运动(如图)．若，其中，则的取值范围是 .
巩固练习
1(★) 下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A． B．
C． D．
2 (★★)如图，四边形是正方形，延长至，使得．若动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，其中 ，下列判断正确的是( )
A．满足的点必为的中点 B．满足的点有且只有一个
C．满足的点P最多有3个 D．的最大值为
3 (★★) 如图，在中，设的中点为的中点为的中点为，若，则对应的值为 ．
4 (★★) 如图，已知，，，，若， ．
5(★★★) 在平面向量中有如下定理：设点为同一平面内的点，则三点共线的充要条件是：存在实数，使．试利用该定理解答下列问题：如图，在中，点为边的中点，点在边上，且，交于点，设，则 ．
6(★★★) 在梯形中，为线段上的动点(包括端点)，且，则的最小值为 ．
7(★★★)如图，正方形的边长为分别为的动点，且，
设，则的最大值是 ．
8(★★★) 如图，在平面四边形中，∠∠，∠，，点在线段上，且，若，则的值为 ．
【题型三】 向量位置关系
【典题1】 已知平面内三向量(，，，
(1)求满足的实数；
(2)若，求实数的值；
(3)若，求实数的值．
【典题2】 设向量，其中 为坐标原点，，若 三点共线，则的最小值为 .
【典题3】 已知向量(2，1)，，若与夹角为钝角，则的取值范围是 ．
巩固练习
1(★★) 已知两个向量，则的最大值是( )
A．2 B． C．4 D．
2(★★) 已知点，则以为顶点的四边形是( )
A．梯形 B．邻边不等的平行四边形
C．菱形 D．两组对边均不平行的四边形
3(★★) 已知且点在的延长线上，，则点的坐标为 ．
4(★★) 已知，，，则锐角等于 ．
5 (★★)已知向量，，若，则实数 ．
6(★★) 在平面四边形中，，，则四边形的面积为 ．
【题型四】利用建系求解数量积
【典题1】如图，在菱形中，，且为对角线上一点．
(1)求 ；
(2)若，求
(3)连结并延长，交于点，连结，设．当为何值时，可使最小，并求出的最小值．
巩固练习
1(★) 已知向量，1)，，若向量的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ．
2 (★★) 如图所示，在梯形中，∠，点为的中点，则 ．
3 (★★)在平直角坐标系中，，点在线段上运动，则的取值范围为 ．
4 (★★) 如图，菱形的边长为，对角线，边上点与的延长线上点满足，则向量的值是 ．
5 (★★★) 是边长为的正方形边界或内部一点，且，则的最大值是 ．
6 (★★★) 如图，圆是边长为的正方形的内切圆，是圆的内接正三角形，若绕着圆心旋转，则的最大值是 ．
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知识点一 平面向量的基本定理
1 平面向量的基本定理
设 ， 同一平面内的两个不共线向量， 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对，使 .
我们把，叫做表示这个平面内所有向量的一个基底.
如下图，，其中，.
PS 唯一性的解释
若不共线，且则
2 正交分解及其坐标表示
① 正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解；
如上图，重力分解成平行斜面的力和垂直于斜面的压力.
② 向量的坐标表示
在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量 为基底，则平面内的任一向量 可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示.
向量，就是以原点为起点，点为终点的向量.
知识点二 平面向量数乘运算与数量积的坐标表示
1 坐标运算
设，则
(1)向量的模
(2)向量的加减法运算 ，
(3)若，，则
(4)实数与向量的积
(5)数量积
(6)夹角余弦值
拓展 定比分点
线段的端点的坐标分别是，点是直线上的一点，
当时，点的坐标是.
2 平面向量位置关系
若 ，
.
【题型一】平面向量的基本定理的理解
【典题1】 如果，是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )
A．与 B．与
C．与 D．与
【解析】 ，是平面内一组不共线的向量，作为基底的向量，前提为不共线向量，
所以对于选项都为不共线向量，选项 和为共线向量．
故选 ．
【典题2】已知方程，其中是非零向量，且不共线，则该方程( )
A．至多有一个解 B．至少有一个解
C．至多有两个解 D．可能有无数多个解
，，
不共线，故存在唯一一对实数使，
若满足，则方程有一个解；不满足，则方程无解；
所以至多一个解，故选 ．
【点拨】本题考核对平面向量的基本定理中的”存在性、唯一性”的理解.
【题型二】平面向量的基本定理的运用
【典题1】已知在中，分别是边上的点，且与相交于点记，用，表示的结果是( )
A． B． C． D．
【解析】 由题意，可知，
设，
则有
①
又设，
则有
②
通过比较①②，可得关于的二元一次方程组：，
解此二元一次方程组，得，
将结果带入①式，可得：，故选：．
【点拨】
① 这里给到的方法是以不共线向量为基底，通过两个方式得到向量的表达式，即，再由平面向量的基本定理求出.
② 本题方法很多也可以用平行四边形法则求解.
【典题2】 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若，求.
【解析】以所在直线为轴，以为原点建立平面直角坐标系(如图)．
令，则 ，
过作交的延长线为，由已知得故
则 ，则
，
即有.
【点拨】
① 本题也可以用平行四边形法则求解；
② 这里讲解的方法是建系法，常见步骤如下
(1) 找到合适的方式(一般是利用题中垂直关系等)建系；
(2) 通过一些几何的知识点求出线段的长度，进而得到关键点的坐标；
(3) 关键向量用坐标形式表示，比如本题中的等；
(4) 得到方程组求解(其实就是利用平面向量的基本定理的唯一性).
③ 当根据题意发现容易建系(比如有明显的垂直关系等)，可考虑建系法，它充分体现了“解析几何的优势”.
【典题3】 在直角梯形中，分别为的中点，以为圆心，为半径的半圆分别交及其延长线于点，点在上运动(如图)．若，其中，则的取值范围是 .
【解析】 建立如图所示的坐标系，
则，，，，，，
，(因为在单位圆上，为)
由得
即的取值范围是．
【点拨】 利用建系法求解，点在单位圆上，巧妙的设为，引入参数，此处要注意，则是的函数，求最值不难了.
巩固练习
1(★) 下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 只要两向量不共线即可作为基底，
A．，∴共线，不能作为基底；
B．，∴不共线，可以作为基底；
C．，∴，∴不能作为基底；
D．，∴，∴不能作为基底．
故选 B．
2 (★★)如图，四边形是正方形，延长至，使得．若动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，其中 ，下列判断正确的是( )
A．满足的点必为的中点 B．满足的点有且只有一个
C．满足的点P最多有3个 D．的最大值为
【答案】D
【解析】以AB，AD所在直线分别为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，
设正方形边长为1，P(x，y)，则A(0，0)，B(1，0)，E(－1，1)；
∴；
∴由得，(x，y)=(λ－μ，μ)；
∴；
∴满足λ+μ=2的点P有线段BC的中点和D点；
满足λ+μ=1的点P有B点和线段AD的中点；
满足λ+μ=a(a>0)的点最多有2个；x=1，y=1时，λ+μ取最大值3．故选 D．
3 (★★) 如图，在中，设的中点为的中点为的中点为，若，则对应的值为 ．
【答案】，
【解析】根据条件，；
；
∴，，；
∵；
∴；
∴；解得．
4 (★★) 如图，已知，，，，若， ．
【答案】3
【解析】建立如图所以坐标系，根据条件不妨设A(1，0)，B(，)，C(，)，
则，)=x(1，0)+y(，)，所以，解得x=2，y=1，所以x+y=3，
5(★★★) 在平面向量中有如下定理：设点为同一平面内的点，则三点共线的充要条件是：存在实数，使．试利用该定理解答下列问题：如图，在中，点为边的中点，点在边上，且，交于点，设，则 ．
【答案】
【解析】如图，E，M，C三点共线，∴存在实数λ，使，
∵CF=2FA，∴AC=3AF，∴，又；
∴，∴①；
同样，B，M，F三点共线，所以存在μ，使，
∵E为AB边的中点，∴AB=2AE，
∴；
∴，∴，
∴联立①可得：x，，∴．
6(★★★) 在梯形中，为线段上的动点(包括端点)，且，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】由题，梯形ABCD中，，，
P为线段DE上的动点(包括端点)，
设
，
∵，
∴(1－t)．
又∵(λ，μ∈R)，∴，
∴λ2+μ，
∴当t时，λ2+μ的最小值为．
7(★★★)如图，正方形的边长为分别为的动点，且，
设，则的最大值是 ．
【答案】
【解析】建立如图所示的直角坐标系，并设边长为1，|CF|=a，
则A(0，0)，C(1，1)，E(1，2a)，F(1－a，1)，
故，
又，
∴，则，∴，
令，
则，当且仅当“”时取等号．
故答案为 ．
8(★★★) 如图，在平面四边形中，∠∠，∠，，点在线段上，且，若，则的值为 ．
【答案】
【解析】如图建立直角坐标系 设AB=BC=t，
则A(－t，0)，C(0，t)，
点E在线段BC上，且3，所以E(0，)，
因为在Rt△ADC中，AC，∠ACD=30°，所以AD，
由题知Rt△ABC，是等腰三角形．所以∠DAF=45°，所以DF=AF，D(－(1)t，)，
(t，t)，，)，(t，)，
若λμ(λ，μ∈R)，
则(t，t)=λ(，)+μ(t，)，，解得，，所以．
故答案为 ．
【题型三】 向量位置关系
【典题1】 已知平面内三向量(，，，
(1)求满足的实数；
(2)若，求实数的值；
(3)若，求实数的值．
【解析】 ，
，解得．
．
∥，，解得．
⊥，由可得．
．
【典题2】 设向量，其中 为坐标原点，，若 三点共线，则的最小值为 .
【解析】 ．
三点共线，，化为．
则，
当且仅当时取等号．
【点拨】三点共线，即.
【典题3】 已知向量(2，1)，，若与夹角为钝角，则的取值范围是 ．
【解析】 向量，，
若与夹角为钝角，则， (注意排除共线的情况)
即，解得且，
的取值范围是．
【点拨】由数量积可知
与夹角为钝角与夹角为锐角.
巩固练习
1(★★) 已知两个向量，则的最大值是( )
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【解析】 ∵向量，
，
，
当时，取“=”，
∴的最大值为4．
故选 C．
2(★★) 已知点，则以为顶点的四边形是( )
A．梯形 B．邻边不等的平行四边形
C．菱形 D．两组对边均不平行的四边形
【答案】B
【解析】∵(－4，3)，(－4，3)，(8，0)，
∴，可得AB、DC平行且相等，
可得四边形ABCD是平行四边形，
又∵||5，||=8，
∴||≠||
由此可得四边形ABCD是邻边不等的平行四边形
故选 B．
3(★★) 已知且点在的延长线上，，则点的坐标为 ．
【答案】(－2，11)
【解析】∵点P在线段P1P2的延长线上，且，∴2
∵P1(2，－1)，P2(0，5)
设P点(x，y)，
∴(x－2，y+1)，(－x，5－y)
∴∴x=－2，y=11
∴P点的坐标为(－2，11)．
故答案为 (－2，11)
4(★★) 已知，，，则锐角等于 ．
【答案】45°
【解析】 由题意可得 ，
再由 可得，
化简可得 ，，∴锐角等于45°，
5 (★★)已知向量，，若，则实数 ．
【答案】
【解析】∵向量(1，0)，(0，1)，
∴k(k，1)，3(3，－1)，
又(k)⊥(3)，∴3k－1=0，解得k，
故答案为 ．
6(★★) 在平面四边形中，，，则四边形的面积为 ．
【答案】15
【解析】在平面四边形ABCD中，(1，3)，(－9，3)，
∵0，∴⊥．
∴||，||3，
∴四边形ABCD的面积为 315，
【题型四】利用建系求解数量积
【典题1】如图，在菱形中，，且为对角线上一点．
(1)求 ；
(2)若，求
(3)连结并延长，交于点，连结，设．当为何值时，可使最小，并求出的最小值．
【解析】．
，，
．
(3)以所在直线为轴，以为原点建立平面直角坐标系，
则．(点的坐标已求，故要出点坐标是关键)
，
由图易得，可得
，则
，
当时，最小，最小值是．
【点拨】求数量积方法多样
① 直接利用数量积的定义比如第一问求；
② 把数量积中的向量转化为”信息量大”的向量，进而求解，比如第二问求，转化为向量的关系；
③ 建系法，利用几何的知识点求出关键点坐标，从而数量积问题转化为代数问题，比如第三问求，因为易得的坐标，只要求出点的坐标，就可以把数量积转化为含的式子，最值就易求了！
巩固练习
1(★) 已知向量，1)，，若向量的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】 因为，，所以．
因为向量，的夹角为锐角，所以有，解得．
又当向量，共线时，，
所以，实数m的取值范围为．
2 (★★) 如图所示，在梯形中，∠，点为的中点，则 ．
【答案】－2
【解析】以B为原点，BC为x轴，AB为y轴建系，C(2，0)，，B(0，0)，，
∴，，所以．
故答案为：－2．
3 (★★)在平直角坐标系中，，点在线段上运动，则的取值范围为 ．
【答案】[，4]
【解析】由题意可知，线段AB满足，x∈[0，1]，
设P(x，y)，所以y=2(1－x)，
则 (x，y) (x－1，y)=x2－x+y2=x2－x+4x2－8x+4
=5x2－9x+4，二次函数的对称轴为x∈[0，1]，
所以5x2－9x+4在[0，1]是的最大值为：f(0)=4，
最小值为：f()=5()2－94．
所以 的取值范围为：[，4]．
故答案为：[，4]．
4 (★★) 如图，菱形的边长为，对角线，边上点与的延长线上点满足，则向量的值是 ．
【答案】
【解析】取AC的中点O，以点O为原点，直线AC为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：
A(－2，0)，D(0，1)，，
∴，∴．
故答案为：．
5 (★★★) 是边长为的正方形边界或内部一点，且，则的最大值是 ．
【答案】5
【解析】建立如图所示坐标系；
则A(0，2)，B(0，0)，C(2，0)，D(2，2)；
设P(x，y)，0≤x≤2，0≤y≤2；
取BC的中点为E，则E(1，0)
∵，则2；
则 ) ()=() ( (222+12－[(x－1)2+y2]=5－[(x－1)2+y2]；
故当x=1，y=0时 取最大值5；
故答案为：5．
6 (★★★) 如图，圆是边长为的正方形的内切圆，是圆的内接正三角形，若绕着圆心旋转，则的最大值是 ．
【答案】
【解析】分别过点O作直线l⊥AB，直线m⊥BC，
以点O为坐标原点，直线m，l在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系．
则A(－1，1)，O(0，0)，设点R(cosθ，sinθ)，
则点，，
，
所以
．
因此，的最大值为．
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