平面向量的数量积
数量积的概念
1 概念
如果两个非零向量 ，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作:，即规定：零向量与任一向量的数量积是.
PS 数量积是一个实数，不再是一个向量.
2 投影
向量在向量上的投影：，它是一个实数，但不一定大于.
3 运算法则
对于向量 和实数，有
(1) (2) (3) (
但是 不一定成立.
(当向量，不共线时，向量与向量肯定不共线，那怎么可能相等呢)
即向量的数量积满足交换律，分配率，但不满足结合律.
【题型一】求数量积
【典题1】 已知向量满足，且，则 ．
【典题2】 在三角形中，若为边的三等分点，则 ．
【题型二】 求向量夹角
【典题1】 已知向量满足，，，那么向量与的夹角为 ．
【典题2】 已知向量满足，，则与的夹角的最大值为 ．
【题型三】 求数量积最值
【典题1】 如图，已知等腰梯形中，是的中点，是线段上的动点，则的最小值是 .
【典题2】如图，已知矩形的边长．点分别在边上，且，则的最小值为 ．
【典题3】 已知向量满足，与所成的角为，则当时，的最小值是 ．
巩固练习
1(★) 已知向量，满足，且，则 .
2(★★) 已知非零向量，满足，若，则实数的值为 .
3(★★) 已知向量，满足，，则与的夹角的最大值为 .
4(★★) 如图，在梯形中，，则 .
5(★★)已知中，点在线段上，，且．若，则 .
6(★★★) 设是的垂心，且，则的值为 .
7(★★★)已知为所在平面内的一点，，，若点在线段上运动，则的最小值为 .
8(★★★) 已知非零向量满足：0且不等式恒立，则实数的最大值为 .
9(★★★) 已知平面向量，对任意实数都有，成立．若，则()的最大值是 .
10(★★★) 设为两个非零向量的夹角，已知对任意实数，的最小值为，则( )
A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定
C．若确定，则唯一确定 D．若确定，则唯一确定
中小学教育资源及组卷应用平台
21世纪教育网(www.21cnjy.com)平面向量的数量积
1 概念
如果两个非零向量 ，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作:，即规定：零向量与任一向量的数量积是.
PS 数量积是一个实数，不再是一个向量.
2 投影
向量在向量上的投影：，它是一个实数，但不一定大于.
3 运算法则
对于向量 和实数，有
(1) (2) (3) (
但是 不一定成立.
(当向量，不共线时，向量与向量肯定不共线，那怎么可能相等呢)
即向量的数量积满足交换律，分配率，但不满足结合律.
【题型一】求数量积
【典题1】 已知向量满足，且，则 ．
【解析】因为|，即有，
所以，则，所以．
【点拨】① 由数量积的定义可知
② 题目中遇到类似||可尝试利用性质达到去掉绝对值的目的.
【典题2】 在三角形中，若为边的三等分点，则 ．
【解析】 若，
则，即有0，
．
为边的三等分点，
则
(利用首尾相接法把向量向、靠拢)
．
【点拨】
① 已知条件利用性质可得到，其实也可以通过平行四边形法则和三角形法则得到的；
② 求数量积第一个想法用数量积公式但是发现题目已知条件中很难求解.又因为0，又知道的长度，故想到把转化为用表示.
③ 在求数量积的时候，直接用公式很难求解，都尽量向“信息量大”的向量靠拢.
【题型二】 求向量夹角
【典题1】 已知向量满足，，，那么向量与的夹角为 ．
【解析】，
，
，
，且，
与的夹角为．
【典题2】 已知向量满足，，则与的夹角的最大值为 ．
【解析】，
，
，
，且，
时，的夹角最大为．
【题型三】 求数量积最值
【典题1】 如图，已知等腰梯形中，是的中点，是线段上的动点，则的最小值是 .
【解析】由等腰梯形的知识可知，
设，则，
，
当时，取得最小值，最小值为．
【典题2】如图，已知矩形的边长．点分别在边上，且，则的最小值为 ．
【解析】设∠，则∠，
，
，
当且仅当，
时取，当时，点恰在边上，恰边上，满足条件，
综上所述，的最小值为，
故答案为：．
【典题3】 已知向量满足，与所成的角为，则当时，的最小值是 ．
【解析】
，
又与所成的角为120°，，
(此时由平行四边形法则和三角形法则构造出一个平行四边形)
，
，
与共线，，设，
则(是直线上的动点)，
(其实由性质“若则点在直线上”很容易知道：直线上的存在一动点使得)
所以当垂直于时，最小，为.
【点拨】① 题中遇到类似的等式，很容易想到移项，再利用平行四边形法则进行构造图形求解；
② 本题中求|的最小值，那我们根据平行四边形法则找到向量确定出
|的几何意义从而求解成功.
巩固练习
1(★) 已知向量，满足，且，则 .
【答案】2
【解析】因为||=||，即有||2=||2，
所以2+222，则22=－4，
所以2，
2(★★) 已知非零向量，满足，若，则实数的值为 .
【答案】
【解析】∵已知非零向量，满足||||，cos，，
若(m4，
∴(m4) m4m || || 40，
求得，
3(★★) 已知向量，满足，，则与的夹角的最大值为 .
【答案】30°
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴时，的夹角最大为30°．
4(★★) 如图，在梯形中，，则 .
【答案】
【解析】∵在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，AD=3，CD=2，，
∴) ()=() (
3，
∴3242 3，
则；
5(★★) 已知中，点在线段上，，且．若，则 .
【答案】27
【解析】以CM为对角线作平行四边形CPMQ，
∵CM平分∠ACB，∴四边形XPMQ是菱形，
又CM=6，∠BCM=30°，
∴CP=CQ=2，
∴22cos60°=6，
∵λ，即λ，且A，M，B三点共线，
∴λ，
又，
∴，3，
∴) (3)
=33×12126=27．
6(★★★) 设是的垂心，且，则的值为 .
【答案】
【解析】由三角形垂心性质可得，，
不妨设x，
∵345，
∴，
∴，同理可求得，
∴．
7(★★★)已知为所在平面内的一点，，，若点在线段上运动，则的最小值为 .
【答案】－12
【解析】由题意，画图如下，
根据题意及图，可知，，
∵2，∴2()，
整理，得23，
则 3=－3|| ||=－3|| (4－||)=3(||2－4||)，
设||=m，很明显m∈[0，4]，
故=3(||2－4||)=3(m2－4m)=3(m－2)2－12，
根据二次函数的性质，可知：
当m=2时，取得最小值为－12．
8(★★★) 已知非零向量满足：0且不等式恒立，则实数的最大值为 .
【答案】4
【解析】∵
，
∴，
∴，
∴，
又恒成立，
∴λ≤4，
∴λ的最大值为4．
9(★★★) 已知平面向量，对任意实数都有，成立．若，则()的最大值是 .
【答案】
【解析】如图，
设，，，
若对任意实数x，y都有|x|≥||，|y|≥||成立，
则B，C在以MA为直径的圆上，过O作OD∥AC，交MC于E，交圆于D，
在OD上的射影最长为|ED|，
(|DE| |AC|．
设∠AMC=θ，则|AC|=2sinθ，|OE|=sinθ，
|DE|=1－|OE|=1－sinθ，
∴ ()=2sinθ(1－sinθ)=－2sin2θ+2sinθ，
则当sinθ时， ()有最大值为．
10(★★★) 设为两个非零向量的夹角，已知对任意实数，的最小值为，则( )
A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定
C．若确定，则唯一确定 D．若确定，则唯一确定
【答案】A
【解析】令f(t)22tt2；
∴△=4( )2－4 4 (cosθ－1)≤0恒成立，
当且仅当tcosθ时，f(t)取得最小值2，
∴(cosθ)22(cosθ) 2，
化简 sin2θ=2．
∴θ确定，则||唯一确定
中小学教育资源及组卷应用平台
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
