平面向量的应用
1 平面几何中的向量方法
① 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.
② 用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”
建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
把运算结果“翻译”成几何关系.
Eg 点不在同一直线上
证明直线平行或共线：
证明直线垂直：
求线段比值：且
证明线段相等：
2 向量在物理中的应用
① 速度、力是向量，都可以转化为向量问题；
② 力的合成与分解符合平行四边形法则.
【题型一】平面向量在几何中的应用
【典题1】证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
【典题2】 已知平行四边形的对角线为，求证 (即对角线的平方和等于邻边平方和的倍).
【典题3】 用向量方法证明：三角形三条高线交于一点.
【典题4】证明三角形三条中线交于一点.
巩固练习
1(★★) 如图，分别是四边形的边，的中点，，，，，则线段的长是 ．
2(★★) 证明勾股定理，在中，，则
3(★★) 用向量方法证明 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
4(★★)用向量方法证明 设平面上四点满足条件，则．
5(★★)用向量方法证明 对角线相等的平行四边形是矩形.
6(★★★) 已知向量、、满足0，||=||=||=1．求证 △P1P2P3是正三角形．
【题型二】平面向量在物理中的应用
【典题1】 如图，已知河水自西向东流速为，设某人在静水中游泳的速度为，在流水中实际速度为．
(1)若此人朝正南方向游去，且，求他实际前进方向与水流方向的夹角和的大小；
(2)若此人实际前进方向与水流垂直，且，求他游泳的方向与水流方向的夹角和的大小．
【典题2】 在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且，与的夹角为θ．给出以下结论
①越大越费力，越小越省力； ②的范围为；
③当时，； ④当时，．
其中正确结论的序号是 ．
【典题3】 如图，重为的匀质球，半径为，放在墙与均匀的木板之间，端锁定并能转动，端用水平绳索拉住，板长，与墙夹角为，如果不计木板的重量，则为何值时，绳子拉力最小？最小值是多少？
巩固练习
1(★★) 一条渔船以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，则这条渔船实际航行的速度大小为 ．
2(★★) 如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，且与水平夹角均为45°，，则物体的重力大小为 ．
3(★★) 已知一艘船以的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成角，求水流速度和船实际速度．
4 (★★)一个物体受到同一平面内三个力的作用，沿北偏东的方向移动了．已知，方向为北偏东；，方向为东偏北30°；，方向为西偏北60°，求这三个力的合力所做的功．
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1 平面几何中的向量方法
① 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.
② 用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”
建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
把运算结果“翻译”成几何关系.
Eg 点不在同一直线上
证明直线平行或共线：
证明直线垂直：
求线段比值：且
证明线段相等：
2 向量在物理中的应用
① 速度、力是向量，都可以转化为向量问题；
② 力的合成与分解符合平行四边形法则.
【题型一】平面向量在几何中的应用
【典题1】证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
【证明】 设四边形的对角线交于点，且
，即且
所以四边形是平行四边形
即对角线互相平分的四边形是平行四边形.
【点拨】
① 证明四边形是平行四边形且.
② 证明几何中的平行和长度关系可以转化为向量的倍数关系.
【典题2】 已知平行四边形的对角线为，求证 (即对角线的平方和等于邻边平方和的倍).
【证明】由
两式相加得
即
【点拨】利用可证明线段长度关系.
【典题3】 用向量方法证明：三角形三条高线交于一点.
【证明】(分析 设是高线的交点，再证明，则三条高线就交于一点.)
设是高线的交点，
则有
化简得
则
(向量中证明只需要证明)
所以三角形三条高线交于一点.
【典题4】证明三角形三条中线交于一点.
【证明】(分析 设、交于，证明三点共线便可)
是三角形的三条中线
设交于点，
点是中点，
连接，易证明,且相似比是，
,
即三点共线，
(向量中证明三点共线，只需证明)
交于一点，
即三角形三条中线交于一点.
巩固练习
1(★★) 如图，分别是四边形的边，的中点，，，，，则线段的长是 ．
【答案】
【解析】 由图象，得，．
∵E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，
∴．
∵∠ABC=75°，∠BCD=45°，∴，
∴
．
∴EF的长为 ．
故答案为 ．
2(★★) 证明勾股定理，在中，，则
【证明】 由，得
即
故
3(★★) 用向量方法证明 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
【证明】如图平行四边形，
四边形是菱形.
4(★★)用向量方法证明 设平面上四点满足条件，则．
【证明】 因AD⊥BC，所以，
因BD⊥AC，所以，
于是，，
所以，，
即，所以，即AB⊥CD．
5(★★)用向量方法证明 对角线相等的平行四边形是矩形.
【证明】如图，平行四边形对角线交于点,
设，对角线相等
即
四边形是矩形.
6(★★★) 已知向量、、满足0，||=||=||=1．求证 △P1P2P3是正三角形．
【证明】法一 ∵0，∴．∴||=||．
∴||2+||2+2 ||2．
又∵||=||=||=1，∴ ．
∴||||cos∠P1OP2，即∠P1OP2=120°．
同理∠P1OP3=∠P2OP3=120°．
∴△P1P2P3为等边三角形．
法二 以O点为坐标原点建立直角坐标系，设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，
则(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)．
由0，
得∴，
由||=||=||=1，得x12+y12=x22+y22=x32+y32=1
∴2+2(x1x2+y1y2)=1
∴||
同理||，||
∴△P1P2P3为正三角形
【题型二】平面向量在物理中的应用
【典题1】 如图，已知河水自西向东流速为，设某人在静水中游泳的速度为，在流水中实际速度为．
(1)若此人朝正南方向游去，且，求他实际前进方向与水流方向的夹角和的大小；
(2)若此人实际前进方向与水流垂直，且，求他游泳的方向与水流方向的夹角和的大小．
【解析】如图，设，
则由题意知，，
根据向量加法的平行四边形法则得四边形为平行四边形．
(1)由此人朝正南方向游去得四边形为矩形，且，如下图所示，
则在直角中，，
，又，所以；
(2)由题意知，且，如下图所示，
则在直角△OBC中，，，
又，所以，
则，
答 (1)他实际前进方向与水流方向的夹角为的大小为；
(2)他游泳的方向与水流方向的夹角为的大小为．
【点拨】注意平行四边形法则的使用！
【典题2】 在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且，与的夹角为θ．给出以下结论
①越大越费力，越小越省力； ②的范围为；
③当时，； ④当时，．
其中正确结论的序号是 ．
【解析】 对于①，由为定值，
所以，
解得；
由题意知时，单调递减，所以单调递增，
即越大越费力，越小越省力；①正确．
对于②，由题意知，的取值范围是，所以②错误．
对于③，当时，，所以，③错误．
对于④，当时，，所以，④正确．
综上知，正确结论的序号是①④．
故答案为 ①④．
【典题3】 如图，重为的匀质球，半径为，放在墙与均匀的木板之间，端锁定并能转动，端用水平绳索拉住，板长，与墙夹角为，如果不计木板的重量，则为何值时，绳子拉力最小？最小值是多少？
【解析】 如图，设木板对球的支持力为，则，
设绳子的拉力为．又，
由动力矩等于阻力矩得，
，
当且仅当 即，亦即时，有最小值．
巩固练习
1(★★) 一条渔船以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，则这条渔船实际航行的速度大小为 ．
【答案】2
【解析】如图所示，渔船实际航行的速度为；
大小为||=|| =2．
2(★★) 如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，且与水平夹角均为45°，，则物体的重力大小为 ．
【答案】20
【解析】如图，∵，
∴，
∴物体的重力大小为20．
故答案为 20．
3(★★) 已知一艘船以的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成角，求水流速度和船实际速度．
【答案】5
【解析】如图，设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，以AD，AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是船实际航行的速度．
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，||=||=5，
∴10，5．
故船实际航行速度的大小为，水流速度5．
4 (★★)一个物体受到同一平面内三个力的作用，沿北偏东的方向移动了．已知，方向为北偏东；，方向为东偏北30°；，方向为西偏北60°，求这三个力的合力所做的功．
【答案】24 J
【解析】 以三个力的作用点为原点，正东方向为x轴正半轴，建立直角坐标系．
则由已知可得(1，)，(2，2)，(﹣3，3)．
∴(22，42)．
又位移(4，4)．
∴ (22)×4(42)×424(J)．
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