余弦定理、正弦定理1
1正弦定理
① 正弦定理
(其中是三角形外接圆半径)
② 变形
化边为角
化角为边
③ 正弦定理的“齐次角边互换”
等式中含有三个式子(、、)，每个式子中都有一个值，并且它们的次数都是，则可以把直接转化为对应的边、！
同理.
思考以下转化是否正确
(1) (错)，
(2) (对)
④ 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题
(1) 已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
Eg 在，内角所对的边分别是，，，，，，则边 .
(2) 已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边.
Eg在，内角所对的边分别是，，则角 .
(三角形中有一组对边和对角就可考虑正弦定理)
⑤ 三角形解的个数问题
已知两边和其中一边的对角，不能确定三角形的形状，此时三角形解可能是无解、一解、两解，要分类讨论.
是锐角 是直角或钝角
一解 无解 一解 两解 一解 无解
Eg 求满足的三角形△ABC个数.
方法1 利用正弦定理求解
由正弦定理可得：，则，
，且为锐角，有一解，故三角形只有一解；
方法2 图像法
先做出角过点作此时可知，以为圆心，5为半径画个圆弧，由于，显然圆弧与射线交于一个点，如图可知满足题意的三角形只有一个！
2 面积公式
3 余弦定理
① 余弦定理
② 变形
③ 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题
(1) 已知三边，可求三个角；
Eg 在中，若，则角 .
(2) 已知两边和一角，求第三边和其他两个角.
Eg 在中，，则 .(角为两边的夹角)
在中，3，则边 . (角不为两边的夹角)
④ 三角形类型的判断
；
；
.
⑤ 射影定理
【题型一】正弦定理、余弦定理解单个三角形
【典题1】在中，角的对边分别是，若，且三角形有两解，则角的取值范围是 .
【典题2】在中，角的对边分别是，且面积为，若，，则角等于 .
【典题3】 的内角的对边分别为，若，，且，则下列选项不一定成立的是( )
A． B．的周长为
C．的面积为 D．的外接圆半径为
巩固练习
1(★) 在中，，，，则角的值为 ．
2(★) 在中，内角，，所对的边分别为，，．若，，3，则值为 ．
3(★) 在中，若，则的最大内角与最小内角的和为 ．
4(★)【多选题】已知的内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，有两解的是( )
A． B．
C． D．
5(★★) 【多选题】下列命题中，正确的是( )
A．在中，，则
B．在锐角中，不等式恒成立
C．在中，若，则必是等腰直角三角形
D．在中，若，，则必是等边三角形
6(★★) 【多选题】在中，已知，给出下列结论中正确结论是( )
A．由已知条件，这个三角形被唯一确定 B．一定是钝三角形
C． D．若，则的面积是
7(★★) 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，且，则 ；的面积 ．
8(★★★) 已知的内角，，的对边分别为，，．且．
(1)求； (2)若的面积为，周长为8，求
【题型二】多个三角形问题
【典题1】 在中，是边上一点，，，，
则 ．
【典题2】 在平面四边形中，，，则的取值范围是 ．
【典题3】 如图，等腰直角三角形中，，，点为内一点，
且，．
求； 求．
巩固练习
1(★★) 已知的内角，，所对的边分别为，，，且，的面积为，边上的中线长为，则的周长为 ．
2(★★) 在中，内角的对边分别为．已知，，．则的中线的长为 ．
3(★★) 已知中，，，为线段上一点，，，则 ，的面积是 ．
4(★★★) 在中，，是边上一点，且满足，若，
则 ．
5(★★★) 已知圆内接四边形，其中，，，，则 ．
6(★★★) 如图，在梯形中，，，为上一点，，．
(1)若为等腰三角形，求；(2)设，若，求．
中小学教育资源及组卷应用平台
21世纪教育网(www.21cnjy.com)余弦定理、正弦定理1
1正弦定理
① 正弦定理
(其中是三角形外接圆半径)
② 变形
化边为角
化角为边
③ 正弦定理的“齐次角边互换”
等式中含有三个式子(、、)，每个式子中都有一个值，并且它们的次数都是，则可以把直接转化为对应的边、！
同理.
思考以下转化是否正确
(1) (错)，
(2) (对)
④ 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题
(1) 已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
Eg 在，内角所对的边分别是，，，，，，则边 .
(2) 已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边.
Eg在，内角所对的边分别是，，则角 .
(三角形中有一组对边和对角就可考虑正弦定理)
⑤ 三角形解的个数问题
已知两边和其中一边的对角，不能确定三角形的形状，此时三角形解可能是无解、一解、两解，要分类讨论.
是锐角 是直角或钝角
一解 无解 一解 两解 一解 无解
Eg 求满足的三角形△ABC个数.
方法1 利用正弦定理求解
由正弦定理可得：，则，
，且为锐角，有一解，故三角形只有一解；
方法2 图像法
先做出角过点作此时可知，以为圆心，5为半径画个圆弧，由于，显然圆弧与射线交于一个点，如图可知满足题意的三角形只有一个！
2 面积公式
3 余弦定理
① 余弦定理
② 变形
③ 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题
(1) 已知三边，可求三个角；
Eg 在中，若，则角 .
(2) 已知两边和一角，求第三边和其他两个角.
Eg 在中，，则 .(角为两边的夹角)
在中，3，则边 . (角不为两边的夹角)
④ 三角形类型的判断
；
；
.
⑤ 射影定理
【题型一】正弦定理、余弦定理解单个三角形
【典题1】在中，角的对边分别是，若，且三角形有两解，则角的取值范围是 .
【解析】方法 ，，为锐角，
，
.
方法 几何法
如图，，以为圆心为半径作，则上任一点(与直线交点除外)可为点构成，当AB与相切时，，∠；当与相交时，，因为三角形有两解，所以直线与应相交，.
【点拨】方法二想法与用(三角形有个解可得)这个结论一致的，但不太赞成学习数学去套结论解题，应理解结论的推导方法.
【典题2】在中，角的对边分别是，且面积为，若，，则角等于 .
【解析】方法1 ，
由正弦定理可得，(把边化为角)
即，()
，，故，
，，
，，
．
方法2
由余弦定理可得 (把角化边)
化简得 ，
接着同方法
【点拨】
① 对于一有角有边的等式，可利用正弦定理或余弦定理化简为只含角或只含边的等式；
② 在三角形中.
【典题3】 的内角的对边分别为，若，，且，则下列选项不一定成立的是( )
A． B．的周长为
C．的面积为 D．的外接圆半径为
【解析】 ，
，化简得，
或，
(1)当，时，由得，
，，；
(2)当时，由正弦定理得，
，由余弦定理得，
则，解得，则，
此时满足，即，
对于，当时，，故错误；
对于，当或时，的周长为，故正确；
对于C，当时，的面积，
当时，，故正确；
对于，当或B时，由正弦定理得，得，故正确，
综上可得，命题正确的，错误的为.故选：．
巩固练习
1(★) 在中，，，，则角的值为 ．
【答案】
【解析】由正弦定理可得，，
故，即，
因为，故，且为三角形内角，
故．
2(★) 在中，内角，，所对的边分别为，，．若，，3，则值为 ．
【答案】或，
【解析】由余弦定理可得，
即，即，解得或，
3(★) 在中，若，则的最大内角与最小内角的和为 ．
【答案】
【解析】因为，由正弦定理可得，
设，三角形中由大边对大角可得角最大，角最小，
由余弦定理可得，因为，
所以，所以.
4(★)【多选题】已知的内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，有两解的是( )
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】对于，：，，，是钝角三角形，只有一解；
对于，，，，由正弦定理得，解得，
又，且，所以有个值，三角形有两解；
对于，，，，由正弦定理得，解得，
由，所以，所以，三角形只有一解；
对于，2，，，由正弦定理得，解得，
又，所以，所以有两个值，三角形有两解．
故选：BD．
5(★★) 【多选题】下列命题中，正确的是( )
A．在中，，则
B．在锐角中，不等式恒成立
C．在中，若，则必是等腰直角三角形
D．在中，若，，则必是等边三角形
【答案】ABD
【解析】对于A，由，可得：，利用正弦定理可得：sinA>sinB，正确；
对于B，在锐角中，，
，
因此不等式恒成立，正确
对于C，在中，由，利用正弦定理可得：，
或，
或，
是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，错误．
对于D，由于，
由余弦定理可得：，可得，
解得，可得，故正确．
故选：ABD．
6(★★) 【多选题】在中，已知，给出下列结论中正确结论是( )
A．由已知条件，这个三角形被唯一确定 B．一定是钝三角形
C． D．若，则的面积是
【答案】BC
【解析】
∴设，
得，
则，
则，故C正确，
由于三角形的边长不确定，则三角形不确定，故错误，
，则是钝角，
即是钝角三角形，故B正确，
若，则，
则，即，
的面积．故D错误，
故选：BC．
7(★★) 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，且，则 ；的面积 ．
【答案】 1，
【解析】利用余弦定理整理化简，，
即可得到：，
即可求出，可得，
再由，结合正弦定理可得：，
则：，
，或，，(舍去)，
当，可得，三角形为等腰三角形，
利用余弦定理，可得，
可得：．
故答案为：1，．
8(★★★) 已知的内角，，的对边分别为，，．且．
(1)求； (2)若的面积为，周长为8，求
【答案】(1) (2)
【解析】(Ⅰ)中，，
；
由正弦定理得，
，即；
又，，即，
∴，解得；
(Ⅱ)的面积为，周长为8，
bc，
，…① ，…②
由余弦定理得：，…③
由①②③组成方程组，可得：，
可得：，解得：．
【题型二】多个三角形问题
【典题1】 在中，是边上一点，，，，
则 ．
【解析】如图，设，则 (引入变量)
在中，可得，
在中，由余弦定理可得
，
，
即，解得，
．
【点拨】
① 题目中出现类似的倍数关系，可设未知数(比如设);
② 本题其实是对于同一角在和共用了两次余弦定理，得到了一条的方程最终求解成功.另一思路：解得.利用“同一角、邻补角互补，对角互补”等，在两个三角形里用正弦或余弦定理建立方程求解，这是在多三角形题目中常用技巧.
【典题2】 在平面四边形中，，，则的取值范围是 ．
【解析】 方法 如图所示，延长交于点，
则在中，，，，
(在三个内角都已知，故三边成比例)
设，，，，
，是等腰三角形，过点作的垂线可得
，即，
，，
，
的取值范围是(，)．
方法 尺规作图法
如下图，作出底边的等腰三角形，
与形成夹角的直线(图中虚线)在平面内移动，
分别交于，
则四边形即为满足题意的四边形；
当直线移动时，运用极限思想，
①直线接近点时，趋近最小值，为；
②直线接近点时，趋近最大值，为；
的取值范围是(，)．
【点拨】方法通过辅助线得到两个三角形，引入变量再解三角形，有些复杂；
那方法是怎么想到的呢？
下面我们试试运用“构图法”找思路
① 先思考满足“．”的四边形是否确定了呢？肯定不是，要不出题者让你求长度了. 我们试试“尺规作图”，如图一，先画出线段，再作角，那接着作，没其他条件限制，点的位置无法确定，它可以移动；
② 当点在射线上移动，如图二，易知在线段上或在线段外是无法得到点构造出四边形，故；
③ 在和中利用正弦定理求出，利用极限的位置就得到.
这方法在几何中很常用，可确定题中哪些量是变量哪些是不变量，更便于寻找解题思路.
【典题3】 如图，等腰直角三角形中，，，点为内一点，
且，．
求； 求．
【解析】(1)设，，
由，
可知，．
(三者知一得二)
．
．
(2)在中，利用正弦定理可得，
依题意易得，，
．
在中，利用余弦定理得
．
．
【点拨】
① 解题中要明确什么量是确定或不确定的，比如已知，，意味着角和是确定的(只是具体多少度不知道)，再加上，由三角形的型可知三角形是确定了，那可求，在等腰三角形中，则确定，这可求边长则确定 , 可求. 这样解题中能够作到“心中有数”！
② 处理多个三角形问题，要大胆在各三角形中尝试用正弦余弦定理，利用综合法分析法进行推理分析！
巩固练习
1(★★) 已知的内角，，所对的边分别为，，，且，的面积为，边上的中线长为，则的周长为 ．
【答案】10
【解析】∵由题意可得：，
∴解得，
，
∵由余弦定理可得，即，
∴解得，
的周长为．
故答案为：10．
2(★★) 在中，内角的对边分别为．已知，，．则的中线的长为 ．
【答案】
【解析】如图所示，
△ABC中，，cosC，
由余弦定理得，，即，
整理得，解得或(舍去)；
所以，
由余弦定理得，，解得，
所以的中线的长为．
故答案为：．
3(★★) 已知中，，，为线段上一点，，，则 ，的面积是 ．
【答案】，
【解析】设，
在中，由余弦定理可知，可知，
可得：，可得：，
可得：．
故答案为：，．
4(★★★) 在中，，是边上一点，且满足，若，
则 ．
【答案】
【解析】记，则，
设，因，所以，
设，由，得，，
因，所以，
因，即2 ，
整理得：，即，所以，
所以，
所以．
故答案为：．
5(★★★) 已知圆内接四边形，其中，，，，则 ．
【答案】
【解析】由圆内接四边形的性质可得．
连接，在中，有．
在中，，
所以，，
，
所以，
连接，同理可得，
所以．
所以．
6(★★★) 如图，在梯形中，，，为上一点，，．
(1)若为等腰三角形，求；(2)设，若，求．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)由，可得，
又为等腰三角形，所以，
从而，，
所以=2；
在中，由余弦定理得，
，
所以；
(2)因为，所以，
在中，由正弦定理得；
在，由正弦定理得，
由，得，
即，化简得，
求得．
中小学教育资源及组卷应用平台
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
