余弦定理、正弦定理2
1正弦定理
① 正弦定理
(其中是三角形外接圆半径)
② 变形
化边为角
化角为边
③ 正弦定理的“齐次角边互换”
等式中含有三个式子(、、)，每个式子中都有一个值，并且它们的次数都是，则可以把直接转化为对应的边、！
同理.
思考以下转化是否正确
(1) (错)，
(2) (对)
④ 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题
(1) 已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
Eg 在，内角所对的边分别是，，，，，，则边 .
(2) 已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边.
Eg在，内角所对的边分别是，，则角 .
(三角形中有一组对边和对角就可考虑正弦定理)
⑤ 三角形解的个数问题
已知两边和其中一边的对角，不能确定三角形的形状，此时三角形解可能是无解、一解、两解，要分类讨论.
是锐角 是直角或钝角
一解 无解 一解 两解 一解 无解
Eg 求满足的三角形△ABC个数.
方法1 利用正弦定理求解
由正弦定理可得：，则，
，且为锐角，有一解，故三角形只有一解；
方法2 图像法
先做出角过点作此时可知，以为圆心，5为半径画个圆弧，由于，显然圆弧与射线交于一个点，如图可知满足题意的三角形只有一个！
2 面积公式
3 余弦定理
① 余弦定理
② 变形
③ 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题
(1) 已知三边，可求三个角；
Eg 在中，若，则角 .
(2) 已知两边和一角，求第三边和其他两个角.
Eg 在中，，则 .(角为两边的夹角)
在中，3，则边 . (角不为两边的夹角)
④ 三角形类型的判断
；
；
.
⑤ 射影定理
【题型一】三角形最值问题
【典题1】 锐角三角形的内角的对边分别为，已知，，则周长的范围为 .
【典题2】边长为的正方形的边上有一点，边上有一点，满足的周长为．
求的大小；求面积的最小值．
巩固练习
1(★★) 设锐角的三内角所对边的边长分别为，，，且，，则的取值范围为 ．
2 (★★★) 在中，，，若恒成立，则的最小值为 ．
3 (★★★) 在中，分别是角的对边，若，为的中点，且，则的最大值是 ．
4 (★★★) 在中，角的对边分别为，若，，则的面积的最大值为 ．
5 (★★★) 已知在中，，点在边上，且，．
(1)若，求．(2)求的取值范围．
6(★★★) 如图，在四边形中，，，∠，．
(1)若∠，求；
(2)记∠，当为何值时，△BCD的面积有最小值？求出最小值．
【题型二】解三角形应用举例
【典题1】如图，一架飞机以的速度，沿方位角的航向从地出发向地飞行，飞行了后到达地，飞机由于天气原因按命令改飞地，已知，，，且，．问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时地离地的距离是多少？(参考数据：
巩固练习
1(★★★) 如图，海平面某区域内有，，三座小岛，岛在的北偏东方向，岛在的北偏东方向，岛在的南偏东方向，且，两岛间的距离为海里．
(1)求两岛间的距离；
(2)经测算海平面上一轮船位于岛的北偏西方向，且与岛相距海里，求轮船在岛的什么位置．(注：小岛与轮船视为一点)
2(★★★) 如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形，其底边，点在边上，设；
(1)若，求三角形铁皮的面积；
(2)求剪下的三角形铁皮面积的最大值．
3(★★★★) 如图，已知扇形是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为米，，为了便于游客观光和旅游，提出以下两种设计方案：
(1)如图，拟在观光区内规划一条三角形形状的道路，道路的一个顶点在弧上，另一顶点在半径上，且，求周长的最大值；
(2)如图，拟在观光区内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃的一个顶点在弧上，另两个顶点在半径上，且，求花圃面积的最大值．
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1正弦定理
① 正弦定理
(其中是三角形外接圆半径)
② 变形
化边为角
化角为边
③ 正弦定理的“齐次角边互换”
等式中含有三个式子(、、)，每个式子中都有一个值，并且它们的次数都是，则可以把直接转化为对应的边、！
同理.
思考以下转化是否正确
(1) (错)，
(2) (对)
④ 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题
(1) 已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
Eg 在，内角所对的边分别是，，，，，，则边 .
(2) 已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边.
Eg在，内角所对的边分别是，，则角 .
(三角形中有一组对边和对角就可考虑正弦定理)
⑤ 三角形解的个数问题
已知两边和其中一边的对角，不能确定三角形的形状，此时三角形解可能是无解、一解、两解，要分类讨论.
是锐角 是直角或钝角
一解 无解 一解 两解 一解 无解
Eg 求满足的三角形△ABC个数.
方法1 利用正弦定理求解
由正弦定理可得：，则，
，且为锐角，有一解，故三角形只有一解；
方法2 图像法
先做出角过点作此时可知，以为圆心，5为半径画个圆弧，由于，显然圆弧与射线交于一个点，如图可知满足题意的三角形只有一个！
2 面积公式
3 余弦定理
① 余弦定理
② 变形
③ 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题
(1) 已知三边，可求三个角；
Eg 在中，若，则角 .
(2) 已知两边和一角，求第三边和其他两个角.
Eg 在中，，则 .(角为两边的夹角)
在中，3，则边 . (角不为两边的夹角)
④ 三角形类型的判断
；
；
.
⑤ 射影定理
【题型一】三角形最值问题
【典题1】 锐角三角形的内角的对边分别为，已知，，则周长的范围为 .
【解析】 ，由正弦定理得，
，．
三角形是锐角三角形， (确定与，隐圆模型)
方法1 由正弦定理得
则
锐角三角形 ，
则，即 (当 时取到等号)
，
周长的范围为．
方法2 由余弦定理得，
，，显然
，
，当且仅当时等号成立，
，
，
即周长的范围为．
【点拨】
① 方法把边的最值问题转化为三角函数最值处理，注意角度的范围；
② 方法把看成一个整体，利用基本不等式求最值.
③ 本题属于隐圆问题，的外接圆是确定的，由图也可得到周长的范围为(但不够严谨).
【典题2】边长为的正方形的边上有一点，边上有一点，满足的周长为．
求的大小；求面积的最小值．
【解析】方法 变量法
(分析 由的周长为和勾股定理可知三线关系，而，故可引入变量表示各线段再进行求解.)
设，，(引入角度变量较好，还有可引入其他变量么？)
则，，，，
的周长为，，
由勾股定理可得，
展开整理可得，
变形可得1，即，
为锐角，，.
(2)，
又
，
， 当时取到等号，
故最小值为．
方法 坐标系法
(1)如图，以点为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系
则可设其中 (相当引入线段变量)
则
的周长为，
中由勾股定理得，
化简得，
(数量积处理)
(也可以在中用余弦定理处理)
；
(2)
(涉及面积，割补法也是很常见的)
由(1)可知，
即 解得(当时取到)
最小值为1．
【点拨】
① 本题还有一种方法，如图，延长到使得，利用.
② 方法是引入角度变量，第二问用三角函数表示边长，面积最值最后转化为三角函数的最值问题(涉及到辅助角公式、二倍角公式等)；而方法是引入线段变量，而建系的方式使得每个量都能通过点的坐标得到，使得解题思路更简洁些；
③ 涉及到三角形面积，求法有底高、、隔补法等.
巩固练习
1(★★) 设锐角的三内角所对边的边长分别为，，，且，，则的取值范围为 ．
【答案】(2，2)
【解析】锐角中，角所对的边分别为，
，且，
．
，
∴，
，
∴由正弦定理可得：，
∴可得：
则的取值范围为(2，2)．
2 (★★★) 在中，，，若恒成立，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】∵∠B=60°，，
由正弦定理可得，2，
，
，
，
∴，
，
恒成立，
则，即的最小值为，
故答案为：．
3 (★★★) 在中，分别是角的对边，若，为的中点，且，则的最大值是 ．
【答案】
【解析】在中，分别是角的对边，若，
利用正弦定理：，
所以，
由于，所以，
故A，
为的中点，且，
设，
则：，
故：，
利用余弦定理得：①，
同理：②
由①②得：，
所以，
故，
整理得，
解得，
故答案为：
4 (★★★) 在中，角的对边分别为，若，，则的面积的最大值为 ．
【答案】
【解析】，
∴由正弦定理可得：，整理可得：，
，
，
，
当且仅当时等号成立，
即△ABC的面积的最大值为．
5 (★★★) 已知在中，，点在边上，且，．
(1)若，求．(2)求的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)∵．，∠CAP，
∴在中，由余弦定理知：，
即：，解得：，(负值舍去)，
∴由正弦定理，可得：，解得：，
，
，
∴在中，由正弦定理，可得：，解得：2，
．
(2)设，则，
在中，，
在中，由正弦定理知 ，得，
于是 ，
由题意知 θ，，可得：)∈(，1]，
故 ，
可得：∈(1，]，即的取值范围为：，
6(★★★) 如图，在四边形中，，，∠，．
(1)若∠，求；
(2)记∠，当为何值时，△BCD的面积有最小值？求出最小值．
【答案】(1) (2) 时，取最小值．
【解析】(1)在四边形中，因为，
所以，
在中，可得，
，由正弦定理得：，
解得：．
(2)因为可得，
四边形内角和得，
∴在中，由正弦定理得：，解得：，
在中，由正弦定理得：，解得，
，
，
，
∴当即时，取最小值．
【题型二】解三角形应用举例
【典题1】如图，一架飞机以的速度，沿方位角的航向从地出发向地飞行，飞行了后到达地，飞机由于天气原因按命令改飞地，已知，，，且，．问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时地离地的距离是多少？(参考数据：
【解析】连接，在中由余弦定理，得
，
，
则，即是直角三角形，且，
又，则，
，，
在中，由余弦定理得，则，
又，则是等腰三角形，且，
由已知有，
在中，由余弦定理有，
又，则．
由飞机出发时的方位角为600，则飞机由地改飞地的方位角为．
答：收到命令时飞机应该沿方位角的航向飞行，地离地．
【点拨】
① 在实际问题时，理解仰角、俯角(它是在铅锤面上所成的角)，方位角(它是在水平面上所成的角)；
② 方位角是相对于某点而言，在确定方位角时要弄清楚时哪一个点的方位角；
③ 处理实际问题时要根据题意把实际问题的图形进行简化，并在图形上标出有关的角或边，明确最后实际要求的量可转化为三角形的什么量，再思考正弦定理或余弦定理解三角形.
巩固练习
1(★★★) 如图，海平面某区域内有，，三座小岛，岛在的北偏东方向，岛在的北偏东方向，岛在的南偏东方向，且，两岛间的距离为海里．
(1)求两岛间的距离；
(2)经测算海平面上一轮船位于岛的北偏西方向，且与岛相距海里，求轮船在岛的什么位置．(注：小岛与轮船视为一点)
【答案】(1) 海里 (2) 船在岛北偏东方向上，距离岛海里处．
【解析】(1)由题意可得，
，
在中，由正弦定理得，
即，解得海里)．
(2)由题意可知，
在中，由余弦定理得3，
在中，由余弦定理3，
由正弦定理得：，即，
解得，
∴船在岛北偏东方向上，距离岛海里处．
2(★★★) 如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形，其底边，点在边上，设；
(1)若，求三角形铁皮的面积；
(2)求剪下的三角形铁皮面积的最大值．
【答案】(1)
【解析】(1)当时，，
到的距离为．
的面积为．
(2)，到直线的距离为，
的面积
S，
设，则，
(，
，
，
∴当时，取得最大值．
3(★★★★) 如图，已知扇形是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为米，，为了便于游客观光和旅游，提出以下两种设计方案：
(1)如图，拟在观光区内规划一条三角形形状的道路，道路的一个顶点在弧上，另一顶点在半径上，且，求周长的最大值；
(2)如图，拟在观光区内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃的一个顶点在弧上，另两个顶点在半径上，且，求花圃面积的最大值．
【答案】(1)周长的最大值为米
(2) 花圃面积的最大值为平方米，此时米．
【解析】(1)，∴，
又，设，
在中，由正弦定理可知，，
，
的周长．
化简得．
∴时，的周长有最大值为米．
答：周长的最大值为米；
(2)∵图2中与图1中面积相等，
而在中，，
∴．
由余弦定理知，，
，
，当且仅当时取“=”．
∴平方米．
答：花圃面积的最大值为平方米，此时米．
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