复数
1 虚数单位的性质
叫做虚数单位，并规定：
① 可与实数进行四则运算；
② ，这样方程就有解了，解为，.
③ 以为周期，即.
2 复数的概念
① 定义
形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位，叫做实部，叫做虚部.全体复数所成的集合叫做复数集.复数通常用字母表示，即.
② 分类
3 复数相等
也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等.
PS 只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小.
4 共轭复数
的共轭复数记作，且.
5 复数的几何意义
① 复平面的概念
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
② 复数的几何意义
复数与复平面内的点及平面向量是一一对应关系(复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量)相等的向量表示同一个复数.
③ 复数的模
向量的模叫做复数的模，记作或，表示点到原点的距离，
即 ，
6 代数形式的四则运算
① 运算法则
设，
② 加减法的几何意义
几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形可以直观地反映出复数加减法的几何意义，
即
若，
(1) 表示到的距离，即
(2) 表示以为圆心，为半径的圆.
复数的三角表示
① 一般地，任何一个复数都可以表示成
的形式，其中，是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形表示式.
规定：在范围内的辐角的值为辐角的主值，通常记作，即.
② 复数的代数形式与三角形式的互换
③ 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
设，
则，
.
【题型一】复数的概念与分类
【典题1】求解 ．
【典题2】 求当为何实数时，复数满足：
(1为实数； (2为纯虚数；
【典题3】 已知关于的方程总有实数解，则的取值范围是 ．
【题型二】复数的几何意义与运算
【典题1】 已知复数(i为虚数单位)，下列说法 其中正确的是 .
①复数在复平面内对应的点在第四象限；
②；
③的虛部为；
④．
【典题2】已知复数的实部为，虚部的绝对值为，则下列说法错误的是( )
A．是实数 B．
C． D．在复平面中所对应的点不可能在第三象限
【典题3】设复数满足，则 ．
【典题4】 若，且，则的最小值是 ．
【典题5】复数满足，则的取值范围是 ．
【典题6】已知复数满足，则的最大值是 ．
巩固练习
1(★) 已知两非零复数，若，则一定成立的是( )
A． B． C． D．
2(★) 已知为虚数单位，且，则的值为 ．
3(★) 已知复数(i为虚数单位)，下列说法其中正确的有 个.
①复数在复平面内对应的点在第四象限；②；③z的虛部为；④．
4(★★) 设是复数，给出四个命题
①若，则 ②若，则
③若，则 ④若，则
其中真命题有 个．
5(★★) 设复数满足，则的最大值为 ．
6(★★) 若复数满足，则复数的最大值为 ．
7(★★) 若复数满足，则的最大值是 ．
8(★★) 已知三个复数，并且，所对应的向量，满足，则的取值范围是 ．
9(★★) 当复数满足时，则的最小值是 ．
10(★★) 已知是复平面上的四个点，且向量，对应的复数分别为．
(1)若，求
(2)若，为实数，求的值．
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1 虚数单位的性质
叫做虚数单位，并规定：
① 可与实数进行四则运算；
② ，这样方程就有解了，解为，.
③ 以为周期，即.
2 复数的概念
① 定义
形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位，叫做实部，叫做虚部.全体复数所成的集合叫做复数集.复数通常用字母表示，即.
② 分类
3 复数相等
也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等.
PS 只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小.
4 共轭复数
的共轭复数记作，且.
5 复数的几何意义
① 复平面的概念
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
② 复数的几何意义
复数与复平面内的点及平面向量是一一对应关系(复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量)相等的向量表示同一个复数.
③ 复数的模
向量的模叫做复数的模，记作或，表示点到原点的距离，
即 ，
6 代数形式的四则运算
① 运算法则
设，
② 加减法的几何意义
几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形可以直观地反映出复数加减法的几何意义，
即
若，
(1) 表示到的距离，即
(2) 表示以为圆心，为半径的圆.
复数的三角表示
① 一般地，任何一个复数都可以表示成
的形式，其中，是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形表示式.
规定：在范围内的辐角的值为辐角的主值，通常记作，即.
② 复数的代数形式与三角形式的互换
③ 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
设，
则，
【题型一】复数的概念与分类
【典题1】求解 ．
【解析】 且以为周期
.
【典题2】 求当为何实数时，复数满足：
(1为实数； (2为纯虚数；
【解析】复数．
(1)若为实数，则，解得或；
(2)若为纯虚数，则，解得.
【典题3】 已知关于的方程总有实数解，则的取值范围是 ．
【解析】
得有实数解，
，，
消去得，
，
，
即
，，即，
即的取值范围是.
【点拨】
① 复数相等：，注意分辨出复数的实部和虚部.
② 若关于的方程有实数解，则.
【题型二】复数的几何意义与运算
【典题1】 已知复数(i为虚数单位)，下列说法 其中正确的是 .
①复数在复平面内对应的点在第四象限；
②；
③的虛部为；
④．
【解析】 ，
复数在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限；
；的虚部为；．
故①②正确；③④错误．
【点拨】
① 遇到复数的除法，分母分子同乘“分母的共轭复数”,把复数最终化简成形式；
② 因为，，所以的模等于.
【典题2】已知复数的实部为，虚部的绝对值为，则下列说法错误的是( )
A．是实数 B．
C． D．在复平面中所对应的点不可能在第三象限
【解析】由已知得，或，
则， (，避免了分类讨论与计算)
，则，正确，错误；
的实部大于，
故在复平面中所对应的点不可能在第三象限，正确．
故选．
【点拨】
① 若,则，, .
② 注意一些复数的性质可减轻计算量.
【典题3】设复数满足，则 ．
【解析】 方法1 ， ，
， (,)
．得．
．
又，故2．
方法2 向量法
，
在复平面上分别对应的点在以原点为圆心，半径为的圆上,
,
在复平面上对应的点在圆上，
由向量的平行四边形法则，可知四边形是平行四边形,
如下图易知是等边三角形且边长为，易求,
由向量的三角形法则可知.
【点拨】
① ,；方法直接运用了代数方法求解；
② 复数加减法的几何意义
复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形可以直观地反映出复数加减法的几何意义.
即
③ 方法运用的是复数与向量之间的关系，再借助几何的手段进行求解.
【典题4】 若，且，则的最小值是 ．
【解析】 方法1 待定系数法
设
,
则
解得
当时，取到最小值.
方法2 几何法
表示对应的点在以为圆心，半径的圆上，
就是圆上的点到的距离，
其最小值为圆心到的距离减去半径，即，
故答案为.
【点拨】
① 方法用了待定系数法，把问题转化为式子的最值问题，用到函数思想，此时特别注意自变量的取值范围；
② 方法利用了复数的几何意义，
若
表示到的距离，即
表示以为圆心，为半径的圆.
【典题5】复数满足，则的取值范围是 ．
【解析】表示复数到两点，的距离之和，
而．
又，
点在线段上，(确定点所在的轨迹)
表示点与线段上点的距离，
易得直线的方程，
原点到此直线的距离，而，．
则的取值范围是．
【典题6】已知复数满足，则的最大值是 ．
【解析】 方法1
复数对应点在圆心，半径的圆上，
而则表示点到点，的距离之和，
其中，
而，
的最大值为.
方法2 设，．
则
．
，．
当时，，的最大值是；
当(，]时，，的最大值是；
当∈(，时，，．
综上，的最大值是．
【点拨】运用了待定系数法进行求解，由，设，巧妙的把问题转化为三角函数的问题.，但要分离讨论较方法1还是麻烦些.
巩固练习
1(★) 已知两非零复数，若，则一定成立的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 设z1＝a+bi，z2＝c+di，(a，b，c，d∈R)，
z1+z2＝a+bi+c+di＝a+c+(b+d)i，
∴z1+z2∈R不一定成立，故A不正确；
则(a+bi)(c－di)＝ac+bd+(bc－ad)i，
∴∈R不一定成立，故B不正确；
，
∴∈R不一定成立，故C不正确；
∵，且z1z2∈R，
∴∈R正确，故D成立．
故选 D．
2(★) 已知为虚数单位，且，则的值为 ．
【答案】
【解析】由，可得
.
3(★) 已知复数(i为虚数单位)，下列说法其中正确的有 个.
①复数在复平面内对应的点在第四象限；②；③z的虛部为；④．
【答案】2
【解析】∵，
∴复数在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限；
；z的虚部为－2；．
故①②正确；③④错误．
4(★★) 设是复数，给出四个命题
①若，则 ②若，则
③若，则 ④若，则
其中真命题有 个．
【答案】3
【解析】由z1，z2是复数，得
在①中，若|z1－z2|＝0，则z1，z2的实部和虚部都相等，∴，故①正确；
在②中，若z1，则z1，z2的实数相等，虚部互为相反数，∴z2，故②正确；
在③中，若|z1|＝|z2|，则z1 z2 |z1|2，故③正确；
在④中，若|z1|＝|z2|，则由复数的模的性质得，
如|1－i|＝|1+i|，但(1－i)2＝－2i≠(1+i)2＝2i，故④不正确．
5(★★) 设复数满足，则的最大值为 ．
【答案】49
【解析】设z＝x+yi，由，
得x2+(y－5)2＝4，
则复数在复平面内所对应的点的轨迹是以(0，5)为圆心，以2为半径的圆，
，其几何意义是原点到圆上一点距离的平方，
因此，的最大值为(2+5)2＝49．
6(★★) 若复数满足，则复数的最大值为 ．
【答案】
【解析】设z＝a+bi(a，b∈R)，
则由，得a2+b2+2a≤0，
即(a+1)2+b2≤1．
复数z在复平面内对应点的轨迹如图
∴复数|z－1－i|的最大值为|PC|+1．
故答案为 ．
7(★★) 若复数满足，则的最大值是 ．
【答案】4
【解析】∵复数z满足|z|＝1，∴1．
令z＝cosθ+isinθ，θ∈[0，2π)．
则(i)(z－i)＝1+(z)i+1＝2－2sinθ．
∴|(i)(z－i)|＝|2－2sinθ|≤4，当且仅当sinθ＝－1时取等号．
∴|(i)(z－i)|的最大值是4．
故答案为 4．
8(★★) 已知三个复数，并且，所对应的向量，满足，则的取值范围是 ．
【答案】[，]
【解析】 由题意可知 复数z1，z2，z3对应的点Z1，Z2，Z3在单位圆上，
又，∴OZ1⊥OZ2．
不妨设Z1(1，0)，Z2(0，1)，如图
∴当Z3与A重合时，|z1+z2－z3|有最小值为；
当Z3与B重合时，|z1+z2－z3|有最大值为．
∴|z1+z2－z3|的取值范围是[，]．
故答案为 [，]．
9(★★) 当复数满足时，则的最小值是 ．
【答案】1
【解析】∵|z+2|＝|(z+3－4i)+(－1+4i)|≥|－1+4i|－|z+3－4i|11
∴|z+2|的最小值是1．
10(★★) 已知是复平面上的四个点，且向量，对应的复数分别为．
(1)若，求
(2)若，为实数，求的值．
【答案】(1) (2)
【解析】 (I)向量(a－1，－1)，(－3，b－3)对应的复数分别为z1＝(a－1)－i，z2＝－3+(b－3)i．
∴z1+z2＝(a－4)+(b－4)i＝1+i．
∴a－4＝1，b－4＝1．
解得a＝b＝5．
．
(II)|z1+z2|＝2，z1－z2为实数，
∴2，(a+2)+(2－b)i∈R，
∴2－b＝0，解得b＝2，
∴(a－4)2+4＝4，解得a＝4．
．
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