简单几何体的表面积和体积
1 柱体
① 棱柱
体积： (其中是棱柱的高)
② 圆柱
(1) 侧面积：
(2) 全面积：
(3) 体积： (其中为底圆的半径，为圆柱的高)
2 锥体
① 棱锥
棱锥体积：(其中为圆柱的高)；
② 圆锥
(1) 圆锥侧面积：
(2) 圆锥全面积： (其中为底圆的半径，为圆锥母线)
(3) 圆锥体积： (其中为底圆的半径，为圆柱的高)
3台体
① 圆台表面积
其中是上底面圆的半径，是下底面圆的半径，是母线的长度.
② 台体体积
其中分别为上，下底面面积，为圆台的高.
4 球体
面积，体积（其中为球的半径）
【题型一】几何体的表面积
【典题1】 已知正四棱柱中，，为上底面中心．设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为，，则 ．
【典题2】一个底面半径为，高为的圆锥中有一个内接圆柱，该圆柱侧面积的最大值为（ ）
【典题3】 一个圆台上、下底面半径分别为，高为，若其侧面积等于两底面面积之和，则下列关系正确的是( )
A．+ B．+ C．+ D．+
【题型二】几何体的体积
【典题1】 正方形被对角线和以为圆心，为半径的圆弧分成三部分，绕旋转，所得旋转体的体积之比是( )
A． B． C． D．
【典题2】 如图，圆锥形容器的高为，圆锥内水面的高为，且，若将圆锥的倒置，水面高为，则等于( )
A． B． C． D．
【典题3】 已知球的直径，，是该球球面上的两点，，，则棱锥的体积 .
【题型三】与球有关的切、接问题
【典题1】 已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，若，当三棱锥的体积取到最大值时，球的表面积为（ ）
【典题2】 如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为 ．
巩固练习
1(★) 如图1所示，一只封闭的圆柱形水桶内盛了半桶水(桶的厚度忽略不计)，圆柱形水桶的底面直径与母线长相等，现将该水桶水平放置后如图2所示，设图1、图2中水所形成的几何体的表面积分别为，则与的大小关系是( )
A． B． C． D．
2(★) 若一个圆锥的母线长为，且其侧面积为其轴截面面积的倍，则该圆锥的高为( )
A．π B． C． D．
3(★★) 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的(如图)．则该几何体共有 个面；如果被截正方体的棱长是，那么石凳的表面积是 ．
4(★★) 直角梯形的上、下底和不垂直于底的腰的长度之比为，那么以垂直于底的腰所在的直线为轴，将梯形旋转一周，所得的圆台上、下底面积和侧面面积之比是 .
5(★★) 如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是 .
6(★★) 一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的体积等于 .
7(★★) 如图①，一个圆锥形容器的高为，内装有一定量的水．如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为(如图②)，则图①中的水面高度为 .
8(★★★) 半径为2的球内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为 .
9(★★★) 如图所示，在边长为5的正方形中，以为圆心画一个扇形，以为圆心画一个圆，为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆为圆锥底面，围成一个圆锥，则圆锥的全面积与体积分别是 与 ．
10(★★★) 已知四面体的棱长满足，，现将四面体放入一个主视图为等边三角形的圆锥中，使得四面体可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为 ．
11(★★★) 在直三棱柱中，平面是下底面．是上的点，，，过三点作截面，当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为 .
12(★★★) 如图，在直三棱柱中，，，，，点为侧棱上的动点，当最小时，三棱锥的体积为 ．
13(★★★) 已知是边长为2的等边三角形，，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为 .
14(★★★)如图，在中，，．若平面外的点和线段上的点，满足，，则四面体的体积的最大值是 ．
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1 柱体
① 棱柱
体积： (其中是棱柱的高)
② 圆柱
(1) 侧面积：
(2) 全面积：
(3) 体积： (其中为底圆的半径，为圆柱的高)
2 锥体
① 棱锥
棱锥体积：(其中为圆柱的高)；
② 圆锥
(1) 圆锥侧面积：
(2) 圆锥全面积： (其中为底圆的半径，为圆锥母线)
(3) 圆锥体积： (其中为底圆的半径，为圆柱的高)
3台体
① 圆台表面积
其中是上底面圆的半径，是下底面圆的半径，是母线的长度.
② 台体体积
其中分别为上，下底面面积，为圆台的高.
4 球体
面积，体积（其中为球的半径）
【题型一】几何体的表面积
【典题1】 已知正四棱柱中，，为上底面中心．设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为，，则 ．
【解析】 如图，
正四棱柱中，，，
则正四棱柱的侧面积分别为；
正四棱锥的斜高为．
正四棱锥的侧面积．
．
【点拨】注意侧面积和全面积的区别．
【典题2】一个底面半径为，高为的圆锥中有一个内接圆柱，该圆柱侧面积的最大值为（ ）
【解析】
圆锥的底面半径为，高为，
内接圆柱的底面半径为时，它的上底面截圆锥得小圆锥的高为
因此，内接圆柱的高；
圆柱的侧面积为：
令，当时；
所以当时，．
即圆柱的底面半径为时，圆柱的侧面积最大，最大值为．
故选：C．
【点拨】
① 圆柱的侧面积，则需要知道圆柱的高与底圆半径；
② 在处理圆锥、圆柱问题时，要清楚母线、高、底圆的半径之间的关系，则要看轴截面(如下图),此时由相似三角形的性质可以得到每个量的关系.
【典题3】 一个圆台上、下底面半径分别为，高为，若其侧面积等于两底面面积之和，则下列关系正确的是( )
A．+ B．+ C．+ D．+
【解析】设圆台的母线长为，
根据题意可得圆台的上底面面积为，圆台的下底面面积为，
圆台的侧面面积等于两底面面积之和，
侧面积，解之得
=，
+．故选．
【点拨】在处理圆台问题时，要清楚母线、上底圆半径、下底圆半径、高之间的关系，则要看轴截面(如下图),有.
【题型二】几何体的体积
【典题1】 正方形被对角线和以为圆心，为半径的圆弧分成三部分，绕旋转，所得旋转体的体积之比是( )
A． B． C． D．
【解析】 设正方形的边长为，可得
图旋转所得旋转体为以为轴的圆锥体，高且底面半径
该圆锥的体积为；
图旋转所得旋转体，是以为半径的一个半球，减去图1旋转所得圆锥体而形成，
该圆锥的体积为；
图3旋转所得旋转体，是以为轴的圆柱体，减去图2旋转所得半球而形成，
该圆锥的体积为
综上所述，
由此可得图中三部分旋转所得旋转体的体积之比为．故选．
【点拨】
① 圆锥是由直角三角形以某一直角边为轴旋转得到；圆柱是由矩形以某一边为轴旋转得到；球是由半圆以直径为轴旋转得到;
② 求解不规则图形可用“割补法”.
【典题2】 如图，圆锥形容器的高为，圆锥内水面的高为，且，若将圆锥的倒置，水面高为，则等于( )
A． B． C． D．
【解析】方法一 设圆锥形容器的底面积为，则未倒置前液面的面积为．
水的体积=．
设倒置后液面面积为S′，则，∴．
水的体积．
，解得．
故选 ．
方法二 设容器为圆锥1，高为,体积为;倒置前液面上的锥体为圆锥2，高为,体积为;倒置后液面以下的锥体为圆锥3，高为,体积为.
，
在倒置后，又有
【点拨】
① 涉及圆台的表面积和体积，可把圆台补全为圆锥；
② 两个相似几何体，若相似比为,则对应线段比为，对应的平面面积比为,对应的几何体体积比是.
【典题3】 已知球的直径，，是该球球面上的两点，，，则棱锥的体积 .
【解析】由题可知一定在与直径垂直的小圆面上，作过的小圆交直径于，
如图所示，
设，则，
此时所求棱锥即分割成两个棱锥和，
在和中，由已知条件可得，
又因为为直径，所以，
所以，
所以在中，，
所以，解得，所以，
所以为正三角形，
所以.
【点拨】
① 圆内直径所对的圆周角为；
② 若垂直于三棱锥的某棱长的截面面积为，棱长长，则三棱锥的体积为．
【题型三】与球有关的切、接问题
【典题1】 已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，若，当三棱锥的体积取到最大值时，球的表面积为（ ）
【解析】 如图，当三棱锥的体积取到最大值时，则平面平面，取的中点，连接，则分别取与的外心，分别过作平面与平面的垂线，相交于，则为四面体的球心，由，得正方形的边长为，则
四面体的外接球的半径
球的表面积为，故选：A．
【典题2】 如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为 ．
【解析】设为正方形的中心，的中点为，连接，则，
3，2，
如图，在截面中，设为球与平面的切点，
则在上，且，设球的半径为，则，
因为，
所以，则，
，所以，
设球与球相切与点，
则，设球的半径为，
同理可得，所以，
故小球的体积，
故答案为 ．
巩固练习
1(★) 如图1所示，一只封闭的圆柱形水桶内盛了半桶水(桶的厚度忽略不计)，圆柱形水桶的底面直径与母线长相等，现将该水桶水平放置后如图2所示，设图1、图2中水所形成的几何体的表面积分别为，则与的大小关系是( )
A． B． C． D．
【答案】Ｂ
【解析】设圆柱的底面半径为，图1水的表面积为．
对于图2，
上面的矩形的面积的长是，宽是．则面积是．
曲面展开后的矩形长是，宽是．则面积是．
上下底面的面积的和是 ．
图2水的表面积．
显然．
故选B．
2(★) 若一个圆锥的母线长为，且其侧面积为其轴截面面积的倍，则该圆锥的高为( )
A．π B． C． D．
【答案】Ａ
【解析】设圆锥的底面圆半径为，高为；
由圆锥的母线长为4，所以圆锥的侧面积为；
又圆锥的轴截面面积为，
所以，解得；
所以该圆锥的高为．
故选：A．
3(★★) 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的(如图)．则该几何体共有 个面；如果被截正方体的棱长是，那么石凳的表面积是 ．
【答案】14，10000
【解析】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，
所以该几何体共有14个面；
如果被截正方体的棱长是，那么石凳的表面积是
．
故答案为：14，10000．
4(★★) 直角梯形的上、下底和不垂直于底的腰的长度之比为，那么以垂直于底的腰所在的直线为轴，将梯形旋转一周，所得的圆台上、下底面积和侧面面积之比是 .
【答案】
【解析】由题意可设直角梯形上底、下底和不垂直于底的腰为；
则圆台的上、下底半径和母线长分别为，如图所示；
所以上底面的面积为；下底面的面积为；
侧面积为；
所以圆台的上底、下底面积和侧面面积之比是．
5(★★) 如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是 .
【答案】
【解析】如图所示，过点P作PE⊥平面ABC，E为垂足，点E为的等边三角形ABC的中心．
AEAD，AD．
∴AE．
∴PE．
设圆柱底面半径为R，则2R，
∴圆柱的侧面积＝2πR PEπ，
6(★★) 一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的体积等于 .
【答案】
【解析】设圆锥的底面半径为，
圆锥形物体的母线长，侧面展开图的圆心角为，
故，解得，
故圆锥的高=，
故圆锥的体积=．
7(★★) 如图①，一个圆锥形容器的高为，内装有一定量的水．如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为(如图②)，则图①中的水面高度为 .
【答案】
【解析】 令圆锥倒置时水的体积为V′，圆锥体积为V，
则)3，∴，倒置后 ，
设此时水高为，则，．
故原来水面的高度为．
8(★★★) 半径为2的球内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为 .
【答案】
【解析】如图所示，设正三棱柱上下底面的中心分别为，底面边长与高分别为，
则，在中，，
化为，
∴．
当且仅当，即时取等号，
此时．
9(★★★) 如图所示，在边长为5的正方形中，以为圆心画一个扇形，以为圆心画一个圆，为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆为圆锥底面，围成一个圆锥，则圆锥的全面积与体积分别是 与 ．
【答案】，
【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为，
由已知条件可得 ，解得，
，
又∵h，．
故答案为 ，
10(★★★) 已知四面体的棱长满足，，现将四面体放入一个主视图为等边三角形的圆锥中，使得四面体可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为四面体的棱长满足，
所以可以把其放到长宽高分别为的长方体中，四面体的棱长是长方体的面对角线，
，①；，②；，③
故四面体的外接球半径满足：；
．
∵四面体放入一个主视图为等边三角形的圆锥中，
使得四面体可以在圆锥中任意转动，
要想圆锥的侧面积最小；
故需满足四面体的外接球恰好是圆锥的内切球；
作圆锥的轴截面，如图：设，则；
可得：；
；
故圆锥侧面积的最小值为：．
故答案为：．
11(★★★) 在直三棱柱中，平面是下底面．是上的点，，，过三点作截面，当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为 .
【答案】
【解析】由，得．
将平面与平面放在一个平面内，
连接，与 的交点即为，此时，
设四棱锥的体积为，则，
三棱柱的体积．
∴当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为．
12(★★★) 如图，在直三棱柱中，，，，，点为侧棱上的动点，当最小时，三棱锥的体积为 ．
【答案】
【解析】将直三棱柱展开成矩形，如图，
连结，交于，此时最小，
，点为侧棱上的动点，
∴当最小时，，
此时三棱锥的体积
．
13(★★★) 已知是边长为2的等边三角形，，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】由题可知，平面平面，且时，三棱锥体积达到最大，如右图所示，
则点，点分别为，的外心，并过两个三角形的外心作所在三角形面的垂线，两垂直交于点．
∴点是此三棱锥外接球的球心，即为球的半径．
在中，，，
由正弦定理可知，，，
延长交于点，延长交于点，
∴四边形是矩形，且平面，则有，
又，
．．
14(★★★)如图，在中，，．若平面外的点和线段上的点，满足，，则四面体的体积的最大值是 ．
【答案】
【解析】如图，是的中点．
①当时，如图，此时高为到的距离，也就是到的距离，即图中，
，由，可得，，
=，
②当时，如图，此时高为到的距离，也就是到的距离，即图中，
，由等面积，可得，
∴，
，
=，，2)
综上所述，，
令，则，时，．
中小学教育资源及组卷应用平台
故答案为 ．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
