平面与空间点、直线、面之间的位置关系
1 平面
无限延展，无边界.
判断 一张纸是一个平面；平面就是四边形；两个平面可相交于一点 .
原因均是平面是无限延展的.
2三个基本事实与三个推论
① 基本事实1
不共线的三点确定一个平面.
PS “确定”的意思是“有且只有”，过不共线三点的平面有且只有一个，故说确定一个平面.
判断 三点确定一个平面 ；原因是三点未必共线.
用途:用于确定平面.
② 基本事实2
如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内.
用途:常用于证明直线在平面内.
③ 基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
用途:常用于证明线在面内，证明点在线上.
推论1:直线与直线外的一点确定一个平面.
推论2:两条相交直线确定一个平面.
推论3:两条平行直线确定一个平面.
3 图形语言，文字语言，符号语言的转化
PS 点用大写字母表示，直线用小写字母表示，平面用希腊字母表示.
2 空间点，直线，面之间的位置关系
① 线线的位置关系
(1) 空间直线的位置关系
(2) 平行线的传递公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
符号表述:
(3) 等角定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
(4) 异面直线:
定义:不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；
图形语言
符号语言
② 线面的位置关系
(1) 直线与平面的位置关系
(2) 图形语言
例 若直线在平面内，直线平行直线，则直线与平面的位置关系是
答案 或者.
③ 面面的位置关系
(1) 平面与平面的位置关系
(2) 图形语言
【题型一】平面的确定
【典题1】 设表示一个点，表示两条直线，表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是 ( )．
【典题2】 在正方体中，，分别为棱，的中点，则在空间中与三条直线，，都相交的直线有________条．
【题型二】三点共线、三线共点、四点共面
【典题1】 如图，在正方体中，点 分别在棱上，且，相交于点，求证三点共线.
【典题2】 如图所示，正方体中，分别是和的中点．
求证:(1)四点共面；(2)三线共点．
巩固练习
1(★★) 一块蛋糕切三道最多可以切 块？
2(★) 下列命题正确的是 ( )
Ａ.经过三点确定一个平面 Ｂ.经过一条直线和一个点确定一个平面
Ｃ.四边形确定一个平面 Ｄ.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
3(★) 以下四个命题中，正确命题的个数是 ( )
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点共面，点共面，则共面；
③若直线共面，直线共面，则直线共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
4(★★) 空间四边形中，各边长均为，若，则的取值范围是________．
5(★★★) 如图，已知分别是正方体的棱的中点，证明 三线共点．
6(★★★) 如图，在正方体中，点 分别是棱的中点,
求证点，共面.
【题型三】点、线、面的位置关系
【典题1】 分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是 ( )
Ａ.异面直线 Ｂ.相交直线 Ｃ.不相交直线 Ｄ.不平行直线
【典题2】 若直线不平行于平面，且，则 ( )
A.内所有直线与异面 B.内不存在与平行的直线
C.内存在唯一的直线与平行 D.内的直线与都相交
【典题3】 如果三个平面将空间分成个互不重叠的部分，则这三个平面的位置是 ( )
A．两两相交于三条交线
B．两个平面互相平行，另一平面与它们相交
C．两两相交于同一条直线
D．B中情况或C中情况都可能发生
巩固练习
1(★) 在图中，分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)
2(★) 已知直线，若，则与的位置关系是 ( )
A．异面直线 B．相交直线 C．平行直线 D．相交直线或异面直线
3(★) 下列命题中正确的个数是 ( )
①若直线上有无数个点不在平面内，则.
②若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行.
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行.
④若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点.
A．0 B．1 C．2 D．3
4(★) 平面与平面都相交，则这三个平面可能有（ ）
A．条或条交线 B．条或条交线
C．仅条交线 D．条或条或条交线
5(★) 若三个平面两两相交，则它们的交线条数是 ( )
A．条 B．条 C．条 D．条或条
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1 平面
无限延展，无边界.
判断 一张纸是一个平面；平面就是四边形；两个平面可相交于一点 .
原因均是平面是无限延展的.
2三个基本事实与三个推论
① 基本事实1
不共线的三点确定一个平面.
PS “确定”的意思是“有且只有”，过不共线三点的平面有且只有一个，故说确定一个平面.
判断 三点确定一个平面 ；原因是三点未必共线.
用途:用于确定平面.
② 基本事实2
如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内.
用途:常用于证明直线在平面内.
③ 基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
用途:常用于证明线在面内，证明点在线上.
推论1:直线与直线外的一点确定一个平面.
推论2:两条相交直线确定一个平面.
推论3:两条平行直线确定一个平面.
3 图形语言，文字语言，符号语言的转化
PS 点用大写字母表示，直线用小写字母表示，平面用希腊字母表示.
2 空间点，直线，面之间的位置关系
① 线线的位置关系
(1) 空间直线的位置关系
(2) 平行线的传递公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
符号表述:
(3) 等角定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
(4) 异面直线:
定义:不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；
图形语言
符号语言
② 线面的位置关系
(1) 直线与平面的位置关系
(2) 图形语言
例 若直线在平面内，直线平行直线，则直线与平面的位置关系是
答案 或者.
③ 面面的位置关系
(1) 平面与平面的位置关系
(2) 图形语言
【题型一】平面的确定
【典题1】 设表示一个点，表示两条直线，表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是 ( )．
【解析】对于① 当时，，但，①错；
对于② 时，②错；
对于③ 如图，由直线与点确定唯一平面，
又，由与确定唯一平面但经过直线与点与重合，故③正确；
对于④ 点是平面的公共点，线是平面的交线，而两平面的交点必在其交线上，故④正确．故选.
【点拨】
① 熟悉点、线、面及其之间关系的符号表示；
② 判断尽量利用画图进行思考，若要排除选项则举出一反例；
③ 确定平面的方法---不共线的三点确定一个平面、直线与直线外的一点确定一个平面、两条相交直线确定一个平面、两条平行直线确定一个平面.
【典题2】 在正方体中，，分别为棱，的中点，则在空间中与三条直线，，都相交的直线有________条．
【解析】 在上任意取一点，直线与确定一个平面，这个平面与有且仅有个交点，当取不同的位置时就确定不同的平面，从而与有不同的交点，而直线与这3条异面直线都有交点如图所示．
【点拨】
其实就是过三直线，，中任一条直线的平面与另外两直线分别交于点，
则直线为所求直线，而这样的平面有无数个，则直线有无数条.
【题型二】三点共线、三线共点、四点共面
【典题1】 如图，在正方体中，点 分别在棱上，且，相交于点，求证三点共线.
【证明】 直线直线，平面. 平面.
直线平面.
又直线， 平面. 同理可证，平面.
平面平面直线， 直线.
三点共线.
【点拨】
① 本题利用了基本事实：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
② 证明三点共线，一般思路是证明点在直线上.
【典题2】 如图所示，正方体中，分别是和的中点．
求证:(1)四点共面；(2)三线共点．
【证明】
(1) 连接
分别是的中点，
又，
四点共面．
(2)与必相交，设交点为，
则由平面，得平面.
同理平面
又平面平面，
直线三线共点．
【点拨】
① 证明四点共面可转化为两线共面，即证明两直线必定相交或平行(利用推论2：两相交线确定一个平面和推论3：两条平行直线确定一个平面)；
② 证明三线共点，一般思路是
(1) 先设两直线相交于点,再证明点.
(2) 证明与相交于点，与相交于点，再证明两交点重合；
③ 证明多线共面，首先由其中两直线确定平面，再证其余直线在此平面内.
巩固练习
1(★★) 一块蛋糕切三道最多可以切 块？
【答案】8
2(★) 下列命题正确的是 ( )
Ａ.经过三点确定一个平面 Ｂ.经过一条直线和一个点确定一个平面
Ｃ.四边形确定一个平面 Ｄ.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
【答案】D
【解析】对于A,若三点共线时就错了；对于B，若点在直线上，是不能确定一个平面的；对于C，空间四边形就不属于平面图形，注意四边形在立体几何里分为平面四边形和空间四边形了。
3(★) 以下四个命题中，正确命题的个数是 ( )
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点共面，点共面，则共面；
③若直线共面，直线共面，则直线共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
【答案】B
【解析】 ①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面．这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确．②从条件看出两平面有三个公共点，但是若共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．
4(★★) 空间四边形中，各边长均为，若，则的取值范围是________．
【答案】(0，)
【解析】如图所示，与均为边长为的正三角形，当与重合时，，将以为轴转动，到四点再共面时，，故的取值范围是.
5(★★★) 如图，已知分别是正方体的棱的中点，证明 三线共点．
【证明】
连结，由题意知//EB, ，
∴四边形是平行四边形．.
又，故，
，且，∴与相交．
设交点为，则，平面，平面.
∵，平面，平面.
∵平面平面，
∴，∴三线共点．
6(★★★) 如图，在正方体中，点 分别是棱的中点,
求证点，共面.
【证明】 连接，并分别延长，使与的延长线交于点，
的延长线与的延长线交于点.
∵ 三点不共线，∴ 确定一个平面.∴ .
又∵点是的中点，，∴ 点是的中点.
同理可得，点是的中点.
∴
又∵ 四边形是正方形，.
连接. 是全等的等腰直角三角形.
.
.
三点共线.
又，∴，而， ∴ .
∴ 四点共面.
【题型三】点、线、面的位置关系
【典题1】 分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是 ( )
Ａ.异面直线 Ｂ.相交直线 Ｃ.不相交直线 Ｄ.不平行直线
【解析】 已知直线与是异面直线，直线与直线分别与两条直线与直线相交与点，，
根据题意可得当点与点重合时，两条直线相交，当点与点不重合时，两条直线异面．
下面证明两条直线不平行
假设直线与直线平行，则四点共面，
所以直线与直线共面，
这与直线、直线异面相互矛盾，
所以假设错误，即直线与直线不平行．
所以分别与两条异面直线都相交的两条直线一定不平行．
故选D．
【点拨】证明两条直线不平行时，利用了反证法.
【典题2】 若直线不平行于平面，且，则 ( )
A.内所有直线与异面 B.内不存在与平行的直线
C.内存在唯一的直线与平行 D.内的直线与都相交
【解析】若直线不平行于平面，且,则与平面相交，
内与相交的直线在同一面内，故选项错误．
直线与面相交的点，过此点的所有直线均与相交，平面内其他的线则不与其相交，故，项说法错误．
若内存在与平行的直线，则根据线面平行的判定定理可知与面平行，已知直线不平行于平面，故内不存在与平行的直线，项说法正确．
故选．
【点拨】
① 线面的位置关系有：
② 在证明选项的时候利用了反证法.
【典题3】 如果三个平面将空间分成个互不重叠的部分，则这三个平面的位置是 ( )
A．两两相交于三条交线
B．两个平面互相平行，另一平面与它们相交
C．两两相交于同一条直线
D．B中情况或C中情况都可能发生
【解析】 选项中，若三个平面两两相交，且有三条交线，则把空间分成或部分；故不正确．
选项中，若两个平面互相平行，另一平面与它们相交，则把空间分成部分；故正确．
选项中，若三个平面两两相交于同一条直线，则把空间分成部分；故正确．故选．
【点拨】本题考核空间想象能力，要注意多种情况,可根据交线的条数进行分类讨论.
巩固练习
1(★) 在图中，分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)
【答案】 ②④
【解析】 图①中，直线；
图②中，三点共面，但，因此直线与异面；
图③中，连接，，因此与共面；
图④中，共面，但面，因此与异面．
所以图②、④中与异面．
2(★) 已知直线，若，则与的位置关系是 ( )
A．异面直线 B．相交直线 C．平行直线 D．相交直线或异面直线
【答案】 D
【解析】 如图，，，∴与异面，
，∴与相交，
∴若，，则与的位置关系 相交或异面．故选D．
3(★) 下列命题中正确的个数是 ( )
①若直线上有无数个点不在平面内，则.
②若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行.
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行.
④若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】 B
【解析】 B,只有④对．
4(★) 平面与平面都相交，则这三个平面可能有（ ）
A．条或条交线 B．条或条交线
C．仅条交线 D．条或条或条交线
【答案】D
【解析】①若平面∥平面，平面与平面都相交，则它们有2条交线，且这2条交线互相平行；
②若平面平面，平面是经过直线的平面，则三个平面只有一条交线，即直线；
③若平面平面，平面与平面都相交，但交线与直线不重合，则它们有3条交线，例如棱柱或棱锥的三个侧面相交于三条直线，即三条侧棱
综上所述，这三个平面的交线的条数可能是1条、2条或3条
故选 D
5(★) 若三个平面两两相交，则它们的交线条数是 ( )
A．条 B．条 C．条 D．条或条
【答案】D
【解析】如图，三个平面有一条交线的情况，
三个平面有两条交线的情况，
故选D．
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