空间直线、平面的平行
1 线面平行
① 直线与直线平行
基本事实 平行于同一条直线的两条直线平行(平行线的传递公理)
符号表述：
等角定理 如果空间中两个角度两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
② 直线与平面平行
(1) 定义
直线与平面无交点.
(2) 判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
(俗说：若，要证明，则在平面内找一条直线与直线平行)
符号表述
(线线平行线面平行)
(3) 性质定理
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.
符号表述
(线面平行线线平行)
(4) 证明线面平行的方法
定义法(反证) (用于判断)
判定定理： (线线平行线面平行)
(面面平行线面平行)
2面面平行
① 定义：;
判断
内有无穷多条直线都与平行 ；
内的任何一条直线都与平行 ；
②判定定理
如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；
符号表述：
【如图】
推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行.
符号表述：
【如图】
③ 面面平行的性质
(面面平行线面平行)
(面面平行线线平行)
夹在两个平行平面间的平行线段相等.
④ 证明面面平行的方法
定义法；
判定定理及推论(常用)
【题型一】线面平行的证明
【典题1】 如图所示，在棱长为的正方体中，分别是， ，的中点.
求证：平面； (2)求的长；(3)求证：平面 .
【典题2】 如图所示，正四棱锥的各棱长均为，分别为上的点，且.
(1)求证：直线∥平面； (2)求线段的长.
【题型二】线面平行的性质
【典题1】如图，四棱锥的底面是平行四边形，分别为线段上一点，若，且∥平面，则 ( )
A.41 B.31 C.32 D.21
巩固练习
1(★) 如图在正方体中，棱长为，分别为的中点，则与平面的位置关系是( )
A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定
2(★) 如图所示，为所在平面外一点，为的中点，为上一点，当∥平面时，= .
3 (★★) 如图，在四面体中，，，，点，，，分别在棱，，，上，若直线，都平行于平面，则四边形面积的最大值是 .
4 (★★) 如图.在四棱锥中.底面是平行四边形，点为棱上一点.点为棱上一点，
(1)若，求证：∥平面；
(2)若平面，求证：.
5 (★★★) 如图所示，四边形为空间四边形的一个截面，若截面为平行四边形.
(1) 求证：平面，平面.
(2) 若，求四边形周长的取值范围.
【题型三】面面平行的证明
【典题1】 如图，与均为平行四边形，，，分别是，，的中点.
(1)求证：∥平面；
(2)求证：平面∥平面.
【典题2】 如图，在四棱锥中，，，
⊥平面，，．设，分别为，的中点．
(1)求证：平面∥平面；(2)求三棱锥的体积．
【典题3】 如图，在棱长为的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且//截面，则线段P长度的取值范围是( )
【题型四】面面平行的性质
【典题1】 已知两条直线，，两个平面，，则下列结论中正确的是 ( )
A．若，且，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【典题2】 已知平面∥面，为异面线段，，，且，，与所成的角为，平面∥面，且平面与分别相交于点．
(1)若，求截面四边形的周长；
(2)求截面四边形面积的最大值．
巩固练习
1(★) 已知直线，给出以下三个命题：
①若平面∥平面，则直线∥平面；
②若直线∥平面，则平面∥平面；
③若直线不平行于平面，则平面不平行于平面．
其中正确的命题是( )
A．② B．③ C．①② D．①③
2 在正方体中，，，分别是，，的中点，给出下列四个推断：
①∥平面； ②∥平面；
③∥平面； ④平面∥平面
其中推断正确的序号是 ( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
3(★★) 已知平面∥平面，是，外一点，过点的直线与，分别交于点，，过点的直线与，分别交于点，，且，，，则的长为( )
A. B. C.或24 D.或12
4(★★) 已知两平行平面与之间的距离为，直线，点，则平面内到点的距离为，且到直线的距离为的点的轨迹是( )
A．一组平行线 B．一条抛物线 C．两段圆弧 D．四个点
5(★★) 如图，已知平面，，，且，直线，分别与平面，，交于点，，和，，，若，，，则= ．
6(★★) 如图所示，是棱长为的正方体，分别是下底面的棱，的中点，是上底面的棱上的一点，，过的平面交上底面于，在上，则 ．
7 (★★) 在长方体，分别在对角线上取点，使得直线平面，则线段长的最小值为 ．
8(★★) 已知：如图，平面满足，，，，，与异面，
且．求证：
9(★★★) 在正方体中，分别是和的中点，
求证：(1)∥
(2)∥平面．
(3)平面∥平面．
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1 线面平行
① 直线与直线平行
基本事实 平行于同一条直线的两条直线平行(平行线的传递公理)
符号表述：
等角定理 如果空间中两个角度两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
② 直线与平面平行
(1) 定义
直线与平面无交点.
(2) 判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
(俗说：若，要证明，则在平面内找一条直线与直线平行)
符号表述
(线线平行线面平行)
(3) 性质定理
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.
符号表述
(线面平行线线平行)
(4) 证明线面平行的方法
定义法(反证) (用于判断)
判定定理： (线线平行线面平行)
(面面平行线面平行)
2面面平行
① 定义：;
判断
内有无穷多条直线都与平行 ；
内的任何一条直线都与平行 ；
②判定定理
如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；
符号表述：
【如图】
推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行.
符号表述：
【如图】
③ 面面平行的性质
(面面平行线面平行)
(面面平行线线平行)
夹在两个平行平面间的平行线段相等.
④ 证明面面平行的方法
定义法；
判定定理及推论(常用)
【题型一】线面平行的证明
【典题1】 如图所示，在棱长为的正方体中，分别是， ，的中点.
求证：平面； (2)求的长；(3)求证：平面 .
【解析】如图所示，连接
，分别为的中点，
，
平面，平面，
平面.
由题意，可得：
连接，
分别是的中点，，
又且，，
又 平面，平面，
//平面.
【点拨】
① 在立体几何中，遇到中点我们往往会想到中位线；
② 证明线面平行的过程中，经常利用三角形的中位线(如第一问)和构造平行四边形的方法(如第三问);
③ 证明线面平行可转化为证明线线平行或面面平行，本题第三问还有多种方法.
【典题2】 如图所示，正四棱锥的各棱长均为，分别为上的点，且.
(1)求证：直线∥平面； (2)求线段的长.
【解析】(1)证明 连接并延长交于，连接，如图所示.
，，
，
又，
，，
又平面PBC，平面，
∥平面.
(2)解 在等边中，，
在中由余弦定理知
，
，
，，
【点拨】
① 证明线面平行可转化为线线平行，而本题是利用线段成比例证明线线平行；
② 由于线段与是异面直线，则条件不太好处理，一般要利用第三个“比例”把和联系起来，本题充当了这个角色;
③ 处理线段成比例中，要常注意以下几个模型，往往跟相似三角形有关：
比如本题中的就是属于“8字型”.
【题型二】线面平行的性质
【典题1】如图，四棱锥的底面是平行四边形，分别为线段上一点，若，且∥平面，则 ( )
A.41 B.31 C.32 D.21
【解析】 如图，连接交于点，连接交于点，
由平面，可得，(此处是根据线面平行的性质)
，，为的中点，
作，，
，，，
故选：.
【点拨】
① 题目中出现线面平行平面，理当想到线面平行的性质；
② 线面平行的性质可由线面平行得到线线平行;
③ 在处理很多比例时，利用“份”的概念，可快速清楚各线段之间比例
比如
(1) 中，，则设最短线(即为“份”)，则，则可得;
(2) 中，若，设(即线段共“份”，占了“份”)，则，由于线段成比例，易得类似等比例关系.
巩固练习
1(★) 如图在正方体中，棱长为，分别为的中点，则与平面的位置关系是( )
A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定
【答案】B
【解析】连结A1C、BC，取A1C的中点Q，A1B的中点P，
连结NQ、PQ、MN，
∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B、AC的中点，
∴NQ∥CC1，PQ∥BC，
∵PQ∩NQ=Q，CC1∩BC=C，PQ、NQ 平面PMN，CC1，BC 平面A1BC1，
∴平面PNQ∥平面A1BC1，
∵MN 平面PNQ，∴MN∥平面BB1C1C．
故选：B．
2(★) 如图所示，为所在平面外一点，为的中点，为上一点，当∥平面时，= .
【答案】
【解析】连接AC交BE于点M，连接FM．
∵PA∥平面EBF，PA 平面PAC，平面PAC∩平面EBF=EM，
∴PA∥EM，∴===，故答案为：．
3 (★★) 如图，在四面体中，，，，点，，，分别在棱，，，上，若直线，都平行于平面，则四边形面积的最大值是 .
【答案】
【解析】 ∵直线平行于平面，且平面交平面于，；
同理，，，所以，．
故：四边形为平行四边形．
又，的对称性，可知．
所以：四边形为矩形．
设，，，
根据二次函数的性质可知：面积的最大值．
4 (★★) 如图.在四棱锥中.底面是平行四边形，点为棱上一点.点为棱上一点，
(1)若，求证：∥平面；
(2)若平面，求证：.
【证明】(1)过N作NE∥CD交PD于E，连接AE．
则，∴EN=，
又AM=2MB，∴AM=．
又ABCD，∴AMEN，
∴四边形AMNE是平行四边形，
∴MN∥AE，又MN 平面PAD，AE 平面PAD，∴MN∥平面PAD．
(2)过N作NE∥CD交PD于E，
∵NE∥CD∥AB，∴NE∥AB，
∴A，M，N，E四点共面，
∵MN∥平面PAD，MN 平面AMNE，平面AMNE∩平面PAD=AE，∴MN∥AE，
∴四边形AMNE是平行四边形，∴NE=AM==CD．
∴，∴PN=2NC．
5 (★★★) 如图所示，四边形为空间四边形的一个截面，若截面为平行四边形.
(1) 求证：平面，平面.
(2) 若，求四边形周长的取值范围.
(1)证明 ∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.
∵HG平面ABD，∴EF∥平面ABD.
∵EF平面ABC，平面ABD∩平面ABC=AB，
∴EF∥AB. (线面平行的性质)
∴AB∥平面EFGH.
同理可证，CD∥平面EFGH.
(2)解 设EF=x(0＜x＜4)，由于四边形EFGH为平行四边形，
∴.则===1-.从而FG=6-.
∴四边形EFGH的周长l=2(x+6-)=12-x.又0＜x＜4,则有8＜l＜12,
∴四边形EFGH周长的取值范围是(8，12).
【题型三】面面平行的证明
【典题1】 如图，与均为平行四边形，，，分别是，，的中点.
(1)求证：∥平面；
(2)求证：平面∥平面.
【解析】 方法1 连接交与，连接，如图示
均为平行四边形，是中点，
又是的中点，
又平面平面
∥平面.
方法2 作的中点，连接，
与均为平行四边形，
，，分别是，，的中点.
，，且，交于点，，交于点，
故平面∥平面，
∥平面；
，，且交于点，交于点，
∴平面∥平面.
【点拨】
① 遇到中点，可想到三角形的中位线；
② 利用三角形中位线和平行四边形证明线线平行是常见的方法；
③ 第一问中，证明线面平行可转化为线线平行或面面平行，方法就是在平面内找一直线平行，充分利用了三角形的中位线；方法是利用面面平行的性质，需要找到过直线且平行平面的平面.
④ 第二问，面面平行的证明转化为线线平行: 平面∥平面，.
【典题2】 如图，在四棱锥中，，，
⊥平面，，．设，分别为，的中点．
(1)求证：平面∥平面；(2)求三棱锥的体积．
【解析】(1)证明分别为，的中点，
．
又平面，平面，
平面．
在中，分别为的中点，，
．
又，．
平面，平面，平面．
又，∴平面∥平面．
(2) 由(1)知，平面∥平面，
点到平面的距离等于点到平面的距离．
由已知，，，，∴，
∴三棱锥的体积
．
【点拨】
① 面面平行可转化为线面平行：;要证明在平面∥平面，只需要在平面找到两条相交线均平行平面便行;
② 夹在两个平行平面间的平行线段相等，则点到平面的距离等于点到平面的距离;
③ 求三棱锥的体积常用等积法.三棱锥的体积表示为即以点到平面的距离为高、以平面为底面，而表示为是以平面为底面、点到面的距离为高，而较难求，故想到.等式(相当连续用了两次等积法).
【典题3】 如图，在棱长为的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且//截面，则线段P长度的取值范围是( )
【解析】
取的中点，的中点，的中点，
则，
故平面//平面，
平面，线段扫过的图形是，
由，则
是直角，
∴线段长度的取值范围是：，即：.
故选：.
【点拨】
① 本题的关键是找到满足条件的点的轨迹，由已知可知点的轨迹是过点且平行面的平面与侧面的交线；怎么找到呢？以下提供另一思路：想象将面沿着方向平移过点，较易得到面(如下图1)，而面与侧面的交线就是所求交线了，那把面拓展成面，易得交线为(如下图2);
(图1) (图2)
② 线段扫过的图形是，则需要求出三边长度，确定的长度范围.
【题型四】面面平行的性质
【典题1】 已知两条直线，，两个平面，，则下列结论中正确的是 ( )
A．若，且，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【解析】 ，又，故正确；
，，若，则不可能与平行，故错误；
，，若，则结论不成立，故错误；
，，若，则结论不成立，故错误；
故正确；
【点拨】
① 线面的位置关系有三种：；
② 证明某些选项是错只需要举个反例，比如选项C是怎么会想到“”这个反例的呢？
运用“运动的思想”，先由固定两个平面，再由把线段由上至下“运动”下来，则的关系有两种情况.选项也可类似.
【典题2】 已知平面∥面，为异面线段，，，且，，与所成的角为，平面∥面，且平面与分别相交于点．
(1)若，求截面四边形的周长；
(2)求截面四边形面积的最大值．
【解析】 (1)∵平面∥面，平面，平面，
，
同理，有，同理，
∴四边形是一个平行四边形，
，，
∴，
，
，即四边形的周长是．
(2)设，，
由，得，同理，
又与所成的角为，
∴四边形的面积是
∴当时，的最大值是，
此时为的中点．
【点拨】
① 面面平行的性质：，由面面平行可得到线线平行；
② 在处理线线平行中线段的问题，注意“字型”、“字型”的模型；
③ 由三角形面积公式，可得平行四边形的面积
④ 线线平行、线面px 、面面平行之间的转化关系
巩固练习
1(★) 已知直线，给出以下三个命题：
①若平面∥平面，则直线∥平面；
②若直线∥平面，则平面∥平面；
③若直线不平行于平面，则平面不平行于平面．
其中正确的命题是( )
A．② B．③ C．①② D．①③
【答案】D
【解析】①若平面α∥平面β，则直线a∥平面β；因为直线a α，平面α∥平面β，则α内的每一条直线都平行平面β．显然正确．
②若直线a∥平面β，则平面α∥平面β；因为当平面α与平面β相加时候，仍然可以存在直线a α使直线a∥平面β．故错误．
③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β，平面内有一条直线不平行与令一个平面，两平面就不会平行．故显然正确．
故选D．
2 在正方体中，，，分别是，，的中点，给出下列四个推断：
①∥平面； ②∥平面；
③∥平面； ④平面∥平面
其中推断正确的序号是 ( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】A
【解析】∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，
∴FG∥BC1，∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，
∵FG 平面AA1D1D，AD1 平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故①正确；
∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，∴EF与平面BC1D1相交，故②错误；
∵E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，
∴FG∥BC1，∵FG 平面BC1D1，BC1 平面BC1D1，
∴FG∥平面BC1D1，故③正确；
∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误．
故选：A．
3(★★) 已知平面∥平面，是，外一点，过点的直线与，分别交于点，，过点的直线与，分别交于点，，且，，，则的长为( )
A. B. C.或24 D.或12
【答案】C
【解析】连接；
①当点在的延长线上，即在平面与平面的同侧时，如图1；
，平面，平面，
，∴；
，，，
，解得；
②当点在线段上，即在平面与平面之间时，如图2；
类似①的方法，可得，
，，，
∴，解得；
；
综上，的长为或．
故选：．
4(★★) 已知两平行平面与之间的距离为，直线，点，则平面内到点的距离为，且到直线的距离为的点的轨迹是( )
A．一组平行线 B．一条抛物线 C．两段圆弧 D．四个点
【答案】D
【解析】设满足条件的点为，
过点做平面的垂线，则：．
平面内一点到点的距离为，，
，即：为平面上以垂足为圆心，半径的圆上，
过垂足做直线平行于直线，
则直线间距离，
在平面内做直线使得到的距离，
设平面内直线距离为，
则有：，解得，
即平面内直线距离为，
所以同时满足到点的距离为且到直线的距离为的点的轨迹为：与圆的四个交点．
故选：．
5(★★) 如图，已知平面，，，且，直线，分别与平面，，交于点，，和，，，若，，，则= ．
【答案】6
【解析】AB=1，BC=2，DF=9，
若A，B，C，D，E，F，六点共面
由面面平行的性质定理可得AB∥CD∥EF
根据平行线分线段成比例定理可得：===
∴EF=6
若A，B，C，D，E，F，六点不共面
连接AF，交β于M，连接BM、EM、BE．
∵β∥γ，平面ACF分别交β、γ于BM、CF，
∴BM∥CF．∴=
同理，=．∴===∴EF=6
综上所述：EF=6
6(★★) 如图所示，是棱长为的正方体，分别是下底面的棱，的中点，是上底面的棱上的一点，，过的平面交上底面于，在上，则 ．
【答案】
【解析】∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，MN 平面A1B1C1D1
∴MN∥平面ABCD，又PQ=面PMN∩平面ABCD，∴MN∥PQ．
∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN∥A1C1∥AC，
∴PQ∥AC，又AP=，ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，∴CQ=，从而DP=DQ=，
∴PQ===a．
故答案为：
7 (★★) 在长方体，分别在对角线上取点，使得直线平面，则线段长的最小值为 ．
【答案】
【解析】作于点，作于点，
∵线段平行于对角面，
(面面平行的判定和性质)
设则，
(线段成比例)
在直角梯形中，
∴当时，的最小值为．
8(★★) 已知：如图，平面满足，，，，，与异面，且．求证：
(Ⅰ)证明：连接AD，作EG∥BD交AD于点G，连接FG
∵EG∥BD，
∴．
又∵，∴．
∴FG∥AC，
∴FG∥α，又α∥β，
∴FG∥β；
又因为EG∩FG=G．
∴平面EFG∥β，
而EF 平面EFG；
∴EF∥β．
9(★★★) 在正方体中，分别是和的中点，
求证：(1)∥
(2)∥平面．
(3)平面∥平面．
证明：(1)∵正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是AD1、BD和B1C的中点，
∴连结AC、BD，交于点N，
∴由三角形中位线定理得：MN∥CD1．
(2)∵MN∥CD1，
MN 平面CC1D1D，CD1 平面CC1D1D，
∴MN∥平面CC1D1D．
(3)连结B1C、BC1，交于点P，则P是BC1的中点，
∴MP∥CD，
∵MP 平面CC1D1D，CD 平面CC1D1D，
∴MP∥平面CC1D1D．
∵MN∥平面CC1D1D，且MP∩MN＝M，MP、MN 平面MNP，
∴平面MNP∥平面CC1D1D．
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