空间直线、平面的垂直
1线面垂直
① 直线与直线垂直
(1) 异面直线所成的角
(i) 范围:；
(ii) 作异面直线所成的角:平移法.
如图，在空间任取一点，过作，则所成的角为异面直线所成的角.特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如线段中点，端点等)上，形成异面直线所成的角.
(2) 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说两条异面直线相互垂直.
② 直线与平面垂直
(1) 定义
若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面.
符号表述:若任意都有，则
(2) 判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
(线线垂直线面垂直)
(3) 性质
(线面垂直线线垂直)
垂直同一平面的两直线平行
(4) 证明线面垂直的方法
定义法(反证)
判定定理(常用)
(面面垂直线面垂直)
③ 线面所成的角
(1) 定义
如下图，平面的一条斜线(直线)和它在平面上的射影()所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
一条直线垂直平面，则；一条直线和平面平行或在平面内，则.
(2) 范围
直线和平面所成的角的取值范围是.
2 面面垂直
① 二面角
(1) 定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角.
(2) 范围
二面角的平面角的取值范围是.
② 面面垂直
(1) 定义
若二面角的平面角为，则；
(2) 判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
(线面垂直面面垂直)
(3) 性质定理
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
(面面垂直线面垂直)
判断
(1) 如果平面平面，平面平面，，那么
(2) 如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面
(3) 如果平面平面，过内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于
(4) 如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面
【题型一】线面垂直的判定与性质
【典题1】如图，已知是正三角形，都垂直于平面，且，，是的中点，求证:(1)∥平面； (2)平面
【典题2】 为所在平面外一点，为在平面上的射影．
(1)若两两互相垂直，则点是的 心；
(2)若到三边距离相等，且在内部，则点是的 心；
(3)若，则点是的 心；
(4)若与底面成等角，则点是的 心．
【典题3】 如图，在矩形中，，，为边的中点，沿将折起，在折起过程中，有几个正确( )
①平面 ②平面 ③平面 ④平面．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型二】面面垂直的判定与性质
【典题1】 如图，已知四棱锥中，已知底面，且底面为矩形，则下列结论中错误的是（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
【典题2】 如图，直角中，，，分别是边的中点，沿将折起至△FDE，且．
(Ⅰ)求四棱锥的体积；(Ⅱ)求证:平面平面．
【典题3】 长方形中，，，是线段上一动点，且．将沿折起，使平面平面，在平面内作于，设，则的值可能为( )
A． B． C． D．
巩固练习
1(★★) 如图：所在的平面，是的直径，是上的一点，，，给出下列结论①，②，③，④平面，其中正确命题的序号是 ( )
A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④
2(★★) 垂直于正方形所在平面，连接，则下列垂直关系正确的是（ ）
①面面 ②面⊥面 ③面⊥面 ④面面．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
3(★★) 已知边长为的正的中线与中位线相交于点，现将沿翻折为，如图是翻折过程中的一个图形，则下列四个结论：
①动直线与直线互相垂直； ②恒有平面平面；
③四棱锥的体积有最大值；④三棱锥的侧面积没有最大值．
其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
4(★★) 如图所示，三棱锥的底面在平面α内，且，平面平面，点，是定点，则动点的轨迹是( )
A．一条线段 B．一条直线 C．一个圆 D．一个圆，但要去掉两个点
5(★★) 如图，已知平面平面，是平面与平面的交线上的两个定点，，，且，，，，，在平面上有一个动点，使得∠∠，则的面积的最大值是( )
A． B． C． D．
6(★★) 如图，在长方体中，底面是正方形，是的中点．
(1)求证：；(2)若平面，求的值．
7 (★★★) 如图，在边长为的菱形中，．点分别在边上，点与点、不重合，沿将翻折到的位置，使平面平面．
(1)求证：平面；
(2)当取得最小值时，求四棱锥的体积．
8 (★★★) 如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，过作垂直交于点，作垂直交于点，平面交于点，是上的动点，且，．
(1)试证明不论点在何位置，都有；
(2)求的最小值；
(3)设平面与平面的交线为，求证：．
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1线面垂直
① 直线与直线垂直
(1) 异面直线所成的角
(i) 范围:；
(ii) 作异面直线所成的角:平移法.
如图，在空间任取一点，过作，则所成的角为异面直线所成的角.特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如线段中点，端点等)上，形成异面直线所成的角.
(2) 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说两条异面直线相互垂直.
② 直线与平面垂直
(1) 定义
若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面.
符号表述:若任意都有，则
(2) 判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
(线线垂直线面垂直)
(3) 性质
(线面垂直线线垂直)
垂直同一平面的两直线平行
(4) 证明线面垂直的方法
定义法(反证)
判定定理(常用)
(面面垂直线面垂直)
③ 线面所成的角
(1) 定义
如下图，平面的一条斜线(直线)和它在平面上的射影()所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
一条直线垂直平面，则；一条直线和平面平行或在平面内，则.
(2) 范围
直线和平面所成的角的取值范围是.
2 面面垂直
① 二面角
(1) 定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角.
(2) 范围
二面角的平面角的取值范围是.
② 面面垂直
(1) 定义
若二面角的平面角为，则；
(2) 判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
(线面垂直面面垂直)
(3) 性质定理
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
(面面垂直线面垂直)
判断
(1) 如果平面平面，平面平面，，那么
(2) 如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面
(3) 如果平面平面，过内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于
(4) 如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面
【题型一】线面垂直的判定与性质
【典题1】如图，已知是正三角形，都垂直于平面，且，，是的中点，求证:(1)∥平面； (2)平面
【证明】 (1) 分别是的中点，取的中点，
，
都垂直于平面，，
，又
∴四边形是平行四边形，，
又平面，平面，平面．
(2)因是的中点，是正三角形，所以
又 垂直于平面 ，
又 ，所以面，
面，
又，从而，
因是的中点，所以
，是平面内两条相交直线，所以平面．
【点拨】
① 线面垂直的判定：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直；它可把线面垂直转化为线线垂直，本题中平面在平面上找到两条相交直线均垂直；
② 线面垂直的性质：；它可由线面垂直得到线线垂直；
③ 等腰三角形要注意“三线合一”的运用.
【典题2】 为所在平面外一点，为在平面上的射影．
(1)若两两互相垂直，则点是的 心；
(2)若到三边距离相等，且在内部，则点是的 心；
(3)若，则点是的 心；
(4)若与底面成等角，则点是的 心．
【解析】如图是所在平面外一点，是点在平面上的射影．
(1) 若两两互相垂直，由可证得，，，即此时点是三角形三边高的交点，故此时点是三角形的垂心，故应填:垂．
(2) 若到三边的距离相等，，，分别是点在三个边上的垂足，故可证得，，分别垂直于三边且相等，由内切圆的加心的定义知，此时点是三角形的内心，故应填:内；
(3) 若，，因为底面，所以，同理，可得是的垂心；故应填:垂．
(4) 若与地面成等角，由条件可证得，由三角形外心的定义知此时点是三角形的外心，故应填:外；
综上，三空答案依次应为垂、内、垂、外
【点拨】三角形的四心：
【典题3】 如图，在矩形中，，，为边的中点，沿将折起，在折起过程中，有几个正确( )
①平面 ②平面 ③平面 ④平面．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】在矩形中，，，为边的中点，
∴设点在平面上的投影为，在折起过程中，点的轨迹为下图到的四分之一圆．
此过程中始终有平面
对于① 假设平面，则，又，则平面，
但由图可知不可能垂直，产生了矛盾，故假设不成立，故①错误；
对于② 假设平面，则，又，则平面，
但由图可知只有点投影位于位置时，才有，此时平面，显然不能满足平面，产生了矛盾，故假设不成立，故②错误；
对于③ 假设平面则，又，则平面，
但由图可知不可能垂直，产生了矛盾，故假设不成立，故③错误；
对于④ ，∴若要满足平面，则只需要，而，若便可，在折叠的过程中易得存在一个位置使得(为弧线与线段的交点)，故④正确．
故选:A
【点拨】
① 对于①--③，均利用了反证法进行否决；
② 在对于运动变化的题目，一定要明确哪些量是不变的，哪些量是变化的！
【题型二】面面垂直的判定与性质
【典题1】 如图，已知四棱锥中，已知底面，且底面为矩形，则下列结论中错误的是（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
【解析】
方法一
对于，因为已知底面，且底面为矩形，
所以，又，平面，所以平面平面，故正确；
对于B，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，
所以又，所以平面，所以平面平面，故正确；
对于，已知底面，且底面为矩形，所以，又，
所以平面，所以平面平面，故正确；
故选．
方法二
底面，且底面为矩形，
可视为正方体的一部分，如下图，
根据正方形的特性，平面平面，平面平面是不可能的，
容易选出C.
【点拨】
① 面面垂直的判定定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.它可以把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直；
② 方法二比较巧妙，通过构造正方体进行求解.
【典题2】 如图，直角中，，，分别是边的中点，沿将折起至△FDE，且．
(Ⅰ)求四棱锥的体积；(Ⅱ)求证:平面平面．
【解析】 (Ⅰ)分别是边的中点，
平行且等于的一半，，
依题意，，，
，平面，
又平面，
平面平面
作于，则平面，，
梯形的面积
四棱锥的体积
(Ⅱ)(法一)
如图．取线段的中点，连接，则平行且等于的一半，
平行且等于，是平行四边形，
，，是等边三角形，，
又平面，，，
，平面 平面，
又平面，∴平面平面
(法二)连接，，，是边长为等边三角形
，，，
平面，，平面
平面，，又，
平面，又平面，∴平面平面
【点拨】
① 面面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.它利用面面垂直证明线面垂直；
② 线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化
③ 确定高的时候，要证明出它垂直底面才行(即平面，才是高).
【典题3】 长方形中，，，是线段上一动点，且．将沿折起，使平面平面，在平面内作于，设，则的值可能为( )
A． B． C． D．
【解析】如图，过作，垂足为，连接，
平面平面，又，平面，．
方法一 把折叠后几何体展开为平面图形，如下图，
设
；
在中，；
由对利用等积法，可得；
在中，；
，，即
由对勾函数可知
则，即的取值范围是(，)
方法二 把折叠后几何体展开为平面图形，如下图，
设，则，
易得，，即，
当时，为的中点，此时；
当时，与重合，此时设，其中；
即当时，，
在上递减，
故的取值范围是(，)
故选：B．
【点拨】
① 对于处于变化的题目中，要注意几点：
(1) 哪些是变量，哪些是恒量(恒量：线段，等；变量：线段，角等)；
(2) 明确在变量中，某个变量是由哪个变量而引起变化的，“源头的变量”在哪里；比如在方法二中，是变量，可以说它是随角变化，而角是随线段变化，线段随线段变化，显然变量线段是本题的“源头的变量”；
(3) 明确相关变量之间是怎么变化的，显然线段是随线段增大而递减的，在方法一中可知线段是随线段的增大而递减的；
② ”明确相关变量之间是怎么变化”这点，本题要求的范围，显然它由线段变化的，但方法一中(其中)，方法二中(其中角)，选择哪个变量作为函数的自变量，主要看函数的表达是否简便、计算量是否够小，不会以线段为自变量，显然方法二会更好些.
③ 求变量的取值范围，多利用函数的单调性求解，此时要注意自变量的取值范围，函数思想无处不在；
④ 本题中变量之间的关系通过平面几何的知识点得到，其中相似三角形、等积法、勾股定理、三角函数等基础知识点常常用到.
巩固练习
1(★★) 如图：所在的平面，是的直径，是上的一点，，，给出下列结论①，②，③，④平面，其中正确命题的序号是 ( )
A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【解析】∵是的直径，∴，
∵所在平面，
∴，
∴面，∴，
∴，
∵，
∴面，∴④正确；
∵面，∴，，
∴①②正确；
若，则面，
此时重合，与已知矛盾．∴③错误；
故①②④正确．
故选C．
2(★★) 垂直于正方形所在平面，连接，则下列垂直关系正确的是（ ）
①面面 ②面⊥面 ③面⊥面 ④面面．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【证明】由于BC⊥AB，由PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以BC⊥PA，
易证BC⊥平面PAB，则平面PAB⊥平面PBC；又AD∥BC，故AD⊥平面PAB，
则平面PAD⊥平面PAB．
故选A．
3(★★) 已知边长为的正的中线与中位线相交于点，现将沿翻折为，如图是翻折过程中的一个图形，则下列四个结论：
①动直线与直线互相垂直； ②恒有平面平面；
③四棱锥的体积有最大值；④三棱锥的侧面积没有最大值．
其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为已知边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，所以DE⊥AG，DE⊥A′G，所以DE⊥平面A′FG，
所以DE⊥A′F；故①正确；
②由①得DE 平面BCED，所以平面A′GF⊥平面BCED；故②正确；
③三棱锥A′－FED的底面积是定值，体积由高即A′到底面的距离决定，当平面A′DE⊥平面BCED时，三棱锥A′－FED的体积有最大值，故③正确；
故选C．
4(★★) 如图所示，三棱锥的底面在平面α内，且，平面平面，点，是定点，则动点的轨迹是( )
A．一条线段 B．一条直线 C．一个圆 D．一个圆，但要去掉两个点
【答案】D
【解析】∵平面PAC⊥平面PBC，
而平面PAC∩平面PBC=PC，
又AC 面PAC，且AC⊥PC，∴AC⊥面PBC，
而BC 面PBC，∴AC⊥BC，
∴点C在以AB为直径的圆上，
∴点C的轨迹是一个圆，但是要去掉A和B两点．
故选：D．
5(★★) 如图，已知平面平面，是平面与平面的交线上的两个定点，，，且，，，，，在平面上有一个动点，使得∠∠，则的面积的最大值是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA β，CB β，
且DA⊥α，CB⊥α，∴△PAD与△PBC是直角三角形，又∠APD=∠BPC，
∴△PAD∽△PBC，又AD=4，BC=8，
∴PB=2PA
如图，
作PM⊥AB，垂足为M，令AM=t，
在两个Rt△PAM与Rt△PBM中，AM是公共边及PB=2PA
∴PA2－t2=4PA2－(6－t)2
解得PA2=12－4t
∴PM=．
∴S=×AB×PM=×6×=3=3≤12．
即三角形面积的最大值为12．
6(★★) 如图，在长方体中，底面是正方形，是的中点．
(1)求证：；(2)若平面，求的值．
(1)证明：连接BD
∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD
又∵在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∴B1B⊥面ABCD
∴B1B⊥AC又因为BD∩B1B=B，所以AC⊥面B1BD
又∵B1D 面B1BD，∴AC⊥B1D
(2)连接DC1，DC1是B1D在平面CC1D1D上的射影
∵B1D⊥平面ACE且CE 平面ACE，∴B1D⊥CE
∵DC1是B1D在平面CC1D1D上的射影，∴CE⊥DC
在平面CC1D1D中如图所示∠C1DC=∠CED，
∴△C1DC∽△CED，∴即，∴2CD2=CC12
∴即
故的值为．
7 (★★★) 如图，在边长为的菱形中，．点分别在边上，点与点、不重合，沿将翻折到的位置，使平面平面．
(1)求证：平面；
(2)当取得最小值时，求四棱锥的体积．
【答案】(1) 见解析 (2) 3
【解析】(1)证明：∵菱形ABCD的对角线互相垂直，
∴BD⊥AC，∴BD⊥AO，
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO 平面PEF，
∴PO⊥平面ABFED，
∵BD 平面ABFED，∴PO⊥BD．
∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．
(2)设AO∩BD=H．因为∠DAB=60°，
所以△BDC为等边三角形，
故BD=4，．
又设PO=x，则，．
由OH⊥BD，则，
又由(1)知，PO⊥平面BFED，则PO⊥OB
所以，
当时，．
此时，EF=BD=2，OH=
所以 =3．
8 (★★★) 如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，过作垂直交于点，作垂直交于点，平面交于点，是上的动点，且，．
(1)试证明不论点在何位置，都有；
(2)求的最小值；
(3)设平面与平面的交线为，求证：．
(1)证明：∵底面ABCD是正方形 ∴DB⊥AC，
∵SA⊥底面ABCD，BD 面ABCD，∴DB⊥SA，
又SA∩AC=A∴BD⊥平面SAC，
∵不论点P在何位置都有PC 平面SAC，
∴DB⊥PC．
(2)解：将侧面SAB绕侧棱SA旋转到与侧面SAD在同一平面内，如图示，
则当B、P、H三点共线时，PB+PH取最小值，这时，PB+PH的最小值即线
段BH的长，设∠HAD=α，则∠BAH=π－α，
在rt△AHD中，∵，∴，
在三角形BAH中，有余弦定理得：
BH2=AB2+AH2－2AB AHcos(π－α)=，
∴．
(3)连结EH，∵AB=AD，SA=SA，∴Rt△SAB≌Rt△SAD，
∴SB=SD，又∵AE⊥SB，AH⊥SD，∴AE=AH，∴Rt△SEA≌Rt△SAH，
∴SE=SH，∴，∴EH∥BD，
又∵EH 面AEKH，BD 面AEKH，∴BD∥面AEKH．
∵平面AEKH∩平面ABCD=l，
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