概率
1 随机事件与概率
① 有限样本空间与随机事件
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母表示，
我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间.用表示样本空间，用表示样本点.如果一个随机试验有个可能结果结果,则称样本空间为有限样本空间.
样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件成为基本事件.随机事件一般用大写字母表示.
②各种事件
必然事件，不可能事件，随机事件.
在件瓷器中，有件一级品，件二级品，从中任取件.
“件都是二级品”是什么事件？
“件都是一级品”是什么事件？
“至少有一件是一级品”是什么事件？
解：(1)因为件瓷器中，只有件二级品，取出件都是二级品是不可能发生的，故是不可能事件.
(2)“件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的，故是随机事件.
(3)“至少有一件是一级品”是必然事件，因为件瓷器中只有件二级品，取三件必有一级品.
③ 事件的关系和运算
一般地，若事件发生，则事件一定发生，我们就称事件包含于事件，记作；
一般地，事件与事件至少有一个发生，我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件)，记作.
一般地，事件与事件同时发生，我们称这样一个事件为事件与事件的交事件(或积事件)，记作.
一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容).
一般地，如果事件与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即且，则称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为.
④ 古典概型
(1) 古典概型的特点
有限性：样本空间的样本点只有有限个；等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
(2) 古典概型事件的概率
⑤ 概率的基本性质
性质1 对任意事件，都有
性质2 必然事件的概率为，不可能事件的概率为；
性质3 若事件与事件互斥时，则.
性质4 若事件与事件对立事件，则
性质5 如果,那么
性质6 设是一个随机试验中的两个事件，有
【题型一】对各种事件、事件的关系和运算的理解
【典题1】 从位男生和2位女生共7位同学中任意选派3人，属必然事件的是( )
A．3位都是女生 B．至少有1位是女生
C．3位都不是女生 D．至少有1位是男生
【典题2】从装有十个红球和十个白球的罐子里任取球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有一个红球；至少有一个白球
B．恰有一个红球；都是白球
C．至少有一个红球；都是白球
D．至多有一个红球；都是红球
【典题3】 如果事件，互斥，记分别为事件，的对立事件，那么( )
．是必然事件 是必然事件
. 与一定互斥 . 与一定不互斥
【题型二】求古典概型
【典题1】 先后投掷两枚骰子，出现的点数记作，设．
(1)求 的概率；
(2)试列举出的所有可能的结果;
(3)求或 的概率．
【典题2】 任取三个整数，至少有一个数为偶数的概率为 .
【典题3】一个正方体，它的表面涂满了红色．在它的每个面上切两刀可得个小立方块，从中任取两个，其中恰有个一面涂有红色，个两面涂有红色的概率为 .
【典题4】 数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如等，两位数的回文数有共个，则三位数的回文数中为偶数的概率是 .
【题型二】概率的基本性质
【典题1】有一个公用电话亭，里面有一部电话，在观察使用这部电话的人的流量时，设在某一时刻，有个人正在使用电话或等待使用的概率为，且与时刻无关，统计得到，那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有的概率的值是 ．
【典题2】袋中有个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？
巩固练习
1(★) 将一根长为的铁丝随意截成三段，构成一个三角形，此事件是( )
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．不能判定
2(★) 在，，，…，这个数字中，任取个数字，那么“这三个数字的和大于”这一事件是( )
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上选项均不正确
3(★) 下列每对事件是互斥事件的个数是( )
(1)将一枚均匀的硬币抛2次，记事件A：两次出现正面；事件：只有一次出现正面
(2)某人射击一次，记事件：中靶，事件B：射中9环
(3)某人射击一次，记事件：射中环数大于5；事件：射中环数小于5．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4(★) 袋中有白球个，红球个，从中任取两个，则互斥且不对立的两个事件是( )
A．至少有一个白球；都是白球
B．两个白球；至少有一个红球
C．红球、白球各一个；都是白球
D．红球、白球各一个；至少有一个白球
5(★) 设为两个随机事件，如果为互斥事件，那么( )
A．是必然事件 B．M∪N是必然事件
C．与一定为互斥事件 D．与一定不为互斥事件
6(★) 已知一次试验，事件与事件不能同时发生且，至少有一个发生，又事件与事件不能同时发生．若(B)，(C)，则
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
7(★) 先后抛掷两枚骰子，设出现的点数之和是8，7，6的概率依次为，则( )
8(★★) 从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则的概率为( )
A． B． C． D．
9(★) [多选题]抛掷两枚质地均匀的骰子，有如下随机事件： “至少一枚点数为1”， “两枚骰子点数一奇一偶”， “两枚骰子点数之和为8”， “两枚骰子点数之和为偶数”．判断下列结论，正确的有
A． B．，为对立事件
C．，为互斥事件 D．，相互独立
10(★) 掷一枚质地均匀的骰子，观察出现的点数，设“出现点”、“出现6点”分别为事件、，已知，则出现点数为的倍数的概率为 ．
11(★) 如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ 构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为，则不命中靶的概率是 ．
12(★) 事件，互斥，它们都不发生的概率为，且，则 ．
13(★) 经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么三辆汽车经过这个十字路口，至少有两辆车向左转的概率为 ．
14(★★) 若连掷两次骰子，分别得到的点数是，将作为点的坐标，则点落在区域内的概率是 ．
15(★★) 如图所示，是边长为的小正方形组成的网格的两个顶点，在格点中任意放置点，恰好能使其构成且面积为的概率是 ．
16(★) 抛掷一枚均匀的骰子，事件表示“朝上一面的点数是偶数”，事件表示“朝上一面的点数不超过”，求．
17(★★) 某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过站的地铁票价如表：
乘坐站数
票价(元)
现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过站，且他们各自在每个站下车的可能性是相同的．
若甲、乙两人共付费元，则甲、乙下车方案共有多少种？
若甲、乙两人共付费元，求甲比乙先到达目的地的概率．
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1 随机事件与概率
① 有限样本空间与随机事件
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母表示，
我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间.用表示样本空间，用表示样本点.如果一个随机试验有个可能结果结果,则称样本空间为有限样本空间.
样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件成为基本事件.随机事件一般用大写字母表示.
②各种事件
必然事件，不可能事件，随机事件.
在件瓷器中，有件一级品，件二级品，从中任取件.
“件都是二级品”是什么事件？
“件都是一级品”是什么事件？
“至少有一件是一级品”是什么事件？
解：(1)因为件瓷器中，只有件二级品，取出件都是二级品是不可能发生的，故是不可能事件.
(2)“件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的，故是随机事件.
(3)“至少有一件是一级品”是必然事件，因为件瓷器中只有件二级品，取三件必有一级品.
③ 事件的关系和运算
一般地，若事件发生，则事件一定发生，我们就称事件包含于事件，记作；
一般地，事件与事件至少有一个发生，我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件)，记作.
一般地，事件与事件同时发生，我们称这样一个事件为事件与事件的交事件(或积事件)，记作.
一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容).
一般地，如果事件与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即且，则称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为.
④ 古典概型
(1) 古典概型的特点
有限性：样本空间的样本点只有有限个；等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
(2) 古典概型事件的概率
⑤ 概率的基本性质
性质1 对任意事件，都有
性质2 必然事件的概率为，不可能事件的概率为；
性质3 若事件与事件互斥时，则.
性质4 若事件与事件对立事件，则
性质5 如果,那么
性质6 设是一个随机试验中的两个事件，有
【题型一】对各种事件、事件的关系和运算的理解
【典题1】 从位男生和2位女生共7位同学中任意选派3人，属必然事件的是( )
A．3位都是女生 B．至少有1位是女生
C．3位都不是女生 D．至少有1位是男生
【解析】由于从5位男生和2位女生共7位同学中任意选派3人，
有3位男生，2位男生1位女生，1位男生2位女生，共三种情况
故A为不可能事件，B，C为随机事件，D为必然事件．
故答案为
【典题2】从装有十个红球和十个白球的罐子里任取球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有一个红球；至少有一个白球
B．恰有一个红球；都是白球
C．至少有一个红球；都是白球
D．至多有一个红球；都是红球
【解析】对于，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取2个球还有都是红球的情形，故两事件不是对立事件；对于，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件.
【点拨】对立事件是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件.
【典题3】 如果事件，互斥，记分别为事件，的对立事件，那么( )
．是必然事件 是必然事件
. 与一定互斥 . 与一定不互斥
【解析】 用图解决此类问题较为直观．如右图所示，是必然事件，故选B.
【点拨】利用集合的关系看事件之间的关系会更直观.
【题型二】求古典概型
【典题1】 先后投掷两枚骰子，出现的点数记作，设．
(1)求 的概率；
(2)试列举出的所有可能的结果;
(3)求或 的概率．
【解析】(Ⅰ)先后投掷两枚骰子，出现的点数情况有：
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，
(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，
共有种可能结果，
而有6结果，为，
(也可以使用树状图
)
所以，
(Ⅱ)的所有可能的结果有，
共有种情况，
(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)可知，的所有可能的结果有3种，为，
的所有可能的结果有，
【点拨】根据古典概型事件的概率，一般都用穷举法，比如列树状图或者把每个样本点一一列举，关键就要做到不重不漏,在一一列举的时候最好能够按照一定的规律进行.
【典题2】 任取三个整数，至少有一个数为偶数的概率为 .
【解析】方法一 任取三个整数，共有八种情况：
其中至少有一个数为偶数的情况有种，所以所求概率为，
方法二 任取三个整数，共有八种情况，设“都是奇数”为事件，“至少有一个数为偶数”事件，而事件是对立事件，故.
【点拨】
① 因为是取三个整数，列树状图时有3列.
② 方法一从正面入手，方法二从反面切入，往后题目中出现“至少”，“至多”等字眼，都可以从反面进行思考。
【典题3】一个正方体，它的表面涂满了红色．在它的每个面上切两刀可得个小立方块，从中任取两个，其中恰有个一面涂有红色，个两面涂有红色的概率为 .
【解析】根据题意，分析可得：
在分割下来的个完全相等的小正方体中，有个只有一面有红色，有个两面有红色，块有面红色，而还有一个没有红色；
则从中任取个，其中个恰有一面涂有红色，另个恰有两面涂有红色的情况有种；而从块中任取两块，有种情况；
则从中任取个，其中个恰有一面涂有红色，另个恰有两面涂有红色的概率为=.
【典题4】 数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如等，两位数的回文数有共个，则三位数的回文数中为偶数的概率是 .
【解析】三位数的回文数为，
共有到共种可能，即…
共有到共种可能，即、…
共有个，
其中偶数为是偶数，共种可能，即，
共有到共种可能，即、…
其有个，
三位数的回文数中，偶数的概率.
【题型二】概率的基本性质
【典题1】有一个公用电话亭，里面有一部电话，在观察使用这部电话的人的流量时，设在某一时刻，有个人正在使用电话或等待使用的概率为，且与时刻无关，统计得到，那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有的概率的值是 ．
【解析】由题意知：本公用电话亭每次不超过人正在使用电话或等待使用，
“有0、1、2、3、4、5、6个人正在使用电话或等待使用”是必然事件，
随机变量的值可取0，1，2，3，4，5，6，
即
，
故答案为：．
【典题2】袋中有个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？
【解析】从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为，
则，
解得，
即得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率分别为
巩固练习
1(★) 将一根长为的铁丝随意截成三段，构成一个三角形，此事件是( )
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．不能判定
【答案】
【解析】将一根长为的铁丝随意截成三段，构成一个三角形，这个事件是可能发生的事件，但不是必然事件．所以事件是随机事件．
故答案选择C．
2(★) 在，，，…，这个数字中，任取个数字，那么“这三个数字的和大于”这一事件是( )
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上选项均不正确
【答案】
【解析】 从个数字中取个数字，这三个数字的和可能等于，也可能大于6，
是否大于，需要取出数字才知道，
这三个数字的和大于6”这一事件是随机事件，
故选C．
3(★) 下列每对事件是互斥事件的个数是( )
(1)将一枚均匀的硬币抛2次，记事件A：两次出现正面；事件：只有一次出现正面
(2)某人射击一次，记事件：中靶，事件B：射中9环
(3)某人射击一次，记事件：射中环数大于5；事件：射中环数小于5．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】
【解析】(1)将一枚均匀的硬币抛2次，记事件：两次出现正面；事件：只有一次出现正面，事件不可能同时发生，故是互斥事件；
(2)某人射击一次，记事件：中靶，事件B：射中环，事件可能同时发生，故不是互斥事件
(3)某人射击一次，记事件：射中环数大于；事件B：射中环数小于，事件不可能同时发生，故是互斥事件．
故选．
4(★) 袋中有白球个，红球个，从中任取两个，则互斥且不对立的两个事件是( )
A．至少有一个白球；都是白球
B．两个白球；至少有一个红球
C．红球、白球各一个；都是白球
D．红球、白球各一个；至少有一个白球
【答案】
【解析】从装有3个红球和2个白球的红袋内任取两个球，所有的情况有3种：“2个白球”、“一个白球和一个红球”、“2个红球”．
由于对立事件一定是互斥事件，且它们之中必然有一个发生而另一个不发生，
对于，至少有1个白球；都是白球，不是互斥事件．故不符合．
对于两个白球；至少有一个红球，是互斥事件，但也是对立事件，故不符合．
对于红球、白球各一个；都是白球是互斥事件，但不是对立事件不是互斥事件，故符合．
对于红球、白球各一个；至少有一个白，不是互斥事件．故不符合．
故选：．
5(★) 设为两个随机事件，如果为互斥事件，那么( )
A．是必然事件 B．M∪N是必然事件
C．与一定为互斥事件 D．与一定不为互斥事件
【答案】
【解析】因为为互斥事件，如图：
，
无论哪种情况，是必然事件．
故选：．
6(★) 已知一次试验，事件与事件不能同时发生且，至少有一个发生，又事件与事件不能同时发生．若(B)，(C)，则
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
【答案】
【解析】一次试验，事件与事件不能同时发生且，至少有一个发生，
事件与事件不能同时发生．(B)，(C)，
(A)(B)，
则(A)(C)．
故选：．
7(★) 先后抛掷两枚骰子，设出现的点数之和是8，7，6的概率依次为，则( )
【答案】
【解析】先后抛掷两枚骰子，出现的点数共有：
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，
(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共种
其中点数之和是的有种，故；点数之和是的有种，故；
点数之和是的有种，故；故
故选C
8(★★) 从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】
【解析】分别从集合各取一个数，共有组实数对，
若，则由得，此时，有1个，
若，则由得，此时，2，有2个，
若，则由得，此时，2，有2个，共有5个，
则对应的概率，
故选：．
9(★) [多选题]抛掷两枚质地均匀的骰子，有如下随机事件： “至少一枚点数为1”， “两枚骰子点数一奇一偶”， “两枚骰子点数之和为8”， “两枚骰子点数之和为偶数”．判断下列结论，正确的有
A． B．，为对立事件
C．，为互斥事件 D．，相互独立
【答案】
【解析】抛掷两枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：
“至少一枚点数为1”， “两枚骰子点数一奇一偶”，
“两枚骰子点数之和为8”， “两枚骰子点数之和为偶数”．
对于，当，，时，不成立，故错误；
对于，和不能同时发生，也不能同时不发生，故，为对立事件，故正确；
对于，，不能同时发生，是互斥事件，故正确；
对于，发生与否，对的发生有影响，，不是相互独立事件，故错误．
故选：．
10(★) 掷一枚质地均匀的骰子，观察出现的点数，设“出现点”、“出现6点”分别为事件、，已知，则出现点数为的倍数的概率为 ．
【答案】
【解析】由于若设“出现3点”、“出现6点”分别为事件A、B，
则事件，为互斥事件，又由，
则出现点数为3的倍数的概率为
故答案为
11(★) 如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ 构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为，则不命中靶的概率是 ．
【答案】
【解析】由题意知，射手命中的概率为，
又由射手命中靶与不命中靶为对立事件，故不命中靶的概率是
故答案为
12(★) 事件，互斥，它们都不发生的概率为，且，则 ．
【答案】
【解析】事件互斥，
它们都不发生的概率为，
，
，解得，
，
．
13(★) 经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么三辆汽车经过这个十字路口，至少有两辆车向左转的概率为 ．
【答案】
【解析】三辆车经过十字路口的情况有27种，
至少有两辆车向左转的情况数为7种，所以概率为：．故答案为：．
14(★★) 若连掷两次骰子，分别得到的点数是，将作为点的坐标，则点落在区域内的概率是 ．
【答案】
【解析】掷两次骰子，会有种可能．
点落在区域内，即，则共有以下可能性．
①，，，；
②，，，，；
③，，，；
④；
这11个点都满足，即所求概率为．
15(★★) 如图所示，是边长为的小正方形组成的网格的两个顶点，在格点中任意放置点，恰好能使其构成且面积为的概率是 ．
【答案】
【解析】在网格中共有个格点，而使得三角形面积为的格点有个
故使得三角形面积为的概率为.
16(★) 抛掷一枚均匀的骰子，事件表示“朝上一面的点数是偶数”，事件表示“朝上一面的点数不超过”，求．
【答案】
【解析】由于正方体骰子，六个面上分别刻有的1，2，3，4，5，6六个数字，
则事件“朝上一面的点数是偶数”包括向上点数为2，4，6三种情况，
事件“朝上一面的点数不超过4”包括向上点数为1，2，3三种情况，
故事件包括向上点数为1，2，3，4，6五种情况
故．
17(★★) 某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过站的地铁票价如表：
乘坐站数
票价(元)
现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过站，且他们各自在每个站下车的可能性是相同的．
若甲、乙两人共付费元，则甲、乙下车方案共有多少种？
若甲、乙两人共付费元，求甲比乙先到达目的地的概率．
【答案】
【解析】由题意知甲、乙乘坐地铁均不超过3站，前3站设为A1，B1，C1，
甲、乙两人共有(A1，A1)，(A1，B1)，(A1，C1)，(B1，A1)，(B1，B1)，
(B1，C1)，(C1，A1)，(C1，B1)，(C1，C1)，9种下车方案．
(2)设9站分别为A1，B1，C1，A2，B2，C2，A3，B3，C3，
因为甲、乙两人共付费4元，共有甲付1元，乙付3元；甲付3元，乙付1元；甲付2元，乙付2元三类情况．
由(1)可知每类情况中有9种方案，所以甲、乙两人共付费4元共有27种方案．
而甲比乙先到达目的地的方案有：
(A1，A3)，(A1，B3)，(A1，C3)，(B1，A3)，(B1，B3)，(B1，C3)，(C1，A3)，
(C1，B3)，(C1，C3)，(A2，B2)，(A2，C2)，(B2，C2)，共12种，
故所求概率为．
所以甲比乙先到达目的地的概率为．
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