事件的相互独立性、概率与频率
1 事件的相互独立性
① 独立事件
对任意两个事件与，如果成立，则我们称事件与事件相互独立，简称独立.
② 个事件独立
个事件两两独立时，等式成立.
2 频率与概率
(1)频率的稳定性
一般地，随着试验次数的增大，频率偏离的概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率.
案例 我扔骰子前次都是，那第次投出骰子是的可能性有多大呢？理性分析，应该是，因为第次投骰子的概率与前三次无关；那假如我扔骰子前次都是，那第次是的可能性又有多大呢？此时，频率的稳定性会告诉你第次是6的可能性很大，只能说明骰子是有问题的，这数学不就告诉你赌博十赌九输的原因了么！
案例 估值值.(可百度下“用概率计算圆周率”)
(2)随机模拟
蒙特卡洛方法：利用随机模拟解决问题的方法.
【题型一】概率与频率
【典题1】下列说法中，正确的是
A．概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
B．做次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率就是事件的概率
C．频率是不能脱离次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值D．任意事件发生的概率总满足.
【题型二】独立事件
【典题1】 已知事件，且，，则下列结论正确的是
A. 如果，那么，
B．如果与互斥，那么，
C．如果与相互独立，那么，
D．如果与相互独立，那么，
【典题2】三个元件，，正常工作的概率分别为，且是互相独立的．将它们中某两个元件并联后再和第三元件串联接入电路，在如图的电路中，电路不发生故障的概率是 ．
【典题3】校运动会招聘志愿者，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率是，甲、乙两人都不能被录用的概率为，丙、乙两人都能被录用的概率为，且三人是否录用相互独立．
(1)求乙、丙两人各自能被录用的概率；
(2)求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率．
【典题4】某景区内有个景点，其平面图如图所示，当时甲在地，乙在地，若每经过一个单位时间，他们都将随机走向与之相邻的任意一个景区，记某时刻甲、乙出现在同一景区的概率为，则 ； ．
巩固练习
1 (★)下列说法正确的是
A．任何事件的概率总是在之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
2 (★) 气象台预报“茂名市明天降雨的概率是”，下列理解正确的是
A．茂名市明天将有的地区降雨
B．茂名市明天将有的时间降雨
C．明天出行不带雨具肯定要淋雨
D．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大
3 (★) 下列说法正确的是
①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度；
②每个试验结果出现的频数之和等于试验的总次数；
③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1；
④概率就是频率．
A．① B．①②④ C．①② D．③④
4 (★) 抛掷两枚硬币，若记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为，，，则下列判断中错误的是
A． B． C． D．
5 (★★) (多选题)已知事件，相互独立，且(A)，(B)，则
A． B． C． D．
6 (★★) (多选题)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，若甲的中靶概率为，乙的中靶概率为，则下列结论正确的为
A．两人都中靶的概率为
B．恰好有一人中靶的概率为
C．两人都脱靶的概率为
D．恰好有一人脱靶的概率为
7. (★) 打靶时，每打10次可中靶8次，每打10次可中靶7次，若2人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是 ．
8. (★★) 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，，一辆车从甲地到乙地，恰好遇到2个红灯的概率为 ．
9(★★) 甲、乙、丙三人射击同一目标，命中目标的概率分别为，且彼此射击互不影响，现在三人射击该目标各一次，则目标被击中的概率为 ．(用数字作答)
10(★★) 排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，甲在每局比赛获胜的概率都相等为，前2局中乙队以2：0领先，则最后乙队获胜的概率是 ．
11(★★) 如图，元件，2，3，通过电流的概率均为0.9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在，之间通过的概率是 ．
12 (★★) 某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且
(l)求与的值；
(2)该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于分的概率．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)事件的相互独立性、概率与频率
1 事件的相互独立性
① 独立事件
对任意两个事件与，如果成立，则我们称事件与事件相互独立，简称独立.
② 个事件独立
个事件两两独立时，等式成立.
2 频率与概率
(1)频率的稳定性
一般地，随着试验次数的增大，频率偏离的概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率.
案例 我扔骰子前次都是，那第次投出骰子是的可能性有多大呢？理性分析，应该是，因为第次投骰子的概率与前三次无关；那假如我扔骰子前次都是，那第次是的可能性又有多大呢？此时，频率的稳定性会告诉你第次是6的可能性很大，只能说明骰子是有问题的，这数学不就告诉你赌博十赌九输的原因了么！
案例 估值值.(可百度下“用概率计算圆周率”)
(2)随机模拟
蒙特卡洛方法：利用随机模拟解决问题的方法.
【题型一】概率与频率
【典题1】下列说法中，正确的是
A．概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
B．做次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率就是事件的概率
C．频率是不能脱离次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值D．任意事件发生的概率总满足.
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于，由概率与频率的关系，正确；
对于，概率是频率的稳定值，错误；
对于，由概率与频率的关系，正确；
对于，任意事件发生的概率率总满足，错误；
故选：．
【点拨】正确理解概率与频率之间的关系.
【题型二】独立事件
【典题1】 已知事件，且，，则下列结论正确的是
A. 如果，那么，
B．如果与互斥，那么，
C．如果与相互独立，那么，
D．如果与相互独立，那么，
【解析】事件，，且，，
对于，若，则，，故正确；
对于，若与互斥，则，，故正确；
对于，若与相互独立，则，
，故错误；
对于，若与相互独立，则，
，故正确．
故选：．
【点拨】可借助图理解事件之间包含、和事件与积事件；事件的互斥与事件的独立要作好区别：事件互斥，说明两个事件不可能同时发生；而事件相互独立，是指两个事件发生互不影响.
【典题2】三个元件，，正常工作的概率分别为，且是互相独立的．将它们中某两个元件并联后再和第三元件串联接入电路，在如图的电路中，电路不发生故障的概率是 ．
【解析】记正常工作为事件正常工作为事件，记正常工作为事件，
则；
电路不发生故障，即正常工作且至少有一个正常工作，
不发生故障即至少有一个正常工作的概率，
(淘汰法)
所以整个电路不发生故障的概率为，
故答案为：
【点拨】遇到“至少”“至多”之类的字眼，可考虑用淘汰法.
【典题3】校运动会招聘志愿者，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率是，甲、乙两人都不能被录用的概率为，丙、乙两人都能被录用的概率为，且三人是否录用相互独立．
(1)求乙、丙两人各自能被录用的概率；
(2)求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率．
【解析】(1)设乙、丙能被录用的概率分别为，，
则，解得，，
∴乙、丙能被录用的概率分别为，，
(2)设甲、乙、丙能被录用的事件分别为，
则，，，
且相互独立，三人至少有两人能被录用包括、、、四种彼此互斥的情况，(理解题意，明确所求概率对应事件包含的“小事件”)
则其概率为．
【典题4】某景区内有个景点，其平面图如图所示，当时甲在地，乙在地，若每经过一个单位时间，他们都将随机走向与之相邻的任意一个景区，记某时刻甲、乙出现在同一景区的概率为，则 ； ．
【解析】
给每个景区编号，记时刻，第个景点路径条数为，
则满足以下条件：
，
图象对称，
，
．
故答案为：．
巩固练习
1 (★)下列说法正确的是
A．任何事件的概率总是在之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
【答案】
【解析】由于必然事件的概率为，不可能事件的概率为，故不正确．
频率的数值是通过实验完成的，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，
故、不正确．
频率是不能脱离次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值，
随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故正确．
故选：．
2 (★) 气象台预报“茂名市明天降雨的概率是”，下列理解正确的是
A．茂名市明天将有的地区降雨
B．茂名市明天将有的时间降雨
C．明天出行不带雨具肯定要淋雨
D．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大
【答案】
【解析】茂名市明天降雨的概率是的含义是：茂名市明天降雨的可能性达，正确．故选：．
3 (★) 下列说法正确的是
①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度；
②每个试验结果出现的频数之和等于试验的总次数；
③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1；
④概率就是频率．
A．① B．①②④ C．①② D．③④
【答案】
【解析】在第四个说法中，概率就是频率是错误的，故答案中只要包含④就是错误的，
故只有，不包含④，
而和的区别在于②对不对，
每个试验结果出现的频数之和等于试验的总次数，这个说法是正确的，
故选：．
4 (★) 抛掷两枚硬币，若记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为，，，则下列判断中错误的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】抛掷两枚硬币，记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为，，，
则，，，
，故错误；，故正确；
，故正确；，故正确．
故选：．
5 (★★) (多选题)已知事件，相互独立，且(A)，(B)，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】事件，相互独立，且(A)，(B)，
对于，(A)，故正确；
对于，(A)，故错误；
对于，(A)(B)，故正确；
对于，，故错误．
故选：．
6 (★★) (多选题)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，若甲的中靶概率为，乙的中靶概率为，则下列结论正确的为
A．两人都中靶的概率为
B．恰好有一人中靶的概率为
C．两人都脱靶的概率为
D．恰好有一人脱靶的概率为
【答案】
【解析】甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，
设事件表示“甲中靶”，事件表示“乙中靶”，则(A)，(B)，
对于，两人都中靶的概率为(A)(B)，故正确；
对于，恰好有一人中靶的概率为：
，故错误；
对于，两人都脱靶的概率为：
，故错误；
对于，恰好有一人中靶的概率为：
，故正确．
故选：．
7. (★) 打靶时，每打10次可中靶8次，每打10次可中靶7次，若2人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是 ．
【答案】
【解析】每打10次可中靶8次，每打10次可中靶7次
中靶的概率是，中靶的概率是，
和是否中靶是相互独立的，
根据相互独立事件同时发生的概率得到它们都中靶的概率是，
8. (★★) 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，，一辆车从甲地到乙地，恰好遇到2个红灯的概率为 ．
【答案】
【解析】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，，
一辆车从甲地到乙地，恰好遇到2个红灯的概率为：
．
9(★★) 甲、乙、丙三人射击同一目标，命中目标的概率分别为，且彼此射击互不影响，现在三人射击该目标各一次，则目标被击中的概率为 ．(用数字作答)
【答案】
【解析】目标被击中的概率等于1减去甲、乙、丙三人都没有击中目标的概率，
故目标被击中的概率是 1－(1)(1)(1，
故答案为：．
10(★★) 排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，甲在每局比赛获胜的概率都相等为，前2局中乙队以2：0领先，则最后乙队获胜的概率是 ．
【答案】
【解析】∵排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，甲在每局比赛获胜的概率都相等为，
前2局中乙队以2：0领先，
∴最后乙队获胜的概率：．
11(★★) 如图，元件，2，3，通过电流的概率均为0.9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在，之间通过的概率是 ．
【答案】
【解析】电流能通过、，的概率为，电流能通过的概率为0.9，
故电流不能通过、，且也不能通过的概率为，
故电流能通过系统、、的概率为，
而电流能通过的概率为0.9，
故电流能在，之间通过的概率是，
12 (★★) 某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且
(l)求与的值；
(2)该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于分的概率．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)由题意列出方程组，得
，解得．
(2)由题令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为，
获得样本等候课学分分数不低于分为事件，
则，
．
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