关于球的外接与内切问题 2
题型四 一般模型
以上几种模型，都有具体的条件要求，它们对应有简便的求解方法，那现在提出一个一般情况的问题：如何求解任一锥体的外接球的半径？(这个问题解决了面积、体积等各种问题也不成问题).
预备知识：球体的截面都是圆，设两个不平行的截面小圆的圆心为，分别过作两个截面的垂线，则球心是两条垂线的交点.
不失一般性，如下图进行分析:已知三棱锥每条棱长度，求其外接球的半径.
解题步骤
① 确定球心的位置：找出和的外心和，过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，此时点肯定共面；
② 求半径：这里提供二个思路
(1) 在中有，其中用正弦定理可求，而的求法各异，要根据二面角确定;
(2) 在中有，其中是已知的，而可在四边形求解出，其中，所以四点共圆，是圆的直径则，接着根据题意再用平几的方法求解便可.
【典题1】 已知三棱锥中，和是全等的等边三角形，边长为，当三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球表面积为 .
【典2】 如图所示，三棱锥中，，，，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A． B． C． D．
【典题3】 如图，四面体中，面和面都是等腰，，，且二面角的大小为，若四面体的顶点都在球上，则球的表面积为( )
A． B． C． D．
1(★★★) 已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，，则多面体的外接球的表面积为 .
2(★★★) 三棱锥中，平面平面，和均为边长为的正三角形，则三棱锥外接球的半径为 .
3(★★★) 如图，在菱形中，，，为对角线的中点，将沿折起到的位置，若，则三棱锥的外接球的表面积为 .
4(★★★) 已知四边形是边长为的菱形，对角线(如图1)，现以为折痕将菱形折起，使点达到点的位置．棱，的中点分别为，，且四面体的外接球球心落在四面体内部(如图2)，则线段长度的取值范围为 .
题型五 内切球问题
1 内切球的概念
如果一个球与简单多面体的各面或其延展部分都相切，且此球在多面体的内部，则称这个球为此多面体的内切球.例：与圆柱两底面以及每条母线都相切的球称为这个圆柱的内切球.
2 三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径.
答 等体积法
即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和与三棱锥体积相等.
(可与三角形内切圆的半径类比，均可由等积法求得.)
【典题1】 如图，在圆锥的轴截面中，，有一小球内切于圆锥(球面与圆锥的侧面、底面都相切)，设小球的体积为，圆锥的体积为，则的值为( )
A． B． C． D．
【典题2】 棱长为的正四面体的内切球的表面积为 .
1(★★) 将一个棱长为的正方体铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为 .
2 (★★) 若圆锥的内切球(球面与圆锥的侧面以及底面都相切)的半径为，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为 .
3 (★★) 已知正三棱柱的六个顶点在球上，又球与此三棱柱的个面都相切，求球与球的体积比与表面积之比.
题型六 多球与多面体的相切问题
【典题1】 个半径为的中球上层个、下层个两两相切叠放在一起.
有个空心大球能把个中球装在里面，求大球的半径至少是多少？
在它们围成的空隙内有个小球与这个中球都外切，求小球的半径？
【典题2】 将半径都为的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个四面体的高的最小值为 .
1 在棱长为的正方体内有两个球外切且有分别与正方体内切.
球两球的半径之和；
球的半径分别为多少时，两球体积之和最小.
2 将个半径为的球和个半径为的球叠为两层放在桌面上，上层只放个较小的球，个球两两相切，求上层小球的最高点到桌面的距离.
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题型四 一般模型
以上几种模型，都有具体的条件要求，它们对应有简便的求解方法，那现在提出一个一般情况的问题：如何求解任一锥体的外接球的半径？(这个问题解决了面积、体积等各种问题也不成问题).
预备知识：球体的截面都是圆，设两个不平行的截面小圆的圆心为，分别过作两个截面的垂线，则球心是两条垂线的交点.
不失一般性，如下图进行分析:已知三棱锥每条棱长度，求其外接球的半径.
解题步骤
① 确定球心的位置：找出和的外心和，过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，此时点肯定共面；
② 求半径：这里提供二个思路
(1) 在中有，其中用正弦定理可求，而的求法各异，要根据二面角确定;
(2) 在中有，其中是已知的，而可在四边形求解出，其中，所以四点共圆，是圆的直径则，接着根据题意再用平几的方法求解便可.
【典题1】 已知三棱锥中，和是全等的等边三角形，边长为，当三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球表面积为 .
【解析】 如图，当平面平面时，三棱锥体积最大，
取中点，连接，则，，
因为平面平面，所以可证得平面，平面，
取三角形的外心，作，则四点共面，
取三角形的外心，过点作的平行线交于点，
因为垂直平面，则垂直平面，
于是点到四点的距离相等，
所以点为三棱锥外接球的球心．
连接，可求得，，
所以，
所以外接球表面积为．
【点拨】
本题中平面平面，是两平面垂直(即二面角为)的情况，球心还是比较好确定的，即过三角形的外心作的垂线交点，此时四边形是矩形，很多量都好求.
【典2】 如图所示，三棱锥中，，，，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A． B． C． D．
【解析】中，，，
设的外心为，外接圆半径为，
则，
取的中点，连接，则是线段的中垂线，
根据三角形外心的定义，可知点在直线上，
，点在外，
在中可得，，，
所以可得，即∠ABC，
取的中点，则可得为的外接圆的圆心，，
过分别作平面的垂线，
垂直且相交，设交点为，即为球心，
在中，，
所以外接球的表面积，
故选：．
【点拨】
① 本题平面平面，属于两平面垂直(即二面角为)的情况，球心不难找，但是要细心些点在三角形内还是外；
② 思考 垂线会不会是异面直线，那它们就不交于点？
分析 不会的， 平面平面，平面平面，面，，
同理，故点四点共面，其实题目求三棱锥的外接球，则两条垂直的交点一定是球心.
【典题3】 如图，四面体中，面和面都是等腰，，，且二面角的大小为，若四面体的顶点都在球上，则球的表面积为( )
A． B． C． D．
【解析】取中点，中点，连结，
四面体中，面和面都是等腰，
，，且二面角的大小为，
，，是二面角的平面角，，
2，，，
，，
则点为外接圆的圆心，点为外接圆的圆心，
过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，
且直线与直线交于点，则点为四面体外接球的球心，为半径，
如下图所示，
易知，，所以，
所以，则四面体的外接球半径为，
因此球的表面积为，
故选：B．
【点拨】
① 要注意常见三角形(等腰三角形、直角三角形、等边三角形等)外接圆圆心的位置；
② 这是典型的“折叠模型”，二面角不是，在找球心的时候，要确定两个“折面”的圆心，因为球心是过两个圆心的垂线交点.
③ 在求外接球半径时，把含两垂线和半径的平面四边形拿出来分析求出半径，要注意二面角的使用.
1(★★★) 已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，，则多面体的外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】折叠型，法一：的外接圆半径为，，
法二：，，，
2(★★★) 三棱锥中，平面平面，和均为边长为的正三角形，则三棱锥外接球的半径为 .
【答案】
【解析】，，，
，；
法二 ， ，，.
3(★★★) 如图，在菱形中，，，为对角线的中点，将沿折起到的位置，若，则三棱锥的外接球的表面积为 .
【答案】28π
【解析】过球心O作OO′⊥平面BCD，则O′为等边三角形BCD的中心，
∵四边形ABCD是菱形，A＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∵∠PEC＝120°，连接OP，OP＝OC，OE＝OE，PE＝CE，
∴△OPE≌△OCE，∴∠OEC＝∠OEP＝60°；
∵AB＝2，∴CE＝3，∴EO′＝1，CO′＝2，∴OO′，
∴球的半径OC．
∴三棱锥P－BCD的外接球的表面积为4π 7＝28π，
4(★★★) 已知四边形是边长为的菱形，对角线(如图1)，现以为折痕将菱形折起，使点达到点的位置．棱，的中点分别为，，且四面体的外接球球心落在四面体内部(如图2)，则线段长度的取值范围为 .
【答案】( ，4)
【解析】如图，由题意可知△APC的外心O1 在中线PE上，
设过点O1 的直线l1⊥平面APC，可知l1 平面PED，
同理△ADC的外心O2在中线DE上，设过点O2的直线l2⊥平面ADC，
则l2 平面PED，由对称性知直线l1，l2的交点O在直线EF上．
根据外接球的性质，点O为四面体APCD的外接球的球心．
由题意得EA=3，PE=4，而O1A2=O1E2+EA2，O1A+O1E=PE=4，
∴O1E．
令∠PEF=θ，显然0＜θ，∴EF=PEcosθ=4cosθ＜4．
∵cosθ，∴OE EF=O1E PE，
又OE＜EF，∴EF2，即EF．
综上所述，EF＜4．
∴线段EF长度的取值范围为( ，4)．
题型五 内切球问题
1 内切球的概念
如果一个球与简单多面体的各面或其延展部分都相切，且此球在多面体的内部，则称这个球为此多面体的内切球.例：与圆柱两底面以及每条母线都相切的球称为这个圆柱的内切球.
2 三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径.
答 等体积法
即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和与三棱锥体积相等.
(可与三角形内切圆的半径类比，均可由等积法求得.)
【典题1】 如图，在圆锥的轴截面中，，有一小球内切于圆锥(球面与圆锥的侧面、底面都相切)，设小球的体积为，圆锥的体积为，则的值为( )
A． B． C． D．
【解析】如图所示，作出轴截面，
是正三角形，设，则，．
，∴．
设，则，
∴，即．
∴内切球的体积为，
圆锥的体积为，
．
故选：B．
【点拨】
① 作出横截面，较好的观察到内切球半径、母线、底圆半径等量之间的关系，同时也把立体几何问题转化为平几问题；
② 题中求体积之比，没有明确任一线段的长度，设一线段长度具体值，有利于求出其他线段长度，计算简便些.
【典题2】 棱长为的正四面体的内切球的表面积为 .
【解析】
法一 运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之.
如图，设是内切球的球心，由对称性可知，点也是外接球的球心，
设内切球的半径为，外接球的半径为，
将正四面体放置正方体中，轻松求出，即，
在等边中，(是的外接圆圆心)，
在中，.
法二 连接，将四棱锥分成四个小棱锥，正四面体的四个面面积相等，
易知小棱锥的高是内切球的半径，
由
得
【点拨】
① 方法一中很好的利用了几何体的对称性，巧妙知道正四面体的外接球与内切球的球心重合；横截面很好包含了球心、外接球半径、内切球半径等内容;
② 方法二中可知等积法求内切球半径是个很好的方法，同时可知正四面体的高(为内切球半径)，这个结论在很多题目常用.
③ 棱长为的正四面体的高.
1(★★) 将一个棱长为的正方体铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为 .
【答案】cm3
【解析】正方体的棱长为3，要使制作成球体零件的体积最大，
则球内切于正方体，则球的直径为3cm，半径为cm．
∴可能制作的最大零件的体积为cm3．
2 (★★) 若圆锥的内切球(球面与圆锥的侧面以及底面都相切)的半径为，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为 .
【答案】2：1
【解析】设圆锥的高为h，底面半径为r，
则当圆锥体积最小时，如图，
由△AOE～△ACF可得：，即r，
∴圆锥的体积Vπr2h[(h－24]．
当且仅当h－2=2，即h=4时取等号．
∴该圆锥体积的最小值为．内切球体积为．
该圆锥体积与其内切球体积比2：1．
3 (★★) 已知正三棱柱的六个顶点在球上，又球与此三棱柱的个面都相切，求球与球的体积比与表面积之比.
【答案】
【解析】欲求两球体积之比与表面积之比，关键是求两个球的半径之比.
先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系.
如图：
由题意可得两球、是重合的，过正三棱柱的一条侧棱和它们的球心作截面，
设正三棱柱底面边长为，
则,正三棱柱的高,
在中有
.
题型六 多球与多面体的相切问题
【典题1】 个半径为的中球上层个、下层个两两相切叠放在一起.
有个空心大球能把个中球装在里面，求大球的半径至少是多少？
在它们围成的空隙内有个小球与这个中球都外切，求小球的半径？
【解析】 (1) 连接个中球的球心得到棱长为的正四面体，它的外接球的半径长，
因此大球的半径至少为；
(2)可知该小球和(1)问中的最小的大球是同心球，
则小球的半径是最小的大球的半径减去一个中球的直径，即.
【点拨】大小一样的球体叠在一起，会出现正四面体.
【典题2】 将半径都为的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个四面体的高的最小值为 .
【解析】法一(利用点线关系)
由题意得，四个半径为1的小球的球心恰好构成一个棱长为2的正四面体，并且各面与正四面体的容器的各对应面的距离都为1(如图)，
设点分别是的外心，显然，
设分别为的中点，
在棱长为2的正四面体中，，且，
作，则，
由于
，
所以.
法二(利用相似关系)
由题意得，四个半径为1的小球的球心恰好构成一个棱长为2的正四面体，并且各面与正四面体的容器的各对应面的距离都为1(如图)，正四面体与正四面体的容器由共同的外接球球心(同时也是内切球的球心)的相似正四面体，设它们相似比为，
从内切球的角度看，，
(由等积法可知正四面体内切球半径)，
从外接球的角度看，有，
所以.
法三(利用等体积法)
如图，从点出发将三棱锥分为四个小三棱锥
于是有
设正四面体的高是，
四个球的球心连线组成的正四面体的高，则
从而
所以.
【点拨】解决多球相切问题，基本方法为三种：
① 抓住多球的堆垒放置规律；
② 抓住各球心位置，转化为多面体问题；
③ 适当选择截面，转化为平面几何问题.
1 在棱长为的正方体内有两个球外切且有分别与正方体内切.
球两球的半径之和；
球的半径分别为多少时，两球体积之和最小.
【答案】（1）（2），
【解析】 (1)如图，画出轴截面(对角面)，球心在上，过分别作的垂线交于,设两个球的半径分别为,
则由得，,
所以，则
(2)设两球球体之和为,则
于是当时，有最小值，
故当时，体积之和最小
2 将个半径为的球和个半径为的球叠为两层放在桌面上，上层只放个较小的球，个球两两相切，求上层小球的最高点到桌面的距离.
【答案】
【解析】将球心连接起来构成侧棱为，底面边长为的正三棱锥,
设底面三角形的中心为,则
故正三棱锥的高,
显然平面到桌面的距离为，
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所以上层小球的最高点到桌面的距离为.21世纪教育网(www.21cnjy.com)
