关于球的外接与内切问题 1
题型一 构造长方体求解
情况1 墙角模型
遇到以上四种三棱锥(有三条两两垂直的直线)，均可构造长方体求解外接球半径；
求解外接球半径步骤
① 确定球心的位置：外接球的球心是长方体的体对角线的中点；
② 求半径：长方体的体对角线即外接球直径，则.
情况2 对棱相等的三棱锥
若三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等()，求外接球半径.
求解外接球半径步骤
① 确定球心的位置：如上图构造一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
② 求半径：
设长方体的长宽高分别为，，列方程组
求出.
【典题1】 如图，在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的体积为 .
【典题2】 如图，在三棱锥中，平面，，，，
若三棱锥外接球表面积为，则三棱锥体积的最大值为 .
【典题3】 在三棱锥中，，，，则该三棱锥外接球的表面积为 ( )
A． B． C． D．
1(★★) 已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是 .
2(★★) 设，，，是球表面上的四点，平面，，，
，则球的表面积等于 .
3(★★) 在边长为的正方形中，，分别为，的中点．将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于，则三棱锥的外接球表面积为 .
4(★★) 在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为 .
5(★★) 三棱锥，其中，则该三棱锥外接球的表面积为 .
题型二 汉堡模型
预备知识：球体的截面都是圆，设某个不过球心的小圆圆心为，则球心在过且垂直平面的直线上(即).
模型参考图像(棱柱以三棱柱为例)
模型条件：棱柱外接球问题
求解外接球半径步骤
① 确定球心的位置：是柱体底面所在的球体截面圆心，则平面，由于柱体和外接球组合的几何体的对称性，则线段的中点是球心;
② 算出小圆的半径，;
③ 求半径：由勾股定理可得.
【典题1】已知三棱柱的六个顶点都在同一球面上，且底面，是等边三角形，，，则该球的表面积为( )
A． B． C． D．
【典题2】 已知直三棱柱的六个顶点都在球的球面上，，，，则球的表面积为( )
A．4π B．8π C．12π D．16π
1(★★) 一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为 .
2(★★) 在直三棱柱中，则直三棱柱的外接球的表面积为 .
3(★★) 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，则此球的表面积等于 .
题型三 垂面模型(一条直线垂直于一个平面)
情况1 模型参考图像(以三棱锥为例)
模型条件：中平面
解题步骤
① 确定球心的位置:的外心，则平面且；
② 由正弦定理算出小圆的半径；
③ 求半径：由勾股定理.
情况2 预备知识：的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等
模型参考图像模型参考图像(以三棱锥为例)
模型条件：三棱锥中的射影是的外心.
解题步骤
① 确定球心的位置: 取的外心，因为的射影是的外心，则球心在直线上；
② 由正弦定理算出小圆的半径，算出棱锥的高；
③ 求半径：，解出.
若是如下图的三棱锥(球心在锥体的下方)，方法类似.
情况3
模型参考图像
(以三棱锥为例，其中是球心，是三角形的外接圆圆心，平面)
模型条件：三棱锥中的射影不是的外心.
解题步骤
① 由算出小圆的半径，由题意求出三棱锥的高;
(一般求有难度，需要确定点的位置)
② 确定球心的位置:球心在过且垂直平面的直线上，设；
(一般求不出来，因为球心很难确定，若可以题目就比较简单了！)
③ 求外接球半径：在和中可得
求出，从而求出外接球半径.
(多数情况当的射影不是的外心，需要在两个直角三角形中求出.)
【典题1】 正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 .
【典题2】 已知三棱锥四个顶点都在球上，，，．则球的表面积为( )
A． B． C． D．
【典题3】 在四棱锥中，，，，，，，则三棱锥外接球的表面积为 .
1(★★★)在四面体中，平面，则该四面体的外接球的表面积为 .
2 (★★★) 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为，底面边长为，则该球的表面积为 .
3 (★★★) 已知正三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且球心在三棱锥的内部，若该三棱锥的侧面积为，，则球的表面积为 .
4 (★★★) 在三棱锥中，，，为中点，，若该三棱锥的体积的最大值为，则其外接球表面积为 .
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题型一 构造长方体求解
情况1 墙角模型
遇到以上四种三棱锥(有三条两两垂直的直线)，均可构造长方体求解外接球半径；
求解外接球半径步骤
① 确定球心的位置：外接球的球心是长方体的体对角线的中点；
② 求半径：长方体的体对角线即外接球直径，则.
情况2 对棱相等的三棱锥
若三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等()，求外接球半径.
求解外接球半径步骤
① 确定球心的位置：如上图构造一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
② 求半径：
设长方体的长宽高分别为，，列方程组
求出.
【典题1】 如图，在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的体积为 .
【解析】由，，，，平面，
，2，，由勾股定理逆定理可知，
此时三棱锥中三直线两两垂直，
可知如图，三棱锥是长方体的一个角，
外接球的直径是长方体的体对角线，
所以三棱锥外接球的半径为．
所以外接球的体积．
【点拨】
① 三棱锥中存在三条两两垂直的棱，可构造长方体进行求解外接球问题;
② 求解过程中要注意利用解三角形的方法求解各线段长度及其它们的位置关系，例如利用勾股定理逆定理证明线线垂直.
【典题2】 如图，在三棱锥中，平面，，，，
若三棱锥外接球表面积为，则三棱锥体积的最大值为 .
【解析】设，，由三棱锥外接球表面积为，得外接球的半径为，
又平面，得，
此时三棱锥中三直线两两垂直，
则如下图，三棱锥是长方体的一个“角”，
外接球的半径即为长方体的体对角线，
，得，
．
平面，，
，，(此处用到了射影定理)
过作，垂足为，则平面，
，可得，则．
(利用了割补法求体积)
．
当且仅当，即，时，等号成立．
三棱锥体积的最大值为．
【点拨】
① 射影定理，如下图，已知，，则.
② 求体积也可以用等积法.
【典题3】 在三棱锥中，，，，则该三棱锥外接球的表面积为 ( )
A． B． C． D．
【解析】由题意可将该三棱锥放在长方体中，
可得长方体的过同一个顶点的三个相邻的面的对角线分别为5，，，
设长方体的长，宽，高分别为
则，所以，
设三棱锥外接球的半径为，则，
外接球的表面积，故选：．
【点拨】对棱相等的三棱锥的外接球问题可通过构造长方体求解.
1(★★) 已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是 .
【答案】
【解析】 ，由
.
2(★★) 设，，，是球表面上的四点，平面，，，
，则球的表面积等于 .
【答案】8π
【解析】由题意将此三棱锥放在长方体中，因为AB⊥BC，AB，BC=2，
可得长方体的过同一个顶点的三条棱分别为：，2，，
而长方体的对角线的长度等于其外接球的直径2R，所以(2R)2=2×2+22=8，
所以外接球的表面积S=4πR2=8π，
3(★★) 在边长为的正方形中，，分别为，的中点．将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于，则三棱锥的外接球表面积为 .
【答案】24π
【解析】在正方形ABCD中，∠A、∠B、∠C均为直角，
∴在三棱锥A′－DEF中，A′D，A′E，A′F三条线段两两垂直，
以A′D，A′E，A′F为棱构造长方体，则长方体的外接球就是三棱锥A′－EFD的外接球，
正方形ABCD边长为4，由题意A′E=A′F=2，A′D=4，
∴三棱锥A′－EFD外接球的半径r，
∴三棱锥A′－EFD外接球的表面积为S=4π×2=24π．
4(★★) 在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为，
则
.
5(★★) 三棱锥，其中，则该三棱锥外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为，
.
题型二 汉堡模型
预备知识：球体的截面都是圆，设某个不过球心的小圆圆心为，则球心在过且垂直平面的直线上(即).
模型参考图像(棱柱以三棱柱为例)
模型条件：棱柱外接球问题
求解外接球半径步骤
① 确定球心的位置：是柱体底面所在的球体截面圆心，则平面，由于柱体和外接球组合的几何体的对称性，则线段的中点是球心;
② 算出小圆的半径，;
③ 求半径：由勾股定理可得.
【典题1】已知三棱柱的六个顶点都在同一球面上，且底面，是等边三角形，，，则该球的表面积为( )
A． B． C． D．
【解析】如图，
由题意可知，三棱柱为正三棱柱，底面边长，高．
在底面等边三角形中，设其外心为，为的中点，
则
(此处由更容易些)
设上底面中心为，平面，三棱柱外接球的球心必在直线
又由图像的对称性，可知三棱柱外接球的球心为的中点，
连接，则．
该球的表面积为．故选：．
【点拨】
① 直棱柱的外接球问题属于“汉堡模型”.
② 常见三角形的外接圆半径
(1)等腰三角形 (2)直角三角形 (3)等边三角形
(4) 利用正弦定理可求任一三角形外接圆的半径.
③ 柱体是四棱柱、五棱柱呢？常见情况如下，长方形、正六边形的外接圆圆心是对角线的中点.
【典题2】 已知直三棱柱的六个顶点都在球的球面上，，，，则球的表面积为( )
A．4π B．8π C．12π D．16π
【解析】，，
由余弦定理可得，
，
设的外接圆的半径为，则，所以，
设外接球的半径为，则，
所以外接球的表面积，
故选：．
【点拨】
底面三角形三边都已知，则三角形是确定的，则利用解三角形的方法便可求出其外接圆的半径.
1(★★) 一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为 .
【答案】
【解析】设正六边形边长为，正六棱柱的高为，底面外接圆的关径为，则，
底面积为，，
，球的体积为
2(★★) 在直三棱柱中，则直三棱柱的外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】，，
，，.
3(★★) 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，则此球的表面积等于 .
【答案】
【解析】 在中，因为，可得，
由正弦定理可得外接圆的半径，
设圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为.
题型三 垂面模型(一条直线垂直于一个平面)
情况1 模型参考图像(以三棱锥为例)
模型条件：中平面
解题步骤
① 确定球心的位置:的外心，则平面且；
② 由正弦定理算出小圆的半径；
③ 求半径：由勾股定理.
情况2 预备知识：的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等
模型参考图像模型参考图像(以三棱锥为例)
模型条件：三棱锥中的射影是的外心.
解题步骤
① 确定球心的位置: 取的外心，因为的射影是的外心，则球心在直线上；
② 由正弦定理算出小圆的半径，算出棱锥的高；
③ 求半径：，解出.
若是如下图的三棱锥(球心在锥体的下方)，方法类似.
情况3
模型参考图像
(以三棱锥为例，其中是球心，是三角形的外接圆圆心，平面)
模型条件：三棱锥中的射影不是的外心.
解题步骤
① 由算出小圆的半径，由题意求出三棱锥的高;
(一般求有难度，需要确定点的位置)
② 确定球心的位置:球心在过且垂直平面的直线上，设；
(一般求不出来，因为球心很难确定，若可以题目就比较简单了！)
③ 求外接球半径：在和中可得
求出，从而求出外接球半径.
(多数情况当的射影不是的外心，需要在两个直角三角形中求出.)
【典题1】 正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 .
【解析】方法一 正方形的中心，
找球心:平面，显然球心在上，
求外接球半径:
在中，(即重合)
.
方法二 正方形的中心，而，
则外接球的球心就是，且半径，.
方法三 大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是的外接圆，此处特殊，的斜边是球半径，，，.
【点拨】
① 正四棱锥的外接球问题是显然属于“垂面模型”的(存在其高底面)，方法一就是按照模型的套路进行求解的;
② 本题具有特殊性，正四棱锥的侧棱与底面边长相等，方法一根据外接球的定义，直接确定了球心的位置并求出半径；方法二利用了大圆是轴截面所的外接圆与直角三角形的特性求出了半径；
③ 做题不能太“模型化”，要发散多思考几种方法，避免思维定势开拓自己的思维提高分析能力.
【典题2】 已知三棱锥四个顶点都在球上，，，．则球的表面积为( )
A． B． C． D．
【解析】 在中，，，
可得 的外接圆半径 ，
如图所示，
设点在平面内的投影的为，则，
在中，因为，解得，
设三棱锥 的外接球半径，
即，，
在中，由勾股定理得
，解得，
故三棱锥的外接球半径为，
根据球体的表面积公式 ，
可得球的表面积为 ．
故选：．
【点拨】
由可知，点在平面的投影是三角形外心，本题属于垂面模型中的第二种情况，按照基本套路解题难度不大，在一个直角三角形利用勾股定理便得到关于的方程进而求出.
【典题3】 在四棱锥中，，，，，，，则三棱锥外接球的表面积为 .
【解析】 根据题意画出图形，如图所示；
取的两个三等分点，，
连接，，，，连接，；
由题意可得，
则，故是的外接圆的圆心．
因为，是的外接圆圆心，
所以平面，且．
在菱形中，，
设为三棱锥外接球的球心，
连接，，，过作，垂足为，则四边形是矩形，
设外接球的半径，
在中有，
在中有
则，解得，
从而，故三棱锥外接球的表面积为．
【点拨】
① 本题的模型对应的是垂面模型的情况三，点到平面的投影不是底面的外心；
② 本题难点一：确定三角形外接圆圆心；思路：由于四边形是确定的，可解出三角形，进而利用求出其外接圆，由三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点也就可知圆心在的三等分点处；题目有多线段的数量和位置关系，多用平几的知识点求解出其他线段或者角度，这样更有助于找到解题思路;
③ 本题难点二：到平面的投影的位置；思路：，点是三角形外心，又是直角三角形，故点在的中点处.
④ 遇到垂面模型的第三种情况，往往利用两个直角三角形(比如本题的)得到外接球半径的方程.
1(★★★)在四面体中，平面，则该四面体的外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】在中，，
的外接球直径为，
.
2 (★★★) 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为，底面边长为，则该球的表面积为 .
【答案】
【解析】由正弦定理或找球心都可得，.
3 (★★★) 已知正三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且球心在三棱锥的内部，若该三棱锥的侧面积为，，则球的表面积为 .
【答案】
【解析】作 SM⊥平面 ABC，连结 AM 并延长交 BC 于点 D，连结 SD，
正三棱雉外接球的球心 O 在高 SM 上，连结 OA，
∵，解得：，
正三角形 ABC 中，，
∴，
设 SO=AO=R，△OAM 中，
，解得：，
则球 O 的表面积 ．
4 (★★★) 在三棱锥中，，，为中点，，若该三棱锥的体积的最大值为，则其外接球表面积为 .
【答案】D
【解析】由题意可得
V锥 h PD AC2+BC2) PD AB2 2 4 2，
当且仅当AC=BC，PD⊥面ABC时，该三棱锥的体积的最大值为，
设外接球的半径为R，球心为O，则由题意可得O在PD上，底面外接圆的半径r1，
可得(2－R)2+r2=R2，即(2－R)2+1=R2，解得R，
所以外接球的表面积S=4πR2π，故选：D．
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