第13章 轴对称单元测试卷（含答案）
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第13章 轴对称 测试卷
(考试时间：100分钟，赋分：120分)
姓名：________ 班级：________ 分数：________
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分)
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答 案
1．华容县教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称图形的是( )
2．等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是( )
A．有一个内角是60° B．有一个外角是120° C．有两个角相等 D．腰与底边相等
3．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是( )
A．AM＝BM B．AP＝BN C．∠MAP＝∠MBP D．∠ANM＝∠BNM
第3题图 第4题图 第5题图
4．如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是( )
A．l是线段EH的垂直平分线 B．l是线段EQ的垂直平分线
C．l是线段FH的垂直平分线 D．EH是l的垂直平分线
5．某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°.城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为( )
A．23° B．25° C．27° D．30°
6．“三等分角”大约是在公元前五世纪提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是( )
A．60° B．65° C．75° D．80°
第6题图 第7题图
7．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为点D，交AC于点E，∠A＝∠ABE，AC＝5，BC＝3，则BD的长为( )
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
8．如图，已知S△ABC＝12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC的值是( )
A．10 B．8 C．6 D．4
第8题图 第9题图 第10题图
9．如图，边长为a的等边△ABC中，BF是△ABC的中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是( )
A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a
10．如图，点P是∠AOB内一点，OP＝m，∠AOB＝α，点P关于直线OA的对称点为点Q，关于直线OB的对称点为点T，连接QT，分别交OA，OB于点M，N，连接PM，PN，下列结论：①∠OTQ＝90°－α；②当α＝30°时，△PMN的周长为m；③0＜QT＜2m；④∠MPN＝180°－2α，其中正确的是( )
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,满分24分)
11．点P(2,3)关于y轴的对称点Q的坐标为__________________.
12．给出下列轴对称图形：①等腰直角三角形；②线段；③直角；④等边三角形．其中对称轴条数最多的是___(填序号)．
13．在△ABC中，如果AB＝AC，∠A＝∠C，那么△ABC的形状为_______________.
14．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200 m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C，如图．由此可知，B，C两地相距_________m.
第14题图 第16题图 第17题图
15．等腰三角形的一个外角等于100°，则与这个外角不相邻的两个内角的度数分别为____________．
16．如图，在等边△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且AD＝CE，则∠BCD＋∠CBE＝________°.
17．如图，AB＝AC，AC的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，BC＝6，△CDB的周长为15，则AC＝________．
18．如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是____．
三、解答题(共66分)
19．(8分)如图，已知△ABC，分别画出与△ABC关于x轴、y轴对称的图形△A1B1C1和△A2B2C2，△A1B1C1和△A2B2C2各顶点的坐标为：
A1(_________)；B1(_________)；C1(_________)；A2(____________)；
B2(_______________)；C2(_______________)．
20．(8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，求AC的长．
21．(8分)如图，△ABC 中，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，H是BE、CF的交点，且HB＝HC.求证：AB＝AC.
22．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是顶角∠BAC的外角的平分线．
(1)求证：AD∥BC；
(2)用尺规作图法作∠B的平分线交AD于点E，判断△ABE的形状，并说明理由．
23．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，CD的垂直平分线FM交AC于点F，交BC于点M，FM＝2.
(1)求∠ADE的度数；
(2)求证：△ADF是等边三角形；
(3)求AB的长．
24．(10分)如图，在等边△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，延长DE至点F，CG⊥DF于点G，且DG＝FG，连接CF.求证：
(1)BD＝CE；
(2)EF＝BC.
（注意：第5页还有一道题）
25．(12分)操作实验：如图①，②，③，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称， 所以△ABD≌△ACD，所以∠B＝∠C.
归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等．
图① 图② 图③ 图④ 图⑤
根据上述内容，回答下列问题：
思考验证：如图④，在△ABC中，AB＝AC，试说明∠B＝∠C.
探究应用：如图⑤，CB⊥AB，垂足为B，DA⊥AB，垂足为A，E为AB的中点，AB＝BC，CE⊥BD.
(1)BE与AD是否相等？为什么？
(2)小明认为直线AC是线段DE的垂直平分线，你认为对吗？说明你的理由；
(3)∠DBC与∠DCB相等吗？试说明理由．
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第1页 共5页
参考答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分)
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答 案 D C B A B D A C B C
1．华容县教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称图形的是( D )
2．等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是( C )
A．有一个内角是60° B．有一个外角是120° C．有两个角相等 D．腰与底边相等
3．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是( B )
A．AM＝BM B．AP＝BN C．∠MAP＝∠MBP D．∠ANM＝∠BNM
第3题图 第4题图 第5题图
4．如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是( A )
A．l是线段EH的垂直平分线 B．l是线段EQ的垂直平分线
C．l是线段FH的垂直平分线 D．EH是l的垂直平分线
5．某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°.城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为( B )
A．23° B．25° C．27° D．30°
6．“三等分角”大约是在公元前五世纪提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是( D )
A．60° B．65° C．75° D．80°
第6题图 第7题图
7．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为点D，交AC于点E，∠A＝∠ABE，AC＝5，BC＝3，则BD的长为( A )
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
8．如图，已知S△ABC＝12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC的值是( C )
A．10 B．8 C．6 D．4
第8题图 第9题图 第10题图
9．如图，边长为a的等边△ABC中，BF是△ABC的中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是( B )
A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a
10．如图，点P是∠AOB内一点，OP＝m，∠AOB＝α，点P关于直线OA的对称点为点Q，关于直线OB的对称点为点T，连接QT，分别交OA，OB于点M，N，连接PM，PN，下列结论：①∠OTQ＝90°－α；②当α＝30°时，△PMN的周长为m；③0＜QT＜2m；④∠MPN＝180°－2α，其中正确的是( C )
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,满分24分)
11．点P(2,3)关于y轴的对称点Q的坐标为__________________.
【答案】(－2,3)
12．给出下列轴对称图形：①等腰直角三角形；②线段；③直角；④等边三角形．其中对称轴条数最多的是___(填序号)．
【答案】④
13．在△ABC中，如果AB＝AC，∠A＝∠C，那么△ABC的形状为_______________.
【答案】等边三角形
14．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200 m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C，如图．由此可知，B，C两地相距_________m.
【答案】200
第14题图 第16题图 第17题图
15．等腰三角形的一个外角等于100°，则与这个外角不相邻的两个内角的度数分别为____________．
【答案】50°，50°或80°，20°
16．如图，在等边△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且AD＝CE，则∠BCD＋∠CBE＝________°.
【答案】60
17．如图，AB＝AC，AC的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，BC＝6，△CDB的周长为15，则AC＝________．
【答案】9
18．如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是____．
【答案】14
【解析】如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′.∵∠CMD＝120°，∴∠AMC＋∠DMB＝60°，∴∠CMA′＋∠DMB′＝60°，∴∠A′MB′＝60°，∵MA′＝MB′，∴△A′MB′为等边三角形，∵CD≤CA′＋A′B′＋B′D＝CA＋AM＋BD＝2＋4＋8＝14，∴CD的最大值为14
三、解答题(共66分)
19．(8分)如图，已知△ABC，分别画出与△ABC关于x轴、y轴对称的图形△A1B1C1和△A2B2C2，△A1B1C1和△A2B2C2各顶点的坐标为：
A1(_________)；B1(_________)；C1(_________)；A2(____________)；
B2(_______________)；C2(_______________)．
【答案】
0,2 2,4 4,1 0，－2 －2，－4 －4，－1
20．(8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，求AC的长．
解：∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，
∴∠A＝30°，∠DBC＝∠ABD＝30°.
∴∠A＝∠ABD.
∴AD＝BD＝6.
∵∠C＝90°，∠DBC＝30°，
∴DC＝BD＝3.∴AC＝AD＋DC＝9.
21．(8分)如图，△ABC 中，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，H是BE、CF的交点，且HB＝HC.求证：AB＝AC.
证明：∵HB＝HC，∴∠HBC＝∠HCB.
∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，
∴∠BFH＝∠CEH＝90°.
又∵∠BHF＝∠CHE，HB＝HC，
∴△BHF≌△CHE.
∴∠FBH＝∠ECH.
∴∠FBH＋∠HBC ＝∠ECH＋∠HCB.
∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.
22．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是顶角∠BAC的外角的平分线．
(1)求证：AD∥BC；
(2)用尺规作图法作∠B的平分线交AD于点E，判断△ABE的形状，并说明理由．
解：(1)证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵AD平分∠BAC的外角，∴∠1＝∠2.
∵∠1＋∠2＝∠ABC＋∠ACB，
∴∠1＝∠ABC.
∴AD∥BC.
(2)如图，△ABE是等腰三角形．
理由：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.
∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE.
∴∠AEB＝∠ABE.∴AB＝AE.∴△ABE是等腰三角形．
23．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，CD的垂直平分线FM交AC于点F，交BC于点M，FM＝2.
(1)求∠ADE的度数；
(2)求证：△ADF是等边三角形；
(3)求AB的长．
解：(1)易知∠B＝∠C＝30°，∠BDE＝75°，∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝90°－75°＝15°.
(2)证明：由FM垂直平分CD，得∠C＝∠CDF＝30°，
∴∠AFD＝∠C＋∠CDF＝60°.
∵在△ABC中，AB＝AC，AD为中线，
∴∠DAF＝∠BAC＝60°，
∴△ADF为等边三角形．
(3)由CF＝2FM＝4＝DF＝AF，得AC＝8，
∴AB＝AC＝8.
24．(10分)如图，在等边△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，延长DE至点F，CG⊥DF于点G，且DG＝FG，连接CF.求证：
(1)BD＝CE；
(2)EF＝BC.
证明：(1)∵DE∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠ACB＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE.∵AB＝AC，∴BD＝CE.
(2)连接CD.
∵CG⊥DF，DG＝FG，∴CF＝CD.
设∠F＝∠CDF＝α，
则∠BDC＝180°－∠ADC＝
180°－(60°＋α)＝120°－α，
∠ECF＝∠ECG＋∠GCF＝30°＋(90°－α)＝120°－α，
∴∠BDC＝∠ECF.
∵BD＝CE，∠BDC＝∠ECF，CD＝FC，
∴△BDC≌△ECF(SAS)，∴EF＝BC.
25．(12分)操作实验：如图①，②，③，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称， 所以△ABD≌△ACD，所以∠B＝∠C.
归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等．
图① 图② 图③ 图④ 图⑤
根据上述内容，回答下列问题：
思考验证：如图④，在△ABC中，AB＝AC，试说明∠B＝∠C.
探究应用：如图⑤，CB⊥AB，垂足为B，DA⊥AB，垂足为A，E为AB的中点，AB＝BC，CE⊥BD.
(1)BE与AD是否相等？为什么？
(2)小明认为直线AC是线段DE的垂直平分线，你认为对吗？说明你的理由；
(3)∠DBC与∠DCB相等吗？试说明理由．
解：思考验证：如图④，过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)，∴∠B＝∠C.
探究应用：(1)相等．理由：如图⑤，∵BD⊥CE，DA⊥AB，
∴∠BEC＋∠1＝90°，∠1＋∠ADB＝90°，∴∠ADB＝∠BEC.
在△ADB和△BEC中，
∴△DAB≌△EBC(AAS)，∴AD＝BE.
(2)我认为对．理由：∵E是AB的中点，∴AE＝BE.∵AD＝BE，
∴AE＝AD.在△ABC中，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA.易知AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA.∴∠BAC＝∠DAC.
在△ADC和△AEC中，
∴△ADC≌△AEC(SAS)，∴CD＝CE.
∴点C在线段DE的垂直平分线上．
∵AD＝AE，∴点A也在线段DE的垂直平分线上，
∴直线AC是线段DE的垂直平分线．
(3)相等．理由：∵△ADB≌△BEC，∴DB＝CE.
∵CD＝CE，∴CD＝BD，∴∠DBC＝∠DCB.
(考试时间：100分钟，赋分：120分)
姓名：________ 班级：________ 分数：________
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分)
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答 案
1．华容县教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称图形的是( )
2．等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是( )
A．有一个内角是60° B．有一个外角是120° C．有两个角相等 D．腰与底边相等
3．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是( )
A．AM＝BM B．AP＝BN C．∠MAP＝∠MBP D．∠ANM＝∠BNM
第3题图 第4题图 第5题图
4．如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是( )
A．l是线段EH的垂直平分线 B．l是线段EQ的垂直平分线
C．l是线段FH的垂直平分线 D．EH是l的垂直平分线
5．某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°.城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为( )
A．23° B．25° C．27° D．30°
6．“三等分角”大约是在公元前五世纪提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是( )
A．60° B．65° C．75° D．80°
第6题图 第7题图
7．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为点D，交AC于点E，∠A＝∠ABE，AC＝5，BC＝3，则BD的长为( )
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
8．如图，已知S△ABC＝12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC的值是( )
A．10 B．8 C．6 D．4
第8题图 第9题图 第10题图
9．如图，边长为a的等边△ABC中，BF是△ABC的中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是( )
A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a
10．如图，点P是∠AOB内一点，OP＝m，∠AOB＝α，点P关于直线OA的对称点为点Q，关于直线OB的对称点为点T，连接QT，分别交OA，OB于点M，N，连接PM，PN，下列结论：①∠OTQ＝90°－α；②当α＝30°时，△PMN的周长为m；③0＜QT＜2m；④∠MPN＝180°－2α，其中正确的是( )
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,满分24分)
11．点P(2,3)关于y轴的对称点Q的坐标为__________________.
12．给出下列轴对称图形：①等腰直角三角形；②线段；③直角；④等边三角形．其中对称轴条数最多的是___(填序号)．
13．在△ABC中，如果AB＝AC，∠A＝∠C，那么△ABC的形状为_______________.
14．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200 m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C，如图．由此可知，B，C两地相距_________m.
第14题图 第16题图 第17题图
15．等腰三角形的一个外角等于100°，则与这个外角不相邻的两个内角的度数分别为____________．
16．如图，在等边△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且AD＝CE，则∠BCD＋∠CBE＝________°.
17．如图，AB＝AC，AC的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，BC＝6，△CDB的周长为15，则AC＝________．
18．如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是____．
三、解答题(共66分)
19．(8分)如图，已知△ABC，分别画出与△ABC关于x轴、y轴对称的图形△A1B1C1和△A2B2C2，△A1B1C1和△A2B2C2各顶点的坐标为：
A1(_________)；B1(_________)；C1(_________)；A2(____________)；
B2(_______________)；C2(_______________)．
20．(8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，求AC的长．
21．(8分)如图，△ABC 中，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，H是BE、CF的交点，且HB＝HC.求证：AB＝AC.
22．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是顶角∠BAC的外角的平分线．
(1)求证：AD∥BC；
(2)用尺规作图法作∠B的平分线交AD于点E，判断△ABE的形状，并说明理由．
23．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，CD的垂直平分线FM交AC于点F，交BC于点M，FM＝2.
(1)求∠ADE的度数；
(2)求证：△ADF是等边三角形；
(3)求AB的长．
24．(10分)如图，在等边△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，延长DE至点F，CG⊥DF于点G，且DG＝FG，连接CF.求证：
(1)BD＝CE；
(2)EF＝BC.
（注意：第5页还有一道题）
25．(12分)操作实验：如图①，②，③，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称， 所以△ABD≌△ACD，所以∠B＝∠C.
归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等．
图① 图② 图③ 图④ 图⑤
根据上述内容，回答下列问题：
思考验证：如图④，在△ABC中，AB＝AC，试说明∠B＝∠C.
探究应用：如图⑤，CB⊥AB，垂足为B，DA⊥AB，垂足为A，E为AB的中点，AB＝BC，CE⊥BD.
(1)BE与AD是否相等？为什么？
(2)小明认为直线AC是线段DE的垂直平分线，你认为对吗？说明你的理由；
(3)∠DBC与∠DCB相等吗？试说明理由．
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第1页 共5页
参考答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分)
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答 案 D C B A B D A C B C
1．华容县教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称图形的是( D )
2．等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是( C )
A．有一个内角是60° B．有一个外角是120° C．有两个角相等 D．腰与底边相等
3．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是( B )
A．AM＝BM B．AP＝BN C．∠MAP＝∠MBP D．∠ANM＝∠BNM
第3题图 第4题图 第5题图
4．如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是( A )
A．l是线段EH的垂直平分线 B．l是线段EQ的垂直平分线
C．l是线段FH的垂直平分线 D．EH是l的垂直平分线
5．某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°.城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为( B )
A．23° B．25° C．27° D．30°
6．“三等分角”大约是在公元前五世纪提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是( D )
A．60° B．65° C．75° D．80°
第6题图 第7题图
7．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为点D，交AC于点E，∠A＝∠ABE，AC＝5，BC＝3，则BD的长为( A )
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
8．如图，已知S△ABC＝12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC的值是( C )
A．10 B．8 C．6 D．4
第8题图 第9题图 第10题图
9．如图，边长为a的等边△ABC中，BF是△ABC的中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是( B )
A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a
10．如图，点P是∠AOB内一点，OP＝m，∠AOB＝α，点P关于直线OA的对称点为点Q，关于直线OB的对称点为点T，连接QT，分别交OA，OB于点M，N，连接PM，PN，下列结论：①∠OTQ＝90°－α；②当α＝30°时，△PMN的周长为m；③0＜QT＜2m；④∠MPN＝180°－2α，其中正确的是( C )
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,满分24分)
11．点P(2,3)关于y轴的对称点Q的坐标为__________________.
【答案】(－2,3)
12．给出下列轴对称图形：①等腰直角三角形；②线段；③直角；④等边三角形．其中对称轴条数最多的是___(填序号)．
【答案】④
13．在△ABC中，如果AB＝AC，∠A＝∠C，那么△ABC的形状为_______________.
【答案】等边三角形
14．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200 m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C，如图．由此可知，B，C两地相距_________m.
【答案】200
第14题图 第16题图 第17题图
15．等腰三角形的一个外角等于100°，则与这个外角不相邻的两个内角的度数分别为____________．
【答案】50°，50°或80°，20°
16．如图，在等边△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且AD＝CE，则∠BCD＋∠CBE＝________°.
【答案】60
17．如图，AB＝AC，AC的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，BC＝6，△CDB的周长为15，则AC＝________．
【答案】9
18．如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是____．
【答案】14
【解析】如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′.∵∠CMD＝120°，∴∠AMC＋∠DMB＝60°，∴∠CMA′＋∠DMB′＝60°，∴∠A′MB′＝60°，∵MA′＝MB′，∴△A′MB′为等边三角形，∵CD≤CA′＋A′B′＋B′D＝CA＋AM＋BD＝2＋4＋8＝14，∴CD的最大值为14
三、解答题(共66分)
19．(8分)如图，已知△ABC，分别画出与△ABC关于x轴、y轴对称的图形△A1B1C1和△A2B2C2，△A1B1C1和△A2B2C2各顶点的坐标为：
A1(_________)；B1(_________)；C1(_________)；A2(____________)；
B2(_______________)；C2(_______________)．
【答案】
0,2 2,4 4,1 0，－2 －2，－4 －4，－1
20．(8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，求AC的长．
解：∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，
∴∠A＝30°，∠DBC＝∠ABD＝30°.
∴∠A＝∠ABD.
∴AD＝BD＝6.
∵∠C＝90°，∠DBC＝30°，
∴DC＝BD＝3.∴AC＝AD＋DC＝9.
21．(8分)如图，△ABC 中，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，H是BE、CF的交点，且HB＝HC.求证：AB＝AC.
证明：∵HB＝HC，∴∠HBC＝∠HCB.
∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，
∴∠BFH＝∠CEH＝90°.
又∵∠BHF＝∠CHE，HB＝HC，
∴△BHF≌△CHE.
∴∠FBH＝∠ECH.
∴∠FBH＋∠HBC ＝∠ECH＋∠HCB.
∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.
22．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是顶角∠BAC的外角的平分线．
(1)求证：AD∥BC；
(2)用尺规作图法作∠B的平分线交AD于点E，判断△ABE的形状，并说明理由．
解：(1)证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵AD平分∠BAC的外角，∴∠1＝∠2.
∵∠1＋∠2＝∠ABC＋∠ACB，
∴∠1＝∠ABC.
∴AD∥BC.
(2)如图，△ABE是等腰三角形．
理由：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.
∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE.
∴∠AEB＝∠ABE.∴AB＝AE.∴△ABE是等腰三角形．
23．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，CD的垂直平分线FM交AC于点F，交BC于点M，FM＝2.
(1)求∠ADE的度数；
(2)求证：△ADF是等边三角形；
(3)求AB的长．
解：(1)易知∠B＝∠C＝30°，∠BDE＝75°，∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝90°－75°＝15°.
(2)证明：由FM垂直平分CD，得∠C＝∠CDF＝30°，
∴∠AFD＝∠C＋∠CDF＝60°.
∵在△ABC中，AB＝AC，AD为中线，
∴∠DAF＝∠BAC＝60°，
∴△ADF为等边三角形．
(3)由CF＝2FM＝4＝DF＝AF，得AC＝8，
∴AB＝AC＝8.
24．(10分)如图，在等边△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，延长DE至点F，CG⊥DF于点G，且DG＝FG，连接CF.求证：
(1)BD＝CE；
(2)EF＝BC.
证明：(1)∵DE∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠ACB＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE.∵AB＝AC，∴BD＝CE.
(2)连接CD.
∵CG⊥DF，DG＝FG，∴CF＝CD.
设∠F＝∠CDF＝α，
则∠BDC＝180°－∠ADC＝
180°－(60°＋α)＝120°－α，
∠ECF＝∠ECG＋∠GCF＝30°＋(90°－α)＝120°－α，
∴∠BDC＝∠ECF.
∵BD＝CE，∠BDC＝∠ECF，CD＝FC，
∴△BDC≌△ECF(SAS)，∴EF＝BC.
25．(12分)操作实验：如图①，②，③，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称， 所以△ABD≌△ACD，所以∠B＝∠C.
归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等．
图① 图② 图③ 图④ 图⑤
根据上述内容，回答下列问题：
思考验证：如图④，在△ABC中，AB＝AC，试说明∠B＝∠C.
探究应用：如图⑤，CB⊥AB，垂足为B，DA⊥AB，垂足为A，E为AB的中点，AB＝BC，CE⊥BD.
(1)BE与AD是否相等？为什么？
(2)小明认为直线AC是线段DE的垂直平分线，你认为对吗？说明你的理由；
(3)∠DBC与∠DCB相等吗？试说明理由．
解：思考验证：如图④，过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)，∴∠B＝∠C.
探究应用：(1)相等．理由：如图⑤，∵BD⊥CE，DA⊥AB，
∴∠BEC＋∠1＝90°，∠1＋∠ADB＝90°，∴∠ADB＝∠BEC.
在△ADB和△BEC中，
∴△DAB≌△EBC(AAS)，∴AD＝BE.
(2)我认为对．理由：∵E是AB的中点，∴AE＝BE.∵AD＝BE，
∴AE＝AD.在△ABC中，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA.易知AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA.∴∠BAC＝∠DAC.
在△ADC和△AEC中，
∴△ADC≌△AEC(SAS)，∴CD＝CE.
∴点C在线段DE的垂直平分线上．
∵AD＝AE，∴点A也在线段DE的垂直平分线上，
∴直线AC是线段DE的垂直平分线．
(3)相等．理由：∵△ADB≌△BEC，∴DB＝CE.
∵CD＝CE，∴CD＝BD，∴∠DBC＝∠DCB.