第十三章 轴对称习题课 构造等腰三角形的常用方法（含答案）

第十三章 轴对称 习题课 构造等腰三角形的常用方法
【知识网络】
【同步练习】
类型1 平移模型
【模型展示】
①利用“角平分线＋平行线”构造等腰三角形，如图①，若∠1＝∠2，AC∥OB，则△OAC为等腰三角形．
②作腰的平行线构造等腰三角形．如图②，图③，若AB＝AC，DE∥AC，则△BDE为等腰三角形．
③作底边的平行线构造等腰三角形．如图④，图⑤，若AB＝AC，DE∥BC，则△ADE为等腰三角形．
1．如图，等边△ABC中，D是边AC延长线上一点，延长BC至E，使CE＝AD，DG⊥BC于G，求证：BG＝EG.
2．如图，D是等边△ABC的边AC的中点，F在AB上，E在BC的延长线上，∠FDE＝120°.
(1)求证：DE＝DF；
(2)求证：CE＋BF＝BC.
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.
(1)如图①，当P为AB的中点时，求证：PD＝QD；
(2)如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当P，Q在移动的过程中，线段BE，ED，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．
类型2 角平分线＋垂线→等腰三角形
【模型展示】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，故可以延长CD交AB于点E，则△ACE是等腰三角形．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BE是△ABC的角平分线，CD⊥BE交BE的延长线于点D.求证：BE＝2CD.
类型3 利用截长补短法构造等腰三角形
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，AB＝AC, BD平分∠ABC，交AC于点D.
求证：BC＝AB＋CD.
类型4 利用倍长中线法构造等腰三角形
6．如图，△ABC中，AD为中线，E为AB上一点，AD，CE交于点F，且AE＝EF.
求证：AB＝CF.
7．如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC.求证：CD＝2CE.
类型5 利用倍角关系构造等腰三角形(选做)
【模型展示】在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB.
如图①，作BD平分∠ABC，则△DBC是等腰三角形；
如图②，延长CB至点D，使BD＝BA，则△ADB，△ADC是等腰三角形；
如图③，作∠ACD＝∠ACB，交BA的延长线于点D，则△DBC是等腰三角形．
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，CD平分∠ACB交AB于点D.求证：AC＋AD＝BC.
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD⊥BC于点D，M为BC的中点．求证：DM＝AB.
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参考答案
【同步练习】
类型1 平移模型
【模型展示】
①利用“角平分线＋平行线”构造等腰三角形，如图①，若∠1＝∠2，AC∥OB，则△OAC为等腰三角形．
②作腰的平行线构造等腰三角形．如图②，图③，若AB＝AC，DE∥AC，则△BDE为等腰三角形．
③作底边的平行线构造等腰三角形．如图④，图⑤，若AB＝AC，DE∥BC，则△ADE为等腰三角形．
1．如图，等边△ABC中，D是边AC延长线上一点，延长BC至E，使CE＝AD，DG⊥BC于G，求证：BG＝EG.
证明：过点D作DF∥BC交AB延长线于点F，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠AFD＝∠ADF＝∠A＝60°，∴△ADF是等边三角形，∴AD＝DF＝AF，∴CD＝BF，又∵AD＝CE，∴FD＝CE，又∵∠DFB＝∠DCE＝60°，∴△BFD≌△DCE，∴DB＝DE，又∵DG⊥BC，∴BG＝EG.
2．如图，D是等边△ABC的边AC的中点，F在AB上，E在BC的延长线上，∠FDE＝120°.
(1)求证：DE＝DF；
(2)求证：CE＋BF＝BC.
证明：(1)过点D作DP∥BC交AB于点P，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠ADP＝∠APD＝∠A＝60°，∴△ADP是等边三角形，∴AD＝DP＝AP，∠DPF＝∠DCE＝∠PDC＝120°，又∵D是AC的中点，∴AD＝CD＝PD，又∵∠FDE＝120°，∴∠PDF＝∠CDE，∴△DPF≌△DCE，∴DF＝DE；　
(2)∵△DPF≌△DCE，∴PF＝CE，∴CE＋BF＝PF＋BF＝PB，由(1)可得，PB＝BA，∴CE＋BF＝BC.
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.
(1)如图①，当P为AB的中点时，求证：PD＝QD；
(2)如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当P，Q在移动的过程中，线段BE，ED，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．
解：(1)证明：如图①，过点P作PF∥AC交BC于点F.∵点P，Q同时出发，且速度相同，∴BP＝CQ.
∵PF∥AQ，∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠DQC.
又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠PFB，∴BP＝FP，∴FP＝CQ.
在△PFD和△QCD中，∠DPF＝∠DQC，∠PDF＝∠QDC，FP＝CQ，
∴△PFD≌△QCD(AAS)，∴PD＝QD.
(2)线段ED的长度保持不变．理由如下：如图②，过点P作PF∥AC交BC于点F.由(1)知，PB＝PF.
∵PE⊥BF，∴BE＝EF.由(1)知，△PFD≌△QCD，
∴FD＝CD，∴ED＝EF＋FD＝BE＋CD＝BC，
∴线段ED的长度保持不变．
类型2 角平分线＋垂线→等腰三角形
【模型展示】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，故可以延长CD交AB于点E，则△ACE是等腰三角形．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BE是△ABC的角平分线，CD⊥BE交BE的延长线于点D.求证：BE＝2CD.
证明：延长BA，CD相交于点Q.
∵∠CAQ＝∠BAE＝∠BDC＝90°，
∴∠ACQ＋∠Q＝90°，
∠ABE＋∠Q＝ 90°.
∴∠ACQ＝∠ABE.
在△ABE和△ACQ中，
∴△ABE≌△ACQ(ASA)．∴BE＝CQ.
∵BD平分∠ABC，∴∠QBD＝∠CBD.
∵∠BDC＝90°，∴∠BDC＝∠BDQ＝90°.
∴△BCD≌△BQD.
∴∠BCD＝∠BQD，即△BCQ为等腰三角形．
∵BD⊥CQ，∴CD＝DQ.∴BE＝CQ＝2CD.
类型3 利用截长补短法构造等腰三角形
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，AB＝AC, BD平分∠ABC，交AC于点D.
求证：BC＝AB＋CD.
证明：方法1：(截长法)在BC上取点E，使BE＝BA，连接DE.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD.
在△ABD和△EBD中，
∴△ABD≌△EBD(SAS)．
∴∠BAC＝∠BED＝108°.
∴∠DEC＝72°.
∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝36°.
∴∠CDE＝72°.
∴∠CDE＝∠CED.∴CD＝CE.
则BC＝EB＋CE＝AB＋CD.
方法2：(补短法)延长BA至点E，使BE＝BC，连接DE.
根据SAS证明△EBD≌△CBD，可得DE＝DC，再由三角形内角和求证∠EAD＝∠EDA＝72°，∴EA＝ED＝CD.即可证明BC＝AB＋CD.
类型4 利用倍长中线法构造等腰三角形
6．如图，△ABC中，AD为中线，E为AB上一点，AD，CE交于点F，且AE＝EF.
求证：AB＝CF.
证明：延长FD至点H，使FD＝HD，连接BH.
在△BDH与△CDF中，
∴△BDH≌△CDF(SAS)．
∴∠H＝∠CFD，CF＝BH.
∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠AFE.
∵∠AFE＝∠CFD，∴∠EAF＝∠H.∴AB＝BH.∴AB＝CF.
7．如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC.求证：CD＝2CE.
证明：如图，延长CE到点F，使EF＝CE，连接FB，
则CF＝2CE.
∵CE是△ABC的中线，∴AE＝BE.
在△BEF和△AEC中，
∴△BEF≌△AEC(SAS)．
∴∠EBF＝∠A，BF＝AC.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∴∠CBD＝∠A＋∠ACB＝∠EBF＋∠ABC＝∠CBF.
∵CB是△ADC的中线，∴AB＝BD.
又∵AB＝AC，AC＝BF，∴BF＝AB＝BD.
在△CBF和△CBD中，
∴△CBF≌△CBD(SAS)．∴CF＝CD.∴CD＝2CE.
类型5 利用倍角关系构造等腰三角形(选做)
【模型展示】在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB.
如图①，作BD平分∠ABC，则△DBC是等腰三角形；
如图②，延长CB至点D，使BD＝BA，则△ADB，△ADC是等腰三角形；
如图③，作∠ACD＝∠ACB，交BA的延长线于点D，则△DBC是等腰三角形．
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，CD平分∠ACB交AB于点D.求证：AC＋AD＝BC.
证明：如图，延长DA到点E，使AE＝AC，则∠E＝∠ACE.
∴∠BAC＝∠E＋∠ACE＝2∠E.
∵∠BAC＝2∠B，∴∠B＝∠E＝∠ACE.
∴BC＝EC.
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD.
∴∠ADC＝∠B＋∠BCD＝∠B＋∠ACD.
又∵∠DCE＝∠ACE＋∠ACD＝∠B＋∠ACD，
∴∠ADC＝∠DCE.
∴DE＝CE.
∴AC＋AD＝AE＋AD＝DE＝EC＝BC.
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD⊥BC于点D，M为BC的中点．求证：DM＝AB.
证明：如图，延长CB到点E，使BE＝BA，连接AE，
则∠E＝∠ABC.
∵∠ABC＝2∠C，∴∠E＝∠C. ∴AE＝AC.
∵AD⊥BC，∴CD＝DE.
∵点M为BC的中点，∴BM＝MC.
∴DE＝EB＋BD＝AB＋BD＝AB＋(BM－DM)，
CD＝DM＋MC＝DM＋BM.
∵CD＝DE，∴AB＋(BM－DM)＝DM＋BM. ∴DM＝AB.