第十三章 轴对称习题课 分类思想在等腰三角形中的应用（含答案）
文档属性
| 名称 | 第十三章 轴对称习题课 分类思想在等腰三角形中的应用（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-19 00:00:00 | ||
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文档简介
第十三章 轴对称 习题课 分类思想在等腰三角形中的应用
【知识网络】
【同步练习】
分类讨论思想是解题的一种常用方法，在等腰三角形中，往往会遇到条件或结论不唯一的情况，此时就需要分类讨论，通过正确的分类讨论，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答．其解题策略为：先分类，再画图，后计算．
类型1 当顶角或底角不确定时，分类讨论
对于等腰三角形，只要知道它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果条件中没有确定这个角是顶角还是底角，就要分两种情况讨论．
1．等腰三角形的一个角的外角为110°，则这个等腰三角形的顶角度数为( )
A．110° B．110°或70° C．70°或40° D．40°
2．若等腰三角形的一个外角等于130°，则这个三角形的顶角为 ．
3．如果等腰三角形中一个角是另一个角的度数的一半，则该等腰三角形各内角的度数是 ．
4．若等腰三角形中有一个角等于40°，求这个等腰三角形的顶角度数．
5．已知△ABC是等腰三角形，且∠A＋∠B＝130°，求∠A的度数．
类型2 当底和腰不确定时，分类讨论
6．若等腰三角形的两边长分别是3 cm和5 cm，则这个等腰三角形的周长是( )
A．8 cm B．13 cm C．8 cm或13 cm D．11 cm或13 cm
7．若实数m、n满足等式|m－2|＋＝0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是( )
A．12 B．10 C．8 D．6
8．已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 条( )
A．3 B．4 C．5 D．6
类型3 当高的位置关系不确定时，分类讨论
由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须进行分类讨论，另外，还要结合图形，分高在三角形的内部和在三角形的外部．
9．等腰三角形有一个角为52°，则它的一条腰上的高与底边的夹角是 ．
10．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，求这个等腰三角形底角的度数.
11．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数．
类型4 由腰的垂直平分线引起的分类讨论
12．在△ABC中，AB＝AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，求底角∠B的度数．
13．在 中, , 的垂直平分线交 于点 ,交直线 于点 , ,求 的度数.
类型5 由腰上的中线引起的分类讨论
14．等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm，一腰上的中线BD将其分为周长差为3 cm的两部分，求腰长．
类型6 点的位置不确定引起的分类讨论
15．【2023大连西岗区期末】如图，已知 是射线 上一动点（即点 可在射线 上运动） ，当 ____________时， 为等腰三角形．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2,0)，点B的坐标是(0,3)，以AB为边作等腰三角形，则在坐标轴上的另一个顶点有___个．
17．【2022·合肥168中学月考】已知O为等边三角形ABD的边BD的中点，AB＝4，E，F分别为射线AB，DA上的动点，且∠EOF＝120°.若AF＝1，求BE的长．
18．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
(2)点M、N运动几秒后，可得到等边△AMN
(3)当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
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参考答案
【同步练习】
分类讨论思想是解题的一种常用方法，在等腰三角形中，往往会遇到条件或结论不唯一的情况，此时就需要分类讨论，通过正确的分类讨论，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答．其解题策略为：先分类，再画图，后计算．
类型1 当顶角或底角不确定时，分类讨论
对于等腰三角形，只要知道它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果条件中没有确定这个角是顶角还是底角，就要分两种情况讨论．
1．等腰三角形的一个角的外角为110°，则这个等腰三角形的顶角度数为( C )
A．110° B．110°或70° C．70°或40° D．40°
2．若等腰三角形的一个外角等于130°，则这个三角形的顶角为 ．
【答案】50°或80°
3．如果等腰三角形中一个角是另一个角的度数的一半，则该等腰三角形各内角的度数是 ．
【答案】36°、72°、72°或90°、45°、45°
4．若等腰三角形中有一个角等于40°，求这个等腰三角形的顶角度数．
解：分两种情况讨论：
(1)顶角为40°；
(2)若底角为40°，则顶角为180°－40°×2＝100°.
综上可知，这个等腰三角形的顶角度数为40°或100°.
5．已知△ABC是等腰三角形，且∠A＋∠B＝130°，求∠A的度数．
解：①当∠A为顶角时．∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＋∠B＝130°，∴∠C＝50°，∴∠A＝80°；
②当∠C为顶角时，则∠A＝∠B，∴∠A＋∠B＝130°，∴∠A＝65°；
③当∠B为顶角时，则∠A＝∠C，∵∠A＋∠B＝130°，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝∠C＝50°.
类型2 当底和腰不确定时，分类讨论
6．若等腰三角形的两边长分别是3 cm和5 cm，则这个等腰三角形的周长是( D )
A．8 cm B．13 cm C．8 cm或13 cm D．11 cm或13 cm
7．若实数m、n满足等式|m－2|＋＝0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是( B )
A．12 B．10 C．8 D．6
8．已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 条( B )
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】由题意得△ABC为等腰三角形，设两腰的垂直平分线与底的交点分别是D1、D2，底边的两个三等分点分别为D3、D4，则当直线分别过顶点与D1、D2、D3、D4的连线时，直线将三角形分成两个三角形，且其中一个为等腰三角形．
类型3 当高的位置关系不确定时，分类讨论
由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须进行分类讨论，另外，还要结合图形，分高在三角形的内部和在三角形的外部．
9．等腰三角形有一个角为52°，则它的一条腰上的高与底边的夹角是 ．
【答案】38°或26°
10．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，求这个等腰三角形底角的度数.
解：设△ABC为等腰三角形，AB＝AC，分两种情况讨论：
①若∠A＜90°，如图①所示．
∵BD⊥AC，∴∠A＋∠ABD＝90°.
∵∠ABD＝36°，∴∠A＝90°－36°＝54°.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝×(180°－54°)＝63°；
②若∠A＞90°，如图②所示．
同①可得∠DAB＝90°－36°＝54°，∴∠BAC＝180°－54°＝126°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝×(180°－126°)＝27°.
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为63°或27°.
11．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数．
解：设在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D.
(1)若高与底边的夹角为25°，高一定在△ABC的内部，
如图①所示．∵∠DBC＝25°，
∴∠C＝90°－∠DBC＝90°－25°＝65°.
∴∠ABC＝∠C＝65°.
∴∠A＝180°－2×65°＝50°.
(2)若高与另一腰的夹角为25°，如图②，当高在△ABC的内部时，
∵∠ABD＝25°，∴∠A＝90°－∠ABD＝65°.
∴∠C＝∠ABC＝(180°－∠A)÷2＝57.5°.
如图③，当高在△ABC的外部时，∵∠ABD＝25°，
∴∠BAD＝90°－∠ABD＝90°－25°＝65°.
∴∠BAC＝180°－65°＝115°.
∴∠ABC＝∠C＝(180°－115°)÷2＝32.5°.
故三角形各个内角的度数为65°，65°，50°或65°，57.5°，
57.5°或115°，32.5°，32.5°.
类型4 由腰的垂直平分线引起的分类讨论
12．在△ABC中，AB＝AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，求底角∠B的度数．
解：此题分以下两种情况：
(1)如图①，AB边的垂直平分线与AC边交于点D，∠ADE＝40°，则∠A＝50°.∵AB＝AC，
∴∠B＝(180°－50°)÷2＝65°；
(2)如图②，AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D，∠ADE＝40°，则∠DAE＝50°.
∵AB＝AC，∴∠B＝50°÷2＝25°.
故∠B的大小为65°或25°.
13．在 中, , 的垂直平分线交 于点 ,交直线 于点 , ,求 的度数.
解：分以下两种情况讨论：
①当 是锐角时，如图1， 垂直平分 ， ， . ，
.
， ，
.
②当 是钝角时，如图2，
垂直平分 ，
， .
，
，
.
，
，
.
综上， 的度数为 或 .
类型5 由腰上的中线引起的分类讨论
14．等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm，一腰上的中线BD将其分为周长差为3 cm的两部分，求腰长．
解：∵BD为AC边上的中线，∴AD＝CD.
(1)当(AB＋AD)－(BC＋CD)＝3 cm时，
则AB－BC＝3 cm.
∵BC＝5 cm，∴AB＝BC＋3＝8(cm)；
(2)当(BC＋CD)－(AB＋AD)＝3 cm时，
则BC－AB＝3 cm.
∵BC＝5 cm，∴AB＝BC－3＝2(cm)．
但是当AB＝2 cm时，三边长分别为2 cm,2 cm，5 cm，而2＋2<5，不合题意，舍去．
故腰长为8 cm.
类型6 点的位置不确定引起的分类讨论
15．【2023大连西岗区期末】如图，已知 是射线 上一动点（即点 可在射线 上运动） ，当 ____________时， 为等腰三角形．
【解析】 分情况讨论如下：①当 时，
；②当
时， ， ；③当
时， . 综上所述，当 或 或
时， 为等腰三角形．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2,0)，点B的坐标是(0,3)，以AB为边作等腰三角形，则在坐标轴上的另一个顶点有___个．
【答案】8
17．【2022·合肥168中学月考】已知O为等边三角形ABD的边BD的中点，AB＝4，E，F分别为射线AB，DA上的动点，且∠EOF＝120°.若AF＝1，求BE的长．
解：分两种情况讨论：
(1)当点F在边DA上时，如图①，作OM∥AB交AD于点M.
∵△ABD为等边三角形，
∴∠A＝∠ABD＝∠D＝60°，AD＝BD＝AB＝4.
∵OM∥AB，
∴∠DMO＝∠A＝60°，∠DOM＝∠ABD＝60°.
∴△DOM为等边三角形，∠OMF＝∠BOM＝120°.
∴MO＝OD＝MD.
∵OD＝OB＝2，∴OM＝OB＝DM＝2.∴AM＝2.
∵∠EOF＝120°，∴∠EOF－∠BOF＝∠BOM－∠BOF，
即∠BOE＝∠MOF.
又∵∠OBE＝180°－60°＝120°，
∴∠OBE＝∠OMF.
∴△OMF≌△OBE(ASA)．∴MF＝BE.
∵AF＝1，∴FM＝1.∴BE＝1.
(2)当点F在线段DA的延长线上时，如图②，作OM∥AB交AD于点M，同(1)可得△OMF≌△OBE，DM＝AM＝2，
∴BE＝FM.
∵AF＝1，∴FM＝3.∴BE＝3.
综上所述，BE的长为1或3.
18．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
(2)点M、N运动几秒后，可得到等边△AMN
(3)当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
解：设点M、N运动时间为ts，(1)由题意得，2t－t＝12，解得t＝12，答：点M、N运动12s后，M、N两点重合；
(2)当点M在AC边上，点N在AB边上时，由题意得t＝12－2t，解得t＝4；当点M在BC边上时，t＞12，此时点N也在BC上，故不可能得到等边三角形．∴点M、N运动4s后，可得到等边△AMN；
(3)由(2)可知：当t＞12时，点M、N都在BC上，由题意得AM＝AN，易得CM＝BN，即t－12＝36－2t，解得t＝16，∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰△AMN，此时M、N运动的时间为16s.
【知识网络】
【同步练习】
分类讨论思想是解题的一种常用方法，在等腰三角形中，往往会遇到条件或结论不唯一的情况，此时就需要分类讨论，通过正确的分类讨论，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答．其解题策略为：先分类，再画图，后计算．
类型1 当顶角或底角不确定时，分类讨论
对于等腰三角形，只要知道它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果条件中没有确定这个角是顶角还是底角，就要分两种情况讨论．
1．等腰三角形的一个角的外角为110°，则这个等腰三角形的顶角度数为( )
A．110° B．110°或70° C．70°或40° D．40°
2．若等腰三角形的一个外角等于130°，则这个三角形的顶角为 ．
3．如果等腰三角形中一个角是另一个角的度数的一半，则该等腰三角形各内角的度数是 ．
4．若等腰三角形中有一个角等于40°，求这个等腰三角形的顶角度数．
5．已知△ABC是等腰三角形，且∠A＋∠B＝130°，求∠A的度数．
类型2 当底和腰不确定时，分类讨论
6．若等腰三角形的两边长分别是3 cm和5 cm，则这个等腰三角形的周长是( )
A．8 cm B．13 cm C．8 cm或13 cm D．11 cm或13 cm
7．若实数m、n满足等式|m－2|＋＝0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是( )
A．12 B．10 C．8 D．6
8．已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 条( )
A．3 B．4 C．5 D．6
类型3 当高的位置关系不确定时，分类讨论
由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须进行分类讨论，另外，还要结合图形，分高在三角形的内部和在三角形的外部．
9．等腰三角形有一个角为52°，则它的一条腰上的高与底边的夹角是 ．
10．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，求这个等腰三角形底角的度数.
11．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数．
类型4 由腰的垂直平分线引起的分类讨论
12．在△ABC中，AB＝AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，求底角∠B的度数．
13．在 中, , 的垂直平分线交 于点 ,交直线 于点 , ,求 的度数.
类型5 由腰上的中线引起的分类讨论
14．等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm，一腰上的中线BD将其分为周长差为3 cm的两部分，求腰长．
类型6 点的位置不确定引起的分类讨论
15．【2023大连西岗区期末】如图，已知 是射线 上一动点（即点 可在射线 上运动） ，当 ____________时， 为等腰三角形．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2,0)，点B的坐标是(0,3)，以AB为边作等腰三角形，则在坐标轴上的另一个顶点有___个．
17．【2022·合肥168中学月考】已知O为等边三角形ABD的边BD的中点，AB＝4，E，F分别为射线AB，DA上的动点，且∠EOF＝120°.若AF＝1，求BE的长．
18．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
(2)点M、N运动几秒后，可得到等边△AMN
(3)当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
参考答案
【同步练习】
分类讨论思想是解题的一种常用方法，在等腰三角形中，往往会遇到条件或结论不唯一的情况，此时就需要分类讨论，通过正确的分类讨论，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答．其解题策略为：先分类，再画图，后计算．
类型1 当顶角或底角不确定时，分类讨论
对于等腰三角形，只要知道它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果条件中没有确定这个角是顶角还是底角，就要分两种情况讨论．
1．等腰三角形的一个角的外角为110°，则这个等腰三角形的顶角度数为( C )
A．110° B．110°或70° C．70°或40° D．40°
2．若等腰三角形的一个外角等于130°，则这个三角形的顶角为 ．
【答案】50°或80°
3．如果等腰三角形中一个角是另一个角的度数的一半，则该等腰三角形各内角的度数是 ．
【答案】36°、72°、72°或90°、45°、45°
4．若等腰三角形中有一个角等于40°，求这个等腰三角形的顶角度数．
解：分两种情况讨论：
(1)顶角为40°；
(2)若底角为40°，则顶角为180°－40°×2＝100°.
综上可知，这个等腰三角形的顶角度数为40°或100°.
5．已知△ABC是等腰三角形，且∠A＋∠B＝130°，求∠A的度数．
解：①当∠A为顶角时．∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＋∠B＝130°，∴∠C＝50°，∴∠A＝80°；
②当∠C为顶角时，则∠A＝∠B，∴∠A＋∠B＝130°，∴∠A＝65°；
③当∠B为顶角时，则∠A＝∠C，∵∠A＋∠B＝130°，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝∠C＝50°.
类型2 当底和腰不确定时，分类讨论
6．若等腰三角形的两边长分别是3 cm和5 cm，则这个等腰三角形的周长是( D )
A．8 cm B．13 cm C．8 cm或13 cm D．11 cm或13 cm
7．若实数m、n满足等式|m－2|＋＝0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是( B )
A．12 B．10 C．8 D．6
8．已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 条( B )
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】由题意得△ABC为等腰三角形，设两腰的垂直平分线与底的交点分别是D1、D2，底边的两个三等分点分别为D3、D4，则当直线分别过顶点与D1、D2、D3、D4的连线时，直线将三角形分成两个三角形，且其中一个为等腰三角形．
类型3 当高的位置关系不确定时，分类讨论
由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须进行分类讨论，另外，还要结合图形，分高在三角形的内部和在三角形的外部．
9．等腰三角形有一个角为52°，则它的一条腰上的高与底边的夹角是 ．
【答案】38°或26°
10．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，求这个等腰三角形底角的度数.
解：设△ABC为等腰三角形，AB＝AC，分两种情况讨论：
①若∠A＜90°，如图①所示．
∵BD⊥AC，∴∠A＋∠ABD＝90°.
∵∠ABD＝36°，∴∠A＝90°－36°＝54°.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝×(180°－54°)＝63°；
②若∠A＞90°，如图②所示．
同①可得∠DAB＝90°－36°＝54°，∴∠BAC＝180°－54°＝126°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝×(180°－126°)＝27°.
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为63°或27°.
11．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数．
解：设在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D.
(1)若高与底边的夹角为25°，高一定在△ABC的内部，
如图①所示．∵∠DBC＝25°，
∴∠C＝90°－∠DBC＝90°－25°＝65°.
∴∠ABC＝∠C＝65°.
∴∠A＝180°－2×65°＝50°.
(2)若高与另一腰的夹角为25°，如图②，当高在△ABC的内部时，
∵∠ABD＝25°，∴∠A＝90°－∠ABD＝65°.
∴∠C＝∠ABC＝(180°－∠A)÷2＝57.5°.
如图③，当高在△ABC的外部时，∵∠ABD＝25°，
∴∠BAD＝90°－∠ABD＝90°－25°＝65°.
∴∠BAC＝180°－65°＝115°.
∴∠ABC＝∠C＝(180°－115°)÷2＝32.5°.
故三角形各个内角的度数为65°，65°，50°或65°，57.5°，
57.5°或115°，32.5°，32.5°.
类型4 由腰的垂直平分线引起的分类讨论
12．在△ABC中，AB＝AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，求底角∠B的度数．
解：此题分以下两种情况：
(1)如图①，AB边的垂直平分线与AC边交于点D，∠ADE＝40°，则∠A＝50°.∵AB＝AC，
∴∠B＝(180°－50°)÷2＝65°；
(2)如图②，AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D，∠ADE＝40°，则∠DAE＝50°.
∵AB＝AC，∴∠B＝50°÷2＝25°.
故∠B的大小为65°或25°.
13．在 中, , 的垂直平分线交 于点 ,交直线 于点 , ,求 的度数.
解：分以下两种情况讨论：
①当 是锐角时，如图1， 垂直平分 ， ， . ，
.
， ，
.
②当 是钝角时，如图2，
垂直平分 ，
， .
，
，
.
，
，
.
综上， 的度数为 或 .
类型5 由腰上的中线引起的分类讨论
14．等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm，一腰上的中线BD将其分为周长差为3 cm的两部分，求腰长．
解：∵BD为AC边上的中线，∴AD＝CD.
(1)当(AB＋AD)－(BC＋CD)＝3 cm时，
则AB－BC＝3 cm.
∵BC＝5 cm，∴AB＝BC＋3＝8(cm)；
(2)当(BC＋CD)－(AB＋AD)＝3 cm时，
则BC－AB＝3 cm.
∵BC＝5 cm，∴AB＝BC－3＝2(cm)．
但是当AB＝2 cm时，三边长分别为2 cm,2 cm，5 cm，而2＋2<5，不合题意，舍去．
故腰长为8 cm.
类型6 点的位置不确定引起的分类讨论
15．【2023大连西岗区期末】如图，已知 是射线 上一动点（即点 可在射线 上运动） ，当 ____________时， 为等腰三角形．
【解析】 分情况讨论如下：①当 时，
；②当
时， ， ；③当
时， . 综上所述，当 或 或
时， 为等腰三角形．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2,0)，点B的坐标是(0,3)，以AB为边作等腰三角形，则在坐标轴上的另一个顶点有___个．
【答案】8
17．【2022·合肥168中学月考】已知O为等边三角形ABD的边BD的中点，AB＝4，E，F分别为射线AB，DA上的动点，且∠EOF＝120°.若AF＝1，求BE的长．
解：分两种情况讨论：
(1)当点F在边DA上时，如图①，作OM∥AB交AD于点M.
∵△ABD为等边三角形，
∴∠A＝∠ABD＝∠D＝60°，AD＝BD＝AB＝4.
∵OM∥AB，
∴∠DMO＝∠A＝60°，∠DOM＝∠ABD＝60°.
∴△DOM为等边三角形，∠OMF＝∠BOM＝120°.
∴MO＝OD＝MD.
∵OD＝OB＝2，∴OM＝OB＝DM＝2.∴AM＝2.
∵∠EOF＝120°，∴∠EOF－∠BOF＝∠BOM－∠BOF，
即∠BOE＝∠MOF.
又∵∠OBE＝180°－60°＝120°，
∴∠OBE＝∠OMF.
∴△OMF≌△OBE(ASA)．∴MF＝BE.
∵AF＝1，∴FM＝1.∴BE＝1.
(2)当点F在线段DA的延长线上时，如图②，作OM∥AB交AD于点M，同(1)可得△OMF≌△OBE，DM＝AM＝2，
∴BE＝FM.
∵AF＝1，∴FM＝3.∴BE＝3.
综上所述，BE的长为1或3.
18．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
(2)点M、N运动几秒后，可得到等边△AMN
(3)当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
解：设点M、N运动时间为ts，(1)由题意得，2t－t＝12，解得t＝12，答：点M、N运动12s后，M、N两点重合；
(2)当点M在AC边上，点N在AB边上时，由题意得t＝12－2t，解得t＝4；当点M在BC边上时，t＞12，此时点N也在BC上，故不可能得到等边三角形．∴点M、N运动4s后，可得到等边△AMN；
(3)由(2)可知：当t＞12时，点M、N都在BC上，由题意得AM＝AN，易得CM＝BN，即t－12＝36－2t，解得t＝16，∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰△AMN，此时M、N运动的时间为16s.