河北省石家庄市名校联考2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷（含答案）

石家庄市名校联考2023-2024学年高三上学期期中考试
数 学
考生须知：
1．本卷共5页满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合，，则=( )
A． B． C． D．
2．设复数,则=( )
A． B． C．2 D．
3．已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的侧面积为( )
A． B． C． D．
4．已知是单位向量，若，则在上的投影向量为( )
A． B． C． D．
5．定义在R上的函数满足，则下列是周期函数的是( )
A． B．
C． D．
6．已知圆，是圆上的两点，O为坐标原点，且,
则的值为( )
A． B． C．10 D．5
7．小明先后投掷两枚骰子，已知有一次投掷时朝上的点数为偶数，则两次投掷时至少有一
次朝上的点数为4的概率为( )
A． B． C． D．
8．人教A版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数的图象
与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线，现将函数的图象绕原点顺时针
旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C，则该双曲线C的离心率是( )
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列结论中正确的是( )
A．“”的否定为“，”
B．设是两个不同的平面，m是直线且，则“”是“”的充要条
件
C．若随机变量X服从正态分布，则
D．对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为,若样本的中心为
,则实数m的值是2
10．将函数图象上点的横坐标缩短为原来的,然后将所
得图象向右平移个单位，得到函数的图象．则下列结
论中正确的是( )
A．
B．
C．的单调递增区间为
D．为图象的一条对称轴
11．已知函数，则下列结论中正确的是( )
A．当时，曲线在处的切线方程为
B．在上的最大值与最小值之和为0
C．若在R上为增函数，则a的取值范围为
D．在R上至多有3个零点
12．如图，有一只青蛙在正方形池塘的顶点ABCD之间跳跃，假设青蛙它跳向相邻顶点的
概率为,跳向不相邻顶点的概率为,若青蛙一开始位于顶点A处，记青蛙跳跃n次后
仍位于顶点A上的概率为，则下列结论中正确的是( )
A．青蛙跳跃2次后位于B点的概率共
B．数列是等比数列
C．青蛙跳动奇数次后只能位于点A的概率始终小于
D．存在整数,使得青蛙跳动n次后位于C点和D点的概率相等
非选择题部分
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知抛物线上一点到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍，则p=____
14．设等差数列的前n项和为，公差，，则当取最小值时，n=
15．米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行的必备的用具。为使坚固耐用，米斗多用上好的木料制成。米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品。如图的米斗可以看作一个正四棱台，已知该米斗的侧棱长为10，两个底边长分别为8和6，则该米斗的外接球的表面积是 .
16．若，，且，不等式恒成立，则m的取值范围为 .
四、解答题。本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知等差数列公差为2，且恰为等比数列的前三项．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求的前n项和.
18．（12分）
在中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足
(1)求角C的大小；
(2)若,的平分线与的平分线交于点I，求周长的最大值．
19．（12分）
为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图。
(1)求a的值；
(2)为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，
，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从该市区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生．这20名学生中，周平均阅读时间在内的学生最可能有多少名？
20．（12分）
如图，己知多面体ABCDEF的底面ABCD为矩形，四边形BDEF为平行四边形，平面平面ABCD， ,,G是CF的中点．
(1)证明：平面AEF；
(2)求直线AE与平面BDER所成角的余弦值．
21．（12分）
已知在平面直角坐标系中，点,,的周长为定值.
(1)设动点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；
(2)过点A作直线l交C于M、N两点，连接分别与y轴交于D、E两点，若
,求直线l的方程．
22．（12分）
设函数,其中.
(1)若,求的最大值；
(2)若存在两个零点
(i)求a的取值范围；
(ii)设为的极值点，试探究是否存在实数，使得成等差数列，若存在，
求出a的值，若不存在，请说明理由.
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B D A D B D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
题号 9 10 11 12
答案 AD ABD BCD ABC
非选择题部分
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．4 14．7 15．200π 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【解析】 (1)由题意：，解得： …………….…2分
所以,所以 …………….…4分
(2)
…………….…8分
…………….…10分
18．【解析】(1)
于是 …………….…1分
在中，由正弦定理得，
因为,则，即
因为，因此即又 ………3分
所以 ………………4分
(2)由(1)知，，有
而与的平分线交于点I，即有
于是………5分
设,则且
在中，由正弦定理得， ……．7分
所以,
所以的周长为
…………．．9分
由，得
则当，即时，的周长取得最大值
所以周长的最大值为 ………… 12分
19．【解析】
(1)，…2分
(2)由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在，，三组的频率之比为
，10人中，周平均阅读时间在的人数为人；在的人数为人；在的人数为人；
则X所有可能的取值为0，1，2，3， ……………3分
；
； …………5分
的分布列为：
X 0 1 2 3
P
数学期望 ……………7分
(3)用频率估计概率，从该地区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生，周平均阅读时间在内的概率，则
……………9分
令，解得 …………………11分
所以当或，最大．
所以，周平均阅读时间在内的学生最可能有6名或7名， …………… 12分
20．【解析】
方法一：(1)证明：取DE中点L，DC中点K，AD中点M，DB中点J
是平行四边形 ……………2分
，
是平行四边形， ……………4分
平面
(2)由(1)知，直线AE与平面BDEF所成角等于直线GB与平面BDEF所成角
………………7分
作,,连结IF，
，G都是所在棱的中点，平面DBEF，
点到平面DBEF的距离等于H点到平面DBEF的距离d，
, ………9分
由等面积法可知：即,解得 ……… 11分
………12分
方法二：取BC中点H，取AD中点M，因为平面平面ABCD，结合为等边三角形，知平面ABCD，以H为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐
标系 …………2分
(1),,,,,则
可知 …………3分
，，，则平面AEF的一个法向量 …………6分
故，即BG//平面AEF ………7分
(2)，，，平面BDEF的一个法向量
………9分
则 ………12分（公式1分，结论2分）
21．【解释】(1)周长为
可得为定值， ………1分
所以点P的轨迹是一个椭圆（去掉左右顶点），
于是， ………3分
又因为是所以点P不能位于x轴上，
所以点P的轨迹方程为 ………5分
(2)由题意，直线l的斜率不为0，设直线，
将直线l与椭圆联立得到 ………6分
由韦达定理，得
直线,令可得，同理 ………．8分
由可得
化简得到
即亦即 ……… 10分
代入韦达定理整理得，，解得
所以直线l的方程为 ……… 12分
22．【解释】
(1) ……… 1分
注意到在定义域上单调递减，且可知在单调递增，在
单调递减 ……… 2分
则的最大值为 ………3分
(2)(i)因存在两个零点故不是单调函数，于是有解，即
，此时 ………4分
注意到恒成立 ………5分
设则在单调递增，在单调递减，
由(1)可知而当时，在仅有1个零点
当时，此时，
取，有，结合，可知
故在上存在一个零点； ………6分
当时，，此时，
取，有，结合，可知，故在上存在一个零点 ………7分
综上可知，当时，存在两个零点，
(ii)不妨取，当时，由(i)可知若成等差数列，则有因在单调，故 ………8分
而
令 ………9分
当时，
令
则
……… 11分
故在单调递减，而故，使得
即不存在，使得故不存在这样的a。 ……… 12分