湖南省湘潭市雨湖区2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（含解析）

湘潭市雨湖区2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学试卷
考试范围：选择性必修一；考试时间：120分钟；
一、单选题
1．已知向量，，且，则（ ）
A． B． C．4 D．2
2．若，，则（ ）
A．22 B． C． D．29
3．已知直线：，：，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
4．设，则“”是“直线与直线相交”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充他条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知圆：，直线过点．线段的端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知是椭圆的左焦点，是椭圆上一动点，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线：（，）的渐近线方程为，且过点，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知是抛物线：（）上一点，过的焦点的直线与交于，两点，则的最小值为（ ）
A．24 B．28 C．30 D．32
二、多选题
9．已知向量，，则（ ）
A． B．与同向的单位向量为
C． D．
10．下列说法中正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．若，，则直线的倾斜角为10°
C．若直线过点，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点
D．直线的截距为
11．已知圆：与圆：外切，则的值可以为（ ）
A． B． C．2 D．5
12．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与该椭圆相交于，两点，且，点在该椭圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．若，则
C．满足为等腰三角形的点只有2个
D．的取值范围为
三、填空题
13．已知空间向量，，两两夹角均为60°，其模均为1，则______．
14．直线经过点且一个方向向量为，则直线的一般式方程为______．
15．已知，，为平面内一动点，且满足，则点轨迹方程为______．
16．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过圆：（）上任意一点作双曲线：的两条切线，这两条切线互相垂直，我们通常把这个圆称作双曲线的蒙日圆．过双曲线：的蒙日圆上一点作的两条切线，与该蒙日圆分别交于，两点，若，则的周长为______．
四、解答题（17题分，18-22题12分）
17．如图，在平行四边形中，，．
（1）求所在直线的方程；
（2）过点作于点，求所在直线的方程．
18．已知圆：，直线：
（1）当直线与圆相交，求的取值范围；
（2）当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程
19．如图，在直棱柱中，，，，是的中点，点在上．
（1）求证：；
（2）求与所成角的余弦值；
（3）若，求点，之间的距离．
20．已知为坐标原点，位于抛物线：（）上，且到抛物线的准线的距离为2．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点，过抛物线焦点的直线交于，两点，求的最小值以及此时直线的方程．
21．已知椭圆：（）的右焦点，椭圆上一点到其两个焦点，的距离之和为4．
（1）求椭圆的离心率的值．
（2）若直线经过点，且与椭圆相交于，两点，已知点为弦的中点，求直线的方程．
（3）已知平面内有点，求过这个点且和椭圆相切的直线方程．
22．设双曲线：（）与直线：相交于不同的两点，．
（1）求双曲线的离心率的取值范围；
（2）设直线与轴的交点为，且，求实数的值．
参考答案
一、单选题
1．C
【分析】由向量的共线定理即可求解．
【详解】因为向量，，且，
所以，即．
可得，解得，所以．
故选：C．
2．C
【分析】利用向量数量积的坐标公式即可求值．
【详解】由，，
得，．
所以．
故选：C．
3．C
【分析】根据两直线垂直的公式计算即可．
【详解】因为直线：，：，，
所以，解得．
故选：C．
4．A
【解析】求出两直线相交的充要条件是，再判断即可．
【详解】解：直线与直线相交的充分条件是，即，
由于是的充分不必要条件，
故选：A．
【点睛】利用判断充分必要性，考查了直线相交的判断，基础题．
5．B
【分析】建立点和点之间的关系式，再利用点的坐标满足的关系式得到点的坐标满足的条件，即可求出．
【详解】设，，
由点是的中点，得，可得，
又点在圆上运动，所以，
将上式代入可得，，
化简整理得点的轨迹方程为：．
故选：B
6．C
【分析】设椭圆的右焦点为，根据椭圆的定义可得，求出的最小值，即可得解．
【详解】椭圆，则，，，
如图，设椭圆的右焦点为．
则；
∴，
由图形知，当在直线（与椭圆的交点）上时，，
当不在直线（与椭圆的交点）上时，根据三角形的两边之差小于第三边有，
；
∴当在的延长线（与椭圆的交点）上时，取得最小值，
∴的最小值为．
故选：C．
7．B
【分析】利用待定系数法即可得解．
【详解】因为双曲线的渐近线方程为，
所以可设的方程为（）．
把点的坐标代入得．
所以的方程为，即．
故选：B．
8．D
【分析】求出抛物线方程后，设，，不妨设，设直线的方程为，联立直线和抛物线方程消元后，利用韦达定理及抛物线的定义可得，利用基本不等式即可求出最小值．
【详解】因为是抛物线上一点．
所以，故，则抛物线方程为，
设，，不妨设．
设直线的方程为，
联立，
所以．
，
则，
当且仅当且时，等号成立，
故的最小值为32，故选：D．
二、多选题
9．ABD．
解：由题设，与同向的单位向量为，A、B正确；
由数量积的坐标运算得，C错误；
由，则，D正确．
故选：ABD
10．BC
解：A：倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，错；
B：由于，的横坐标相等，即直线与轴垂直，故倾斜角为90°，对；
C：由题设，直线方程为，显然在直线上，对；
D：直线在轴上的截距为，但轴上的截距不一定为，错．
故选：BC
11．AC
解：圆：的圆心．半径，
圆：的圆心，半径，
因为圆：与圆：外切，
所以，即，解得或2．
故选：AC．
12．ABD
解：由椭圆：的左右焦点分别为、，则，
将代入，则，解得，则，．
由，则，即，将其代入，可得，
化简可得，由，解的，所以：．
对于A，当点为椭圆的上顶点时，最大，如下图：
由椭圆：，则，，在中，，
易知此时，所以的取值范围为，故A正确；
对于B，根据题意可作图如下：
设，，则，，
在中，根据余弦定理，则，
所以，整理可得，
则，故B正确；
对于C，设，，则，，
当时，为等腰三角形，易知此时的坐标为或．
当时，为等腰三角形，此时，设，
则，消去化简可得，
由，则方程有解，故C错误；
对于D，设，，则，
则，
在中，根据余弦定理可得：，
则，
化简可得，由选项A可知，
则，．所以，
解得，故D正确．
三、填空题
13．解：单位向量，，两两夹角均为60°，则，
所以
．
故答案为：
14．解：由直线方程一个法向量为，所以直线的斜率为，
点斜式得的方程．即．
故答案为：．
15．解：设，由，则，
即．
即，
所以点的轨迹方程为．
故答案为：
16．
解：由题可知，的蒙日圆方程为，半径为，且，
所以为直径，所以．
又，所以，．
所以的周长为．
故答案为：．
四、解答题
17．解析：（1）平行四边形中，点，，，
∴，∴所在直线的方程为，
即．
（2）∵，∴，
由（1）知，∴，
∴所在直线的方程为，
即．
18．答案：（1）圆：化成标准方程为，
则此圆的圆心为，半径为2，
当直线与圆°相交，则有，解得
（2）过圆心°作于，则根据题意和圆的性质，，
∴，解得或，
故所求直线方程为或．
19．解：（1）如图，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，依题意可得，，，，，，，，所以，从而．
（2），，
，，
．
因此，与所成角的余弦值为．
（3）设，则，，
由，得，
所以当时，点的坐标为，又，
所以．
20．（1）根据题意可得，
又，解方程组得，，
故所求抛物线方程．
（2）设点，，抛物线的焦点坐标为．
当直线的斜率等于0时，不存在两个交点，不符合题意；
当直线的斜率不等于0时，不妨设过抛物线焦点的直线的方程为：；
联立抛物线方程可得，消去得：，
，得，
由韦达定理得，，
易知，．
故
．
所以当时，取得最小值为13．
此时直线的方程为．
21．解：（1）由题意可得椭圆得焦半径，，故，
所以椭圆的离心率；
（2）由（1）得，所以椭圆得方程为，
设，，
因为点为弦的中点，所以，
由，两式相减得，
即，
所以，即，
所以直线的方程为，即；
（3）当所求直线斜率不存在时，直线方程为，
此时直线与椭圆相切，符合题意，
当所求直线斜率存在时，设直线方程为，
联立，消得，
则，解得，
所以所求直线的方程为，
综上所述，过点且和椭圆相切的直线方程为和．
22．答案：（1）由与相交于不同的两点，
知方程组有两组不同的实数解，
消去并整理，得，
所以，解得且．
双曲线的离心率，
因为且，所以且，
即离心率的取值范围为．
（2）设，，由题意知．
因为，所以，所以．
因为，都是（1）中方程的根，且，
所以，，
消去，得，因为，所以．