泰州市姜堰区励才实验学校
2023-2024学年度第一学期期中考试
九年级数学试卷
（总分：150分 考试时间：120分钟）
一、选择题（本大题共6小题，共18．0分）
1. 下列是关于的一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题利用了一元二次方程概念．解题的关键是掌握只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．
【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故不合题意；
B、是一元二次方程，故符合题意；
C、整理得：，不是一元二次方程，故不合题意；
D、是分式方程，不是一元二次方程，故不合题意；
故选：B．
2. ⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为( )
A. 点A在⊙O上 B. 点A在⊙O内 C. 点A在⊙O外 D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【详解】解：将点到圆心的距离记为d，圆的半径记为r,
∵d=OA=3,
∴d∴点A在圆内，
故选：B．
3. 若关于的方程有一个根为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把一个根为代入方程，即可求解．
【详解】解：∵关于的方程有一个根为，
∴，解得，，
故选：．
【点睛】本题主要考查运用一元二次方程的根求参数，掌握一元二次方程根据的代入计算求参数的方法是解题的关键．
4. 如图，点为平行四边形边延长线上的一点，连接与相交于点．则图中相似三角形共有（ ）
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得，，从而即可得到，，，由此得到答案．
【详解】解：四边形为平行四边形，
，，
，，
，
共3对，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
5. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据圆周角定理可知，∠ABC＝，在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值．
【详解】∵和∠ABC所对的弧长都是，
∴根据圆周角定理知，∠ABC＝，
∴在Rt△ACB中，AB=
根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝，
∴=，
故选A．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义和圆周角的知识点，解答本题的关键是利用圆周角定理把求的正弦值转化成求∠ABC的正弦值，本题是一道比较不错的习题．
6. 如图，与均为等边三角形，O为，的中点，点D在边上，则的值（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】连接、，由已知可以推出，，推出，即可推出的值．
【详解】连接、，
∵△与均为等边三角形，O为，的中点，
∴，，，，
∴，
∵即，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质、等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，共30．0分）
7. 在比例尺1：500000的地图上，量得A、B两地的距离为4cm，则A、B两地的实际距离是___千米．
【答案】20
【解析】
【分析】根据比例尺的定义，可求得两地的实际距离．
【详解】解：设实际距离为xcm，则：
1：500000＝4：x，
解得x＝2000000．
2000000cm＝20000m＝20km．
故答案为：20．
【点睛】此题考查了比例尺的性质，比例尺是图上距离比实地距离缩小的程度．解题关键是掌握比例尺的定义，注意单位要统一．
8. 如图，在中，弦半径，则的度数为____________．
【答案】100°##100度
【解析】
【分析】先根据平行线的性质求出∠OCA的度数，再根据等边对等角求出∠OAC的度数，即可利用三角形内角和定理求出∠AOC的度数．
【详解】解：∵，
∴∠OCA=∠BOC=40°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=40°，
∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=100°，
故答案为：100°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，圆的基本性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键．
9. △ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA＝，cosB＝，则∠C＝_____．
【答案】60°．
【解析】
【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C即可作出判断．
【详解】∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角，sinA＝，cosB＝，
∴∠A＝∠B＝60°．
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣60°＝60°．
故答案为：60°．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，比较简单．
10. 如图，AB为⊙O的直径，弦于点E，已知，则⊙O的半径为__________．
【答案】5
【解析】
【详解】解：设圆的半径为r，连接OC，
根据垂径定理可知CE=3，OE=r-1，
，
解得r=5．
故答案为5．
11. 如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝__．
【答案】
【解析】
【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：∵M，N分别是DE，BC的中点，
∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，
∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝()2＝，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键．
12. 如图，从一块正方形的木板上锯掉宽的长方形木条，剩下的面积是48，则原来这块木板的边长是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设原来这块木板的边长是，根据剩下的面积是48，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：设原来这块木板的边长是，则剩下长方形的长是，宽是，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
原来这块木板的边长是．
故答案为：．
13. 若α、β是方程的两个实数根，则_____．
【答案】4
【解析】
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到，则，进而得出，然后根据一元二次方程根与系数的关系得，再利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：∵α方程的实数根，
∴，
∴，
∴，
∵α、β是方程的两个实数根，
∴，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根的定义，得出是解题的关键．
14. 已知点G为的重心，若的面积为6，则的面积为______．
【答案】2
【解析】
【分析】此题考查了三角形的重心的性质，解题的关键是画出图形，利用三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，再结合三角形的面积公式求解．
【详解】解：为的重心，
，
，，
的面积的面积，
故答案为：2．
15. 如图，菱形的边长为5，对角线为8，以顶点为圆心，2为半径画圆，点在对角线上运动，当射线与圆相切时，的长是_______．
【答案】或
【解析】
【分析】根据题意分两种情况讨论，CP与圆D切于点E或点F，当CP 与圆D切于点E时，在中求出，再由，求出，根据AP=AH-PH可求，同理求当CP 与圆D切于点F时，AP的长度即可；
【详解】解：如图，CP与圆D切于点E或点F，连接BD交AC于点H，
在中，由勾股定理可得
，
∴BD=6，
当CP 与圆D切于点E时，
在中，由勾股定理可得
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴AP=AH-PH=，
同理当CP 与圆D切于点F时，
得，
故答案为：或
16. 如图，，，为内部的任一条射线不等于，点关于的对称点为，直线与交于点，连接、，则面积的最大值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，根据圆的定义可知、、在以点为圆心，为半径的圆上，再判断是等边三角形，则当是圆的直径时，面积的最大，此时，由此可求解．
【详解】解：连接，
由轴对称性可知，，
，
、、在以点为圆心，为半径的圆上，
，
，
，
，
是等边三角形，
要使面积的最大，只需最大即可，
当是圆的直径时，面积的最大，
，
如图，过C作，垂足为E，
则，
∴，
面积的最大值为，
故答案：．
【点睛】本题考查轴对称的性质、勾股定理，三角形的面积，圆的性质，等边三角形的判定和性质，．
三、解答题（本大题共10小题，共102．0分）
17. 计算：2cos60°+4sin60° tan30°﹣cos45°
【答案】3﹣．
【解析】
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．
【详解】2cos60°+4sin60° tan30°﹣cos45°
＝2×+4××﹣
＝1+2﹣
＝3﹣．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
18. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）运用公式法求解；
（2）运用因式分解法求解．
【小问1详解】
解：，
∴
∴或．
【小问2详解】
解：
∴或
∴或．
【点睛】本题考查一元二次方程的求解，掌握求解方法是解题的关键．
19. 已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的一个根是，求k的值以及方程的另一个根．
【答案】（1）
（2），另一个根为5
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：
（1）根据根与系数的关系得出的取值范围；
（2）把代入方程得出的值，再解方程即可．
【小问1详解】
解：关于的一元二次方程有实数根，
，
，
，
的取值范围；
【小问2详解】
把代入得，
解得：，
方程两根为，，
综上所述，，另一个根为5．
20. 如图，是的中线，
求：
（1）的长；
（2）的正弦值．
【答案】（1）6 （2）
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是：
（1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题；
（2）在中，求出，即可解决问题．
【小问1详解】
解：如图，作于．
在中，，，
，，
在中，，
，
．
【小问2详解】
，
，，，
在中，．
的正弦值为．
21. 如图，在路灯下，甲的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯M在线段上．
（1）请你确定路灯M所在的位置，并画出表示乙在灯光下形成的影子线段．
（2）如果灯距离地面，乙的身高，乙与灯杆的距离，请求出乙影子的长度．
【答案】（1）见解析 （2）1米
【解析】
【分析】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质，解题的关键是：
（1）连接进而延长交于点，再连接并延长交于点，得出进而得出答案；
（2）证明，根据相似三角形的性质得出答案．
【小问1详解】
解：如图所示：路灯,即为所求；
【小问2详解】
，
，
，
灯距离地面，乙的身高，乙与灯杆的距离，
，
解得：
∴乙影子的长度为．
22. 某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所示，秋千拉绳的长为3m，静止时，踏板到地面距离的长为0．6m（踏板厚度忽略不计）．为安全起见，乐园管理处规定：“安全高度”为秋千荡起时，踏板与地面的最大距离．儿童的“安全高度”为h m，成人的“安全高度”为2m（计算结果精确到0.1m）
（1）当摆绳与成夹角时，恰为儿童的安全高度，则h应为多少米？请说明理由．
（2）某成人在玩秋千时，摆绳与的最大夹角为，问此人是否安全？请说明理由．（参考数据：，，，）
【答案】（1）h应为1.5米
（2）此人安全，理由见解析
【解析】
【分析】（1）过作，得到等腰直角三角形，求出，利用，即可得到h；
（2）过点作，解直角三角形，求出，利用求出到地面的距离，与成人的“安全高度”进行比较，即可得解．
【小问1详解】
解：过作，
∵，
∴，
∴；
∴h应为1.5米．
【小问2详解】
解：过点作，垂直于地面，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴此人安全．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是锐角三角函数，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形．
23. 年，仪征市某商场于今年年初以每件元的进价购进一批商品．当商品售价为元时，三月份销售件．四、五月该商品十分畅销．销售量持续上涨．在售价不变的基础上，五月份的销售量达到件．
（1）求四、五这两个月的月平均增长率；
（2）从六月份起，商场了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价元，月销量增加件，当商品降价多少元时，商场月获利元？
【答案】（1）
（2）当商品降价2或3元时，商场获利6240元
【解析】
【分析】设四、五这两个月的月平均增长率为x，利用五月的销量=三月的销售量×，即可得出关于x的一元二次方程，解出x即可求解．
设商品降价m元，则每件获利元，月销量为件，利用商场月销售利润=每件销售利润×月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解出m即可求解．
【小问1详解】
设四、五这两个月的月平均增长率为x，
依题意得：，
解得：，(不符合题意，舍去)，
答：四、五这两个月月平均增长率为．
【小问2详解】
设商品降价m元，则每件获利元，月销量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，
答：当商品降价2或3元时，商场获利6240元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，列出方程是解题关键．
24. 如图，锐角内接于，射线经过圆心并交于点，连结，，与的延长线交于点，平分．
（1）求证：．
（2）若，求的余弦值．
（3）若，的半径为，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）6
【解析】
【分析】（1）由圆内接四边形的性质得，再根据平分，从而说明，即可得出答案；
（2）由圆周角定理知，则，再利用，从而解决问题；
（3）利用，的半径为，可得的三边长，再根据，得，从而解决问题．
【小问1详解】
证明：四边形为的内接四边形，
，
，，
，
平分，
，
，
；
【小问2详解】
由题意可得，是的直径，
，
，
又，
垂直平分线段，
，
，，
又平分，
，
，
，
，
即的余弦值为；
【小问3详解】
由题意可得，是的直径，
，
，
又的半径为，
，
，，
由 （1）可知，，，
，
，
，
，
，
的长为6．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，涉及了圆内接四边形对角互补，相似和圆的知识相结合．
25. 如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿向终点匀速移动．过点作，垂足为点，以为边作正方形，点在边上，连接．设点移动的时间为．．
（1） ；（用含t的代数式表示）
（2）当点C，N，M在同一条直线上时，求出相应的t的值；
（3）当为等腰三角形时，求t的值．
【答案】（1）
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】（1）先求出，，进而求出，即可得出结论；
（2）先判断出，求出，，进而判断出，建立方程即可得出结论；
（3）分三种情况，利用等腰三角形的性质建立方程求解即可得出结论．
【小问1详解】
解：在中，根据勾股定理得，，
，，
，
，
由运动知，，
在中，，，
故答案为：；
【小问2详解】
由（1）知，，，
四边形是正方形，
，
如图，过点作于，
由（1）知，，
，
，
在中，，
点，，在同一条直线上，
点落在点，
，
由（1）知，，，
，
；
【小问3详解】
当时，，
，
当时，如图，过点作于，延长交于，
，
，
根据勾股定理得，，
，
；
当时，如图，过点作于，
，
，，
，，
，
又，
，
，
，
或（舍），
即：当是等腰三角形时，或或．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，锐角三角函数，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
26. 已知在以点O为圆心，半径为10的半圆中，，P为弧上一动点（点P不与点B，C重合），射线交射线于点E，过点E作的垂线，交射线于点D，连接．
（1）如图1，当四边形为矩形时，求的度数；
（2）如图2，连接，在点P运动的过程中，试判断的大小是否变化．若不变，请求出的度数；若变化，请说明理由；
（3）当时，求．
【答案】（1）
（2）的大小不变，的度数为
（3）
【解析】
【分析】（1）先根据矩形的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，然后根据角的和差即可得；
（2）的大小不变，的度数为，求解过程：先根据等腰三角形的性质可得，，再根据四边形的内角和可得，由此即可得；
（3）连接，设，则，先证出，根据相似三角形的性质可得的值，再证出，根据相似三角形的性质即可得．
【小问1详解】
解：∵四边形为矩形，
，
又，
，
是等边三角形，
，
，
．
【小问2详解】
解：的大小不变，的度数为，求解过程如下：
，
，，
，
，
解得，
．
【小问3详解】
解：如图，连接，
设，则，
，
，，
，
又，
，
在和中，
，
，
，即，
解得，
即，
又，
，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．泰州市姜堰区励才实验学校
2023-2024学年度第一学期期中考试
九年级数学试卷
（总分：150分 考试时间：120分钟）
一、选择题（本大题共6小题，共18．0分）
1. 下列是关于的一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2. ⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为( )
A. 点A在⊙O上 B. 点A在⊙O内 C. 点A在⊙O外 D. 无法确定
3. 若关于的方程有一个根为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，点为平行四边形边延长线上的一点，连接与相交于点．则图中相似三角形共有（ ）
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
5. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，与均为等边三角形，O为，的中点，点D在边上，则的值（ ）
A. B. C. D. 不能确定
二、填空题（本大题共10小题，共30．0分）
7. 在比例尺1：500000的地图上，量得A、B两地的距离为4cm，则A、B两地的实际距离是___千米．
8. 如图，在中，弦半径，则度数为____________．
9. △ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA＝，cosB＝，则∠C＝_____．
10. 如图，AB为⊙O的直径，弦于点E，已知，则⊙O的半径为__________．
11. 如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝__．
12. 如图，从一块正方形的木板上锯掉宽的长方形木条，剩下的面积是48，则原来这块木板的边长是________．
13. 若α、β是方程的两个实数根，则_____．
14. 已知点G为的重心，若的面积为6，则的面积为______．
15. 如图，菱形的边长为5，对角线为8，以顶点为圆心，2为半径画圆，点在对角线上运动，当射线与圆相切时，的长是_______．
16. 如图，，，为内部的任一条射线不等于，点关于的对称点为，直线与交于点，连接、，则面积的最大值是_________．
三、解答题（本大题共10小题，共102．0分）
17 计算：2cos60°+4sin60° tan30°﹣cos45°
18. 解方程：
（1）；
（2）．
19. 已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的一个根是，求k的值以及方程的另一个根．
20. 如图，是的中线，
求：
（1）的长；
（2）的正弦值．
21. 如图，在路灯下，甲的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯M在线段上．
（1）请你确定路灯M所在的位置，并画出表示乙在灯光下形成的影子线段．
（2）如果灯距离地面，乙身高，乙与灯杆的距离，请求出乙影子的长度．
22. 某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所示，秋千拉绳的长为3m，静止时，踏板到地面距离的长为0．6m（踏板厚度忽略不计）．为安全起见，乐园管理处规定：“安全高度”为秋千荡起时，踏板与地面的最大距离．儿童的“安全高度”为h m，成人的“安全高度”为2m（计算结果精确到0.1m）
（1）当摆绳与成夹角时，恰为儿童的安全高度，则h应为多少米？请说明理由．
（2）某成人在玩秋千时，摆绳与的最大夹角为，问此人是否安全？请说明理由．（参考数据：，，，）
23. 年，仪征市某商场于今年年初以每件元的进价购进一批商品．当商品售价为元时，三月份销售件．四、五月该商品十分畅销．销售量持续上涨．在售价不变的基础上，五月份的销售量达到件．
（1）求四、五这两个月的月平均增长率；
（2）从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价元，月销量增加件，当商品降价多少元时，商场月获利元？
24. 如图，锐角内接于，射线经过圆心并交于点，连结，，与的延长线交于点，平分．
（1）求证：．
（2）若，求的余弦值．
（3）若，半径为，求的长．
25. 如图，在中，，，．点从点出发，以速度沿向终点匀速移动．过点作，垂足为点，以为边作正方形，点在边上，连接．设点移动的时间为．．
（1） ；（用含t的代数式表示）
（2）当点C，N，M在同一条直线上时，求出相应的t的值；
（3）当为等腰三角形时，求t的值．
26. 已知在以点O为圆心，半径为10的半圆中，，P为弧上一动点（点P不与点B，C重合），射线交射线于点E，过点E作的垂线，交射线于点D，连接．
（1）如图1，当四边形为矩形时，求的度数；
（2）如图2，连接，在点P运动的过程中，试判断的大小是否变化．若不变，请求出的度数；若变化，请说明理由；
（3）当时，求．
