高 2022 级高二（上）期中数学试题参考答案 → →→ → BD1·AC 1 6
∴cos〈BD1，AC〉＝ ＝ = .
满分 150 分 时间 120 分钟 → → 6|BD1||AC| 2 3
一、 单项选择题：（1---8 共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）. → → 6
即BD1与AC夹角的余弦值为 6 ...........................................................................12 分
二、多项选择题（9---12 共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）． （若用几何法相应给分）
19（1）证明：（法一）：取BC的中点G，连接GN , GB1
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
∵直三棱柱 ABC A1B1C1 中，M，N 分别为 A1B1 ，AC 的中点．
答案 B A D A A B C D AB ACD AB ABC 1 1
∴GN / / AB, B1M / / AB ................................2 分
2 2
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. ∴GN / /B1M ∴四边形B1MNG为平行四边形
5 ∴MN // B1G . .............................................................4 分 13. 36 14. 0 或 1 15. 16. 3 2 6
2 又∵MN 平面B1C1CB, B1G 平面B1C1CB
四、解答题：共 70 分．解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤． 故MN // 平面BCC1B1 .............................................6 分
17 解：（1）设 D ( x， y ) ，则 AB ( 1， 4），DC (4 x, 2 y) （法二）：取 AB的中点K，连接MK ,NK ，
由直三棱柱 ABC A1B1C1 可得四边形 ABB1A1为平行四边形
∵四边形 ABCD是平行四边形
∴ B1M //BK ∴四边形BB MK //BB1A1A为平行四边形 ∴ 1
∴ AB DC ，即（ 1， 4） (4 x, 2 y)
又∵MK 平面BCC1B1，BB1 平面BCC1B1
4 x 1 x 5 故MK // 平面BCC1B1 ..................................................2 分 ∴ ∴ D (5，2 )2 y 4 y 2 所以 ............................................5 分 ∵点N ,K分别为AC, AB的中点 ∴NK //BC，
y 3 x 2
由直线两点式知 AB 的方程为 4 x y 5 0 又∵
NK 平面BCC B，BC 平面BCC B
，即 .......7 分 1 1 1 1
1 3 1 2 ∴NK //平面BCC1B1 ...............................................................4 分
4 4 2 5 13 17 而NK MK K , NK ,MK 平面MKN
所以点C 到直线 AB 的距离 d ...............10 分
4 2 ( 1) 2 17 ∴平面MKN // 平面BCC1B1，
而MN 平面MKN ，故MN // 平面BCC B ...........................6 分
18 解： (1)由题意知： | a | | b | | c | 1 a,b b ,c c ,a 60 ， 1 1
（向量法同样给分）
1
∴ a b b c c a ....................................2 分
2 (2) 解：∵在直三棱柱 ABC A1B1C1 中又有 AB BC
又∵BD BA AA .......................4 分 1 1 A1D1 a c b
∴BC,BA,BB 1
两两垂直，分别以直线BC,BA,BB1为 x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角
2
∴ BD1 （b c a）
2 b 2 c 2 a 2 2b c 2b a 2c a 1 1 1 1 2 坐标系，则B 0,0,0 , A 0,2,0 ,N 1,1,0 ,M 0,1,2 ..............................................8 分
→ →
∴|BD1|＝ 2，即BD1的长为 2 .............................................................................6 分 ∴BA 0,2,0 ,BN 1,1,0 ,BM 0,1,2 ，
→
(2) ∵AC＝ AB AD a b → ∴|AC|＝ 3 ..............................................8 分 设n x, y, z 是平面BNM 的法向量
→ → n BN x y 0
BD1·AC＝（b c a) (a b ) a b a c a 2 b 2 b c a b 1 ..............10 分 则 ，取 z 1，则n 2,2, 1 ........................................10 分
n BM y 2z 0
高二（上）期中数学参考答案 1 / 3
{#{QQABKQCAoggIAAIAARgCAwFACgEQkBEAAKoGxFAEMAAAgBFABCA=}#}
4 2 1 7
设直线 AB与平面BNM 所成的角为 ，则sin | cos n,BA | ...............11 分 cos 2A 2cos2 A 1 2 ( )2 1
2 3 3 3 9
5
所以直线 AB与平面BNM 所成的角的余弦为cos 1 sin 2 . ....................12 分 6 5 3cosC 1 sin2 C 1 ( )2 .................................................9 分
3 9 9
20 解：（1）由频率分布直方图，得:（0.002+0.003+2a+0.006+0.001）×50=1， 4 2 5 3 7 6 6
∴ sin(2A C) sin 2AcosC cos 2AsinC
解得 a=0.004 ................................. ............................................................2 9 9 9 9 3分
6
因为专项贷款金额在[150，200）的频率最大，所以估计这 100 家中小微企业的专项贷款金额 所以sin(2A C) . .............................................................................12 分
3
1 2 2 2 2 2 2
的众数为 150 200 175万元 .................................................................................4 a c b (2 3) 1 3 3分 (法二)：由余弦定理可得cosB 2 2ac 2 2 3 1 3
20 1
（2）由题意知分层抽样抽取比例为 ，抽样的 20 家中小微企业中专项贷款金额在[200，300] 6
100 5 ∴ sin B 1 cos
2 B .....................................................................9 分
3
1
内应抽取的企业有100 (0.004 0.001) 50 5家. ................................6 分 ∴ sin(2A C) sin（ A C) A sin B A sin (B A) sin(B A)
5
4
在抽取的 5 家中小微企业中，专项贷款金额在[200，250）内的有5 4家，记为 A,B,C,D
6 1 3 2 2 6
； sin B cos A cosB sin A ( ) ......................12 分
5 3 3 3 3 3
1
专项贷款金额在[250，300]内的有5 =1家，记为 E． ..................................8 分 22（1）证明：∵在等腰梯形 ABCD中有 ， ， ABC 60
5 ∴ AB 2， AC 2 AB2 BC 2 2AB BC cos 60 3
从这 5 家中小微企业中随机抽取 3 家的可能情况为 ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD， ∴ AB2 AC 2 BC 2 ，则BC AC .................................................................2 分
BCE，BDE，CDE，共 10 种，其中这 3 家中小微企业的专项贷款金额都在[200，250）内的情 ∵平面 ACFE 平面 ABCD，平面 ACFE 平面 ABCD AC，BC 平面 ABCD
况为 ABC，ABD，ACD，BCD，共 4 种， ∴BC 平面ACFE ................................. ....................................... 3 分
4 2 （2）解(法一)：易知： AF AC 2 CF 2 ， 2 2
所以所求概率P
2 BF BC CF 2
． .......................................................................................12 分
10 5 14 1 14 7
1 ∴ ABF为等腰三角形，边BF 上的高为 ∴ S ABF 2
21 解：（1）因为a 2 3 ，b 3c，cos A 2 2 2 2
3 1 1
b2 c2 a2 9c2 c2 12 1 设点C到平面 ABF 的距离为h，由VC ABF VF ABC 得： S ABF h S ABC CF
由余弦定理可得cos A 3 3
2bc 6c2 3 1 7 1 1
解得：c＝1 ...............................................................................................................3 分 ∴ h 1 3 1
3 2 3 2
1 2 2
（2）cos A ， A 0, ，所以sin A 1 cos2 A 21 213 3 解得：h , 所以点 C 到平面 ABF 的距离为 ..............................................7 分
7 7
a c 2 3 1
由正弦定理 可得: (法二)：由 可建立分别以直线 ， ， 为 轴， 轴， 轴的如图所示空间直角坐标系
sin A sinC 2 2 sinC 则C(0,0,0), A( 3,0,0),B(0,1,0),F (0,0,1)
3
∴CA ( 3,0,0), AF ( 3,0,1), BF (0, 1,1)
6
解得sinC ....................................................................................................6 分
9 设m (x1, y , z )为平面 ABF 的一个法向量 1 1
2 2 1 4 2
(3) (法一) 由（2）得：sin 2A 2sin AcosA 2 ( )
3 3 9
高二（上）期中数学参考答案 2 / 3
{#{QQABKQCAoggIAAIAARgCAwFACgEQkBEAAKoGxFAEMAAAgBFABCA=}#}
z
m AF 3x z 0 x
1
1 1 1
由 3 ,
m BF y 1 z1 0 y1 z1
取 z1 3, ∴m (1, 3, 3) .......................................................................5 分
|CA m | 3 21
所以点 C 到平面 ABF 的距离为 . ...........................................7 分
|m | 7 7
解：由 可建立分别以直线 ， ， 为 轴， 轴， 轴的如图所示空间直角坐标系，
令FM (0 3)，则C(0,0,0), A( 3,0,0),B(0,1,0)，M ( ,0,1)
2则PA PD PE EA PE ED PE2 PE EA ED EA ED PE 36，
∴ AB ( 3,1,0),BM ( , 1,1)
MAB 显然，当PE的长度最小时， 取得最小值，
设 n (x , y , z ) 为平面平面 的一个法向量，则 PA PD1 2 2 2
n AB 3x y 0 y2 3x2 设正四面体内切球的球心为O，可求得OA h r 3 6 ， 1 2 2 ，
n BM x y z 0 z2 3 x1 2 2 2 2 则球心O到点E的距离d OA2 AE2 3 2 ，
取 x2 1，则 ...........................................................9 分
所以内切球上的点 P到点E的最小距离为d r 3 2 6 ，
易知 是平面 的一个法向量 ...............................................10 分
| n n | 1 1 即当 取得最小值时，点 P到 AD的距离为3 2 6 ．
∴ cos 1 2
PA PD
n1 n2 1 3 ( 3 )
2 1 ( 3)2 4
故答案为：3 2 6 ．
∵ , ∴ 2 （ 3）2 4 7
7 1 1
∴
7 ( 3)2 4 2
7 1
故 cos 的取值范围为 ， . ............................................................................12 分
7 2
16 题解析：由正四面体 ABCD的棱长为 12，则其高为h 4 6 ，
1 1 3
则其体积为V 12 12 4 6 144 2 ，
3 2 2
设正四面体 ABCD内切球的半径为 r ，
1 1 3
则V 4 12 12 r 144 2 ，解得 r 6 ，
3 2 2
如图，取 AD的中点为E，
高二（上）期中数学参考答案 3 / 3
{#{QQABKQCAoggIAAIAARgCAwFACgEQkBEAAKoGxFAEMAAAgBFABCA=}#}南充市顺庆区2023-2024学年高二上学期期中考试
数 学 试 题
总分150分 考试时间120分钟
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后将答题卡交回。
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．水平放置的△ABC的直观图如图所示，是中边的中点，且平行于轴，则对应于原△ABC中的线段AB，AD，AC，对于这三条线段，正确的判断是（ ）
A．最短的是AD B．最短的是AC
C．AB>AC D．AD>AC
3．若，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在直三棱柱中， ，，，则异面直线AC与所成角大小为（ ）
A． B． C． D．
5．已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数： ，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A． B． C． D．
6． 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若且，则
7．第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日在成都东安湖体育公园开幕．公园十二景中的第一景东安阁，阁楼整体采用唐代风格、萃取太阳神鸟形象、蜀锦与宝相花纹（芙蓉花）元素，严谨地按照唐式高阁的建筑形制设计建造，已成为成都市文化新地标，面向世界展现千年巴蜀风韵．某数学兴趣小组在探测东安阁高度的实践活动中，选取与阁底A在同一水平面的B，C两处作为观测点，测得，，，在C处测得阁顶的仰角为45°，则他们测得东安阁的高度为（精确到，参考数据：，）（ ）
A． B． C． D．
8．南高学生到南充内燃机厂劳动实践，利用打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为（ ）．
A．86.4 B．172.8
C．864 D．950.4
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．设复数，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．的共轭复数为 B．
C． D．
10．将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件“第一次出现奇数点”，事件“两次点数之积为偶数”，事件“两次点数之和为5”，则（ ）
A．事件包含事件 B．事件与事件是互斥事件
C．事件是必然事件 D．事件与事件是相互独立事件
11．如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为的中点，则下列表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，棱长为2的正方体中，点、满足，，点是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（ ）
A．
B．∥平面
C．若∥平面，则的最大值为
D．若∥平面，则点的轨迹长度为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知一组数据：24，30，40，44，48，52．则这组数据的第30百分位数和第50百分位数的平均数为 ．
14．直线，，若，则实数的值为 ．
15．已知，则三角形的面积为 ．
16．正四面体的棱长为12，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知四边形的三个顶点，，．
（1）若四边形是平行四边形，求顶点的坐标；
（2）求点到直线的距离．
18．（12分）如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°．记＝，＝，＝.
（1） 求的长；
（2） 求与夹角的余弦值．
19．（12分）如图，在直三棱柱中，，，M，N分别为，AC的中点．
（1） 求证：平面；
（2） 求直线AB与平面BMN所成角的余弦值．
20．（12分）2023年，某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持．下图是该地100家中小微企业的专项贷款金额（万元）的频率分布直方图．
（1） 确定a的值，并估计这100家中小微企业的专项贷款金额的众数；
（2） 从这100家中小微企业中按专项贷款金额分层抽样随机抽取20家，再从这20家专项贷款金 额在[200，300]内的企业中随机抽取3家，求这3家的专项贷款金额都在[200，250）内的概率．
21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＝，，．
（1）求c的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
22．（12分）如图，在等腰梯形中，，，四边形为矩形，平面平面，.
（1） 求证：平面；
（2） 求点到平面的距离；
（3） 若点在线段上运动，设平面与平面的夹角为，试求的取值范围．
