盱眙县2023-2024学年高三上学期期中考试
数学试题
注意事项：
1.考试时间：120分钟，试卷满分150分。
2.答题前，请务必将班级、姓名、考试号等信息填涂写在答题纸和答题卡上。
3.请用0.5毫米黑色墨水的签字笔按题号在答题纸上指定区域内作答；在其它位置作答一律无效；考试结束后，请将答题卡交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．已知集合，则 （ ★ ）
A. B. C. D.
2. 命题“”的否定是 （ ★ ）
A. B. C. D.
3．已知复数满足，则 （ ★ ）
A．2 B．4 C． D．
4．已知，那么命题的一个必要不充分条件是 （ ★ ）
A． B． C． D．
5．函数的零点所在的区间是 （ ★ ）
A． B． C． D．
6．若，，，则事件A与的关系是 （ ★ ）
A．事件A与互斥 B．事件A与对立
C．事件A与相互独立 D．事件A与既互斥又相互独立
7．已知曲线C1：，C2：，则错误的是 （ ★ ）
A．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动个单位长度，得到曲线
B．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动个单位长度，得到曲线
C．把向左平行移动个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到曲线
D．把向左平行移动个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到曲线
8．已知函数（）在上恰有2个零点，则的取值范围为（ ★ ）A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．
9．已知函数，则 （ ★ ）A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点中心对称 D．在区间上单调递增
10．在中，角所对的边为，有如下判断，其中正确的判断是 （ ★ ）
A．若，则为等腰直角三角形
B．若，则
C．若，则符合条件的有两个
D．在锐角三角形中，不等式恒成立
11．在正方体中，E，F，G分别为BC，，的中点，则 （ ★ ）
A．直线与直线AF异面
B．直线与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面是等腰梯形
D．三棱锥A-CEF的体积是正方体体积的
12．函数的定义域为，已知是奇函数，，当时，，则下列各选项正确的是 （ ★ ）
A． B．在单调递增 C． D．
三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13. ___★___．
14.数据4、7、6、8、2、5、9、20的第70百分位数为 ___★____．
15.已知在中，,，则边上的高为___★____．
16．三棱锥的四个顶点都在表面积为的球O上，点A在平面的射影是线段的中点，，则平面被球O截得的截面面积为___★____．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题10分)
在中,角所对的边分别是,若,且.
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）若,求的面积.
18．(本小题12分)
已知向量.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若，求的值.
19．(本小题12分)
已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的极值.
20．(本小题12分)
如图，正方形和直角梯形所在平面互相垂直，，，且，．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
21．(本小题12分)
“青团”是江南人家在清明节吃的一道传统点心，据考证“青团”之称大约始于唐代，已有1000多年的历史．现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的“青团”，已知甲箱中有3个蛋黄馅的“青团”，2个肉馅的“青团”和5个青菜馅的“青团”.乙箱中有3个蛋黄馅的“青团”，3个肉馅的“青团”和4个青菜馅的“青团”.问：
(1)从甲箱中取出一个“青团”是蛋黄馅的的概率是多少？
(2)若依次从甲箱中取出两个“青团”，求第一个是蛋黄馅的条件下，第二个是肉馅的概率；
(3)若先从甲箱中随机取出一个“青团”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一个“青团”，从乙箱取出的“青团”是蛋黄馅的概率.
22．(本小题12分)
已知，．
(1)若在其定义域上为减函数，求的取值范围；
(2)若函数在上有且只有1个零点，求的取值范围．盱眙县2023-2024学年高三上学期期中考试
数学参考答案
1． D 2. C 3． C 4． B 5． A 6． C 7． D 8． B
9． ACD 10． BD 11． ABC 12． AC
13. 14. 8 15. 6 16．
17.解：（Ⅰ）可得
所以，所以， ……2分
所以
所以……5分
（Ⅱ）由（1）可得
在△中，由正弦定理,
……10分
18.【详解】（1）
，……3分
令，解得，
函数的单调递减区间为.……6分
（2）由（1）知，，又，
，则，，……9分
则
.……12分
19.解：（1）函数的定义域为，.
当时，，，
因而，
所以曲线在点处的切线方程为，即.……5分
（2）由，……6分
①当时，，函数为上的增函数，函数无极值；……8分
②当时，令，解得，
所以时，，在上的单调递减，
时，，在上的单调递增.
所以函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值.
综上所述，当时，函数无极值；
当时，函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值. ……12分
20.解：（1）由正方形的性质知：，又平面，平面，平面，
，平面，平面，∥平面，，平面，
平面//平面，平面，平面；……5分
（2）平面平面，平面平面，平面，则平面，
又，则平面，又，则两两垂直，……7分
以为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，由得：
，则，……8分
设平面的法向量为，则，取得，……9分
又易得平面的一个法向量为，……10分
则，……11分
又二面角为锐角，则二面角的余弦值为.……12分
21.解：（1）设事件“取出青团是蛋黄馅”，.……3分
（2）设事件“甲箱中取出的第一个青团是蛋黄馅”，事件“取出第二个青团是肉馅”，.……7分
（3）设事件 “从乙箱取出的“青团”是蛋黄馅”.
设事件分别是甲箱中取出蛋黄馅的“青团”，肉馅的“青团”和青菜馅的“青团”，
……12分
22.解：（1）由题知在上恒成立，
∴，令，则，
由，得，∴在上单调递增，
由，得，∴在上单调递减，
∴当时，取得最小值，∴；……..4分
（2）由题知，，，∴，
由，得，
当时，，使得，………6分
因为函数在上单调递增，
则当时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
又，，………8分
∴当，即时，在上无零点，………9分
当，即时，在上有一个零点；………10分
当时，，∴在上单调递减，
又，，故在上无零点．………11分
综上，的取值范围为．……12分
