5.3 垂径定理同步练习（含答案）
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
第五章 圆
3 垂径定理
基础闯关
知识点一：垂径定理
命题角度1：利用垂径定理进行推理
1.如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论错误的是（ ）
A.CE=DE B.AE=OE C.BC=BD D.△OCE≌△ODE
第1题图 第2题图
命题角度2：利用垂径定理求弦长
2.如图，在⊙0中，直径AB 的长是26，弦CD⊥AB交AB于点E，若OE=5，则CD的长为____________.
命题角度3：利用垂径定理求弦心距
3.如图，⊙0的直径为10cm，弦AB=8 cm，P是弦AB上的一个动点，则OP长度的取值范围是_____________.
第3题图 第4题图
命题角度4：利用垂径定理求弓形的高度
4.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=6cm，则BE=_________cm.
命题角度5：利用垂径定理求半径（直径）
5.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.若CD=10，AB= 18，小圆半径为13，则大圆半径OA=_______________.
第5题图 第6题图
命题角度6：利用垂径定理求其他线段的长
6.如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB=90°，点P是上任意一点(不与点A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，则CD 的长为( )
A. B. C. D.1
知识点二：垂径定理的推论
7.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB=40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD=10m，则这段弯路所在圆的半径为( )
A.25 m B.24 m C.30 m D.60 m
易错点：考虑问题不全面导致漏解
8.已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（ ）
A. cm B. cm C. cm或 cm D. cm或cm
9.在半径为13的⊙O中，弦AB//CD，弦AB和CD的距离为7.若AB=24，则CD的长为______________.
能力提升
10.如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB=75°，AB=6，
AE=1，则CD的长是（ ）
A.2 B.2 C.2 D.4
第10题图 第11题图
11.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为__________.
素养提升
【利用垂径定理及其推论建模解决问题】
12.如图是某香水瓶的示意图. 从正面看上去它可以近似看作⊙O 割去两个弓形后余下的部分与矩形 ABCD 组合而成的图形（点B，C在⊙O上），其中BC//EF.已知⊙O的半径为2.5cm，BC1.4cm，AB=2.6cm，EF=4.8cm，则香水瓶的高度h是( )
A.5.6 cm B.5.7 cm C.5.8 cm D.5.9 cm
13.如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内原有液体的最大深度CD=4cm.部分液体蒸发后，瓶内液体的最大深度下降为2cm，则截面圆中弦AB的长减少了____________ cm.（结果保留根号）
14.如图，△ABC的三个顶点在⊙O上，AD⊥BC，D 为垂足，E是BC的中点，求证：
∠1=∠2.
培优创新
15.如图，DC是以AB为直径的半圆上的弦，DMCD交AB于点M，CNCD交AB于点N.若AB=10，CD=6，则四边形DMNC的面积( )
A.等于24 B.最小为 24 C.等于48 D.最大为48
参考答案
1.B 2.24 3.3 cm≤OP≤5 cm 4.1 5.15 6.B 7.A 8.C
9.10或2 [解析]当AB与CD在圆心O的同侧时，如图①所示.过点O作OF⊥CD于点F，交AB于点E，连接OA,OC.∵AB//CD,OF ⊥CD,∴OE⊥AB,∴AE=AB=×24=12.在Rt△AOE中，OE= ==5，∴OF＝OE+EF=5+7=12.在Rt△OCF中.CF= = 5，∴CD=2CF=2×5=10；当AB与CD在圆心O的异侧时，如图②所示.过点0作OF⊥CD于点F，反向延长OF交AB于点E，连接OA，OC.∵AB//CD，OF⊥CD，∴OE⊥AB，∴AE=AB=×24=12.在Rt△AOE中，OE= =5.∴OF=EF－OE=7－5=2.在Rt△OCF中，CF=，∴CD=2CF=2×=2.故CD的长为10或2.
10.C [解析]过点0作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于点G，连接OB，OD，OE.由垂径定理得出DF=CF，AG=BG=AB=3，进一步得出EG=AG-AE=2，由勾股定理得出OG= =2，从而证出△EOG 是等腰直角三角形，得出∠OEG=45°，OE=OG=2，所以可求出∠OEF=30°，由直角三角形的性质得出OF=OE=，由勾股定理得出DF=，最后由垂径定理即可得出答案.
11.4
12.B [解析]如图，作OG⊥BC于点G，延长GO交EF于点H，连接BO，EO，则BG=BC=0.7 cm，∴GO=2.4 cm.
∵EF//BC,∴OH ⊥EF, ∴EH=EF=2.4 cm，∴OH= =0.7cm.∴ h=OH+OG+AB=0.7+2.4+2.6=5.7（cm)，即香水瓶的高度h为5.7cm.
13.48 [解析]如图，设A'B'交OD于点E.由题意得：OA=OA'=OD=5cm，
OD⊥AB,OD⊥A'B',∴AC=BC,A'E=B'E.∵CD=4 cm，∴OC=OD-CD=1 cm，
∴AC= (cm)，∴AB=2AC=4cm.∵DE=2cm,∴OE=OD-DE=3cm，∴A'E==4(cm)，∴A'B'=2A'E=8cm.∴AB-A'B'=（4－8）cm，即截面圆中弦AB的长减少了（48）cm.
14.证明：如图，连接OE.∵E是的中点，∴=，∴OE⊥BC.∴AD⊥BC.∴OE//AD,∴∠OEA=∠2.∵OE=OA，∴∠1=∠OEA，∴∠1=∠2.
15.A [解析]过圆心O作OE⊥CD于点E，连接OD，则DE＝CD=×6=3.
∵在Rt△ODE中，OD=×10=5，∴OE==4，易得S四边形DMNC=OE·CD=4×6=24.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第五章 圆
3 垂径定理
基础闯关
知识点一：垂径定理
命题角度1：利用垂径定理进行推理
1.如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论错误的是（ ）
A.CE=DE B.AE=OE C.BC=BD D.△OCE≌△ODE
第1题图 第2题图
命题角度2：利用垂径定理求弦长
2.如图，在⊙0中，直径AB 的长是26，弦CD⊥AB交AB于点E，若OE=5，则CD的长为____________.
命题角度3：利用垂径定理求弦心距
3.如图，⊙0的直径为10cm，弦AB=8 cm，P是弦AB上的一个动点，则OP长度的取值范围是_____________.
第3题图 第4题图
命题角度4：利用垂径定理求弓形的高度
4.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=6cm，则BE=_________cm.
命题角度5：利用垂径定理求半径（直径）
5.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.若CD=10，AB= 18，小圆半径为13，则大圆半径OA=_______________.
第5题图 第6题图
命题角度6：利用垂径定理求其他线段的长
6.如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB=90°，点P是上任意一点(不与点A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，则CD 的长为( )
A. B. C. D.1
知识点二：垂径定理的推论
7.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB=40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD=10m，则这段弯路所在圆的半径为( )
A.25 m B.24 m C.30 m D.60 m
易错点：考虑问题不全面导致漏解
8.已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（ ）
A. cm B. cm C. cm或 cm D. cm或cm
9.在半径为13的⊙O中，弦AB//CD，弦AB和CD的距离为7.若AB=24，则CD的长为______________.
能力提升
10.如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB=75°，AB=6，
AE=1，则CD的长是（ ）
A.2 B.2 C.2 D.4
第10题图 第11题图
11.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为__________.
素养提升
【利用垂径定理及其推论建模解决问题】
12.如图是某香水瓶的示意图. 从正面看上去它可以近似看作⊙O 割去两个弓形后余下的部分与矩形 ABCD 组合而成的图形（点B，C在⊙O上），其中BC//EF.已知⊙O的半径为2.5cm，BC1.4cm，AB=2.6cm，EF=4.8cm，则香水瓶的高度h是( )
A.5.6 cm B.5.7 cm C.5.8 cm D.5.9 cm
13.如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内原有液体的最大深度CD=4cm.部分液体蒸发后，瓶内液体的最大深度下降为2cm，则截面圆中弦AB的长减少了____________ cm.（结果保留根号）
14.如图，△ABC的三个顶点在⊙O上，AD⊥BC，D 为垂足，E是BC的中点，求证：
∠1=∠2.
培优创新
15.如图，DC是以AB为直径的半圆上的弦，DMCD交AB于点M，CNCD交AB于点N.若AB=10，CD=6，则四边形DMNC的面积( )
A.等于24 B.最小为 24 C.等于48 D.最大为48
参考答案
1.B 2.24 3.3 cm≤OP≤5 cm 4.1 5.15 6.B 7.A 8.C
9.10或2 [解析]当AB与CD在圆心O的同侧时，如图①所示.过点O作OF⊥CD于点F，交AB于点E，连接OA,OC.∵AB//CD,OF ⊥CD,∴OE⊥AB,∴AE=AB=×24=12.在Rt△AOE中，OE= ==5，∴OF＝OE+EF=5+7=12.在Rt△OCF中.CF= = 5，∴CD=2CF=2×5=10；当AB与CD在圆心O的异侧时，如图②所示.过点0作OF⊥CD于点F，反向延长OF交AB于点E，连接OA，OC.∵AB//CD，OF⊥CD，∴OE⊥AB，∴AE=AB=×24=12.在Rt△AOE中，OE= =5.∴OF=EF－OE=7－5=2.在Rt△OCF中，CF=，∴CD=2CF=2×=2.故CD的长为10或2.
10.C [解析]过点0作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于点G，连接OB，OD，OE.由垂径定理得出DF=CF，AG=BG=AB=3，进一步得出EG=AG-AE=2，由勾股定理得出OG= =2，从而证出△EOG 是等腰直角三角形，得出∠OEG=45°，OE=OG=2，所以可求出∠OEF=30°，由直角三角形的性质得出OF=OE=，由勾股定理得出DF=，最后由垂径定理即可得出答案.
11.4
12.B [解析]如图，作OG⊥BC于点G，延长GO交EF于点H，连接BO，EO，则BG=BC=0.7 cm，∴GO=2.4 cm.
∵EF//BC,∴OH ⊥EF, ∴EH=EF=2.4 cm，∴OH= =0.7cm.∴ h=OH+OG+AB=0.7+2.4+2.6=5.7（cm)，即香水瓶的高度h为5.7cm.
13.48 [解析]如图，设A'B'交OD于点E.由题意得：OA=OA'=OD=5cm，
OD⊥AB,OD⊥A'B',∴AC=BC,A'E=B'E.∵CD=4 cm，∴OC=OD-CD=1 cm，
∴AC= (cm)，∴AB=2AC=4cm.∵DE=2cm,∴OE=OD-DE=3cm，∴A'E==4(cm)，∴A'B'=2A'E=8cm.∴AB-A'B'=（4－8）cm，即截面圆中弦AB的长减少了（48）cm.
14.证明：如图，连接OE.∵E是的中点，∴=，∴OE⊥BC.∴AD⊥BC.∴OE//AD,∴∠OEA=∠2.∵OE=OA，∴∠1=∠OEA，∴∠1=∠2.
15.A [解析]过圆心O作OE⊥CD于点E，连接OD，则DE＝CD=×6=3.
∵在Rt△ODE中，OD=×10=5，∴OE==4，易得S四边形DMNC=OE·CD=4×6=24.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)