辽宁省大连市沙河口区2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

大连市沙河口区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试卷
满分150分 时间120分钟
注意事项：
1.答卷前：先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条码粘贴在答题卡上指定位置.
2.选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
3.非选择题，用0.5mm黑色签字管写在答题卡上对应的答题区域，写在非答题区域无效.
4.画图清晰，并用2B铅笔加深.
第Ⅰ卷（共60分）
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共：40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.如图，记直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，则下列结论正确的是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
2.已知两点，，直线：与线段相交，则的取值范围是（ ）
A. B. C.或 D.
3.空间四边形中，设，，，点在棱上，且，是棱的中点，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知点在圆：外，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
5.如图，在三棱柱中，为的中点，为侧面上的一点，且平面，若点的轨迹长度为2，则（ ）
A. B. C. D.
6.方程表示焦距为的双曲线，则实数的值为（ ）
A.1 B.或1 C.或或1 D.或1
7.已知抛物线：上一点，直线：，：，则到这两条直线的距离之和的最小值为（ ）
A.2 B. C. D.
8.已知椭圆：（）的左、右焦点分别是，，焦距，过点的直线与椭圆交于、两点，若，且，则椭圆的方程为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.在以下命题中，正确的命题有（ ），
A.若，则是钝角
B.若，则存在唯一的实数，使
C.对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面
D.若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
10.如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C.向量与的夹角是60° D.与所成角的余弦值为
11.已知圆：和圆：，过圆上任意一点作圆的两条切线，设两切点分别为，，则（ ）
A.线段的长度小于
B.线段的长度大于
C.当直线与圆相切时，原点到直线的距离为或
D.当直线平分圆的周长时，原点到直线的距离为
12.已知双曲线：（，）与椭圆有公共焦点，的左、右焦点分别为，，且经过点，则下列说法正确的是（ ）
A.双曲线的标准方程为
B.若直线与双曲线无交点，则
C.设，过点的动直线与双曲线交于，两点（异于点），若直线与直线的斜率存在，且分别记为，，则
D.若动直线斜率存在，且与双曲线恰有1个公共点，与双曲线的两条渐近线分别交于点，，则（为坐标原点）的面积为定值1
第Ⅱ卷（共90分）
三、填空题：（本题共4小题，每小题：5分，共计20分.）
13.抛物线的焦点到准线的距离为______.
14.直线和直线平行，则______.
15.已知拋物线：（）的焦点为，点是抛物线的准线与坐标轴的交点，点在抛物线上，若，则______.
16.如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，，为的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是______.（填写序号）
①平面
②三棱锥的体积的最大值为
③存在点，使得与平面所成的角为60°
④存在点，使得与垂直
四、解答题：（本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）.
17.（本小题满分10分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，.
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18.已知直线过点.
（1）若直线在两坐标轴上截距和为零，求直线的方程；
（2）设直线的斜率，且直线与两坐标轴交点别为、，求面积最小值.
19.如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为2，是圆所在平面内一点，且是圆的切线，连接交圆于点，连接，.
（1）求证：平面平面；
（2）若是的中点，连接，，当二面角的大小为120°时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
20.已知双曲线的方程为（，），离心率为2，右顶点为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过的直线与双曲线的一支交于、两点，求的取值范围.
21.如图，等腰直角的斜边为直角的直角边，是的中点，在上.将三角形沿翻折，分别连接，，，使得平面平面.已知，，
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
22.在平面直角坐标系中，，，设的内切圆分别与边，，相切于点，，，已知，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点作直线交曲线于，两点，且点位于轴上方，已知，，记直线，，的斜率分别为，，.
①证明：，为定值；
②设点关于轴的对称点为，求面积的最大值.
大连市沙河口区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试卷参考答案及评分标准
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1-8：BCCABADA 9. CD 10. AB 11. BCD 12. ACD
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13. 14.或0 15. 16.②③
三、解答题
17.（1） （2）
18.解：（1）因为直线在两坐标轴上截距和为零，所以直线斜率存在且不为0，故不妨设斜率为，则直线方程为，所以直线在，坐标轴上截距分别为，，所以，整理得，解得或
所以直线方程为或.
（2）由（1）知，，因为，所以面积为，当且仅当，即时等号成立，所以面积最小值4
19.解：（1）是圆的直径，与圆切于点，，底面圆，
∴，，平面，∴.
又∵在中，，∴.
∵，∴平面，从而平面平面.
（2）∵，，∴为二面角的平面角，∴，
如图建立空间直角坐标系，易知，则，，，，，，由（1）知为平面的一个法向量，设平面的法向量为，，，∵，，
∴，，∴，即故平面的一个法向量为，∴.∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
20.（1）由离心率，又，所以，又右顶点为，所以，
所以，故双曲线的标准方程为.
（2）设直线的方程为，设，，
则由得，因为直线与双曲线一支交于、两点，
所以，解得，因此
，因为，所以，
所以，所以，故.
21.（1）证明：过作，垂足为，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴，∵是等腰直角三角形斜边的中点，∴，又，，平面，∴平面，∴平面，∴，∵，∴，∵平面，平面，∴平面.
（2）由题意可知，在等腰直角三角形中，∵，∴，
由（1）可知，为直角三角形的中位线，∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，.
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设平面的法向量，
则，，，，
由得，令，则，
显然，平面的法向量.
二面角的余弦值.
22.【解答】（1）解：由题意可知，，
所以曲线是以，为焦点，长轴长为4的椭圆（除去与轴的交点），
设曲线：（，），则，，解得，，
所以曲线的方程为（）；
（2）①证明：设直线的方程为，，（，），
联立方程组，可得，则，，
因此，，
故；
②解：由题意点的坐标为，
则直线的方程为，令，可得
，
故直线恒过点，所以
，当且仅当，
即时取等号，此时面积的最大值为.