辽宁省沈阳市沈北新区2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

沈阳市沈北新区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
考试时间：120分钟 分数：150分
一 单选题.（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 若圆上至少有三个不同的点到直线l：的距离为2，则c的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则（ ）
A B. C. D.
5. 2023年五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游．除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（　　）
A. 1800 B. 1080 C. 720 D. 360
6. 甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤5个项目中分别各自随机选择其中一项，记事件：甲和乙选择的活动各不同，事件：甲和乙恰好一人选择①，则等于（ ）
A. B. C. D.
7. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，以为圆心的圆与x轴交于，B两点，与y轴正半轴交于点A，线段与C交于点M．若与C的焦距的比值为，则C的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知分别是双曲线的左、右焦点，过点作直线交于两点. 现将所在平面沿直线折成平面角为锐角的二面角，如图，翻折后两点的对应点分别为，且若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题.（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，则下列说法正确是（ ）
A. 直线过定点 B. 若，则的面积为
C. 的最小值为 D. 的面积的最大值为2
10. 袋中装有大小完全相同的6个红球，3个白球，其中有2个红球和1个白球上面标记了数字1，其他球标记了数字2．从袋中不放回地依次取2个小球，每次取1个，记事件“第一次取到的是红球”，事件“第一次取到了标记为数字1的球”，事件“第一次取到了标记为数字2的球”，事件“第二次取到了标记为数字1的球”，则（ ）
A. A与互斥 B. 与互斥
C. D. A与相互独立
11. 在平行六面体中，以顶点A为端点三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（ ）
A.
B.
C. 向量与的夹角是60°
D.
12. 已知抛物线上的两个不同的点关于直线对称，直线与轴交于点，下列说法正确的是（ ）
A. 的焦点坐标为 B. 是定值
C. 是定值 D.
三 填空题.（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 已知随机变量的分布列如下：
2 3 6
若随机变量满足，则______．
14. 为了纪念世界地球日，复兴中学高三年级参观了地球自然博物馆，观后某班级小组7位同学合影，若同学与同学站在一起，同学站在边缘，则同学不与同学或相邻的概率为________．
15. 如图，已知在一个二面角的棱上有两个点，线段分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱.则这个二面角的余弦值为______.
16. 过双曲线的右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左、右两支分别交于点、，若，，则双曲线的离心率是_________.
四 解答题.（共6题，共70分）
17. 已知在的展开式中，前项的系数分别为，，，且满足．
（1）求展开式中各项的二项式系数的和；
（2）求展开式中系数最大的项；
（3）求展开式中所有有理项．
18. 如图，已知四棱锥中，平面，四边形中，，，，，，点在平面内的投影恰好是的重心．
（1）求证：平面平面；
（2）求线段的长及直线与平面所成角的正弦值．
19. 数学奥林匹克竞赛是一项传统的智力竞赛项目，旨在通过竞赛选拔优秀人才，促进青少年智力发展，很多优秀的大学在强基计划中都设置了对中学生奥林匹克竞赛成绩的要求，因此各中学学校对此十分重视．某中学通过考试一共选拔出15名学生组成数学奥赛集训队，其中高一学生有7名、高二学生有6名、高三学生有2名．
（1）若学校随机从数学奥赛集训队抽取3人参加一项数学奥赛，求抽取的3名同学中恰有2名同学来自高一的概率；
（2）现学校欲通过考试对数学奥赛集训队成员进行考核，考试一共3道题，在测试中．3道题中至少答对2道题记作合格．现已知张同学每道试题答对的概率均为，王同学每道试题答对的概率均为，并且每位同学回答每道试题之间互不影响，记X为两名同学在考试过程中合格的人数，求X的分布列和数学期望．
20. 已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程，并说明是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交曲线于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交曲线于点.
（ⅰ）证明：直线与的斜率之积为定值；
（ⅱ）求面积的最大值.
21. 如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且.
（1）若点满足，求证：平面；
（2）底面内是否存在一点，使得平面 若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由.
22. 已知点是抛物线：的焦点，为坐标原点，过点的直线交抛物线与，两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）求的值；
（3）如图，过点的直线交抛物线于，两点（点，在轴的同侧，），且，直线与直线的交点为，记，的面积分别为，，求的取值范围.
沈阳市沈北新区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题 答案
考试时间：120分钟 分数：150分
一 单选题.（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】C
二 多选题.（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
【9题答案】
【答案】ABD
【10题答案】
【答案】BD
【11题答案】
【答案】BD
【12题答案】
【答案】ABD
三 填空题.（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】
【16题答案】
【答案】
四 解答题.（共6题，共70分）
【17题答案】
【答案】（1）
（2）和
（3）和
【18题答案】
【答案】（1）证明略
（2）；
【19题答案】
【答案】（1）
（2）分布列略，
【20题答案】
【答案】（1），为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点；
（2）（ⅰ）证明略；（ⅱ）
【21题答案】
【答案】（1）证明略
（2）存在，.
【22题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）