山东省滨州市惠民县2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

惠民县2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
注意事项：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟
2.答卷前，考生务必将自己的姓名 考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线的倾斜角（ ）
A. B. C. D.
2.圆的圆心坐标为（ ）
A. B. C. D.
3.设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（ ）
A. B. C. D.1
4.国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式，在手工课上，张老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40，短轴长为20，小椭圆的短轴长为10，则小椭圆的长轴长为（ ）
A.30 B.10 C.20 D.
5.已知点，点在圆上，则的面积的最小值为（ ）
A. B.3 C.2 D.
6.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，准线与对称轴交于点，若，且，则为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
7.设是圆上的一动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点，则点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
8.如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.点到直线的距离可能是（ ）
A. B. C. D.
10.关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A.若，则是钝角
B.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
C.设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D.若对空间中任意一点，有，则四点共面
11.如图所示，正方体们棱长为1，线段上两个动点且，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B.平面
C.三棱锥的体积为定值
D.异面直线所成的角为定值
12.已知椭圆为的左焦点，直线与交于两点（点在第一象限），直线与椭圆C的另一个交点为E，则（ ）
A.
B.当时，的面积为
c.
D.的周长的最大值为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若直线与直线平行，则直线与之间的距离为__________.
14.已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数__________.
15.已知点在圆的外部，则的取值范围是__________.
16.椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆为其左 右焦点.是上的动点，点，若的最大值为6.动直线为此椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点，则椭圆的离心率为__________；的取值范围为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤
17.（10分）直线经过两直线和的交点.
（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；
（2）若点到直线的距离为5，求直线的方程.
18.（12分）已知直线和圆.
（1）若直线交圆于两点，求弦的长；
（2）求过点且与圆相切的直线方程.
19.（12分）如图所示，在直三棱柱中，.
（1）求证：；
（2）在上是否存在点，使得平面，若存在，确定点位置并说明理由，若不存在，说明理由.
20.（12分）在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为.
（1）求轨迹为的方程
（2）设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点时的相应取值范围.
21.（12分）已知直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，为棱上的点.
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的夹角的正弦值最小？
22.（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.直线与椭圆交于两点.且，其中为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过原点的直线与椭圆交于两点，且过的中点.求四边形面积的取值范围.
惠民县2023-2024学年高二上学期期中考试
答案
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C C D B B A
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
题号 9 10 11 12
答案 ABC BCD ABC AC
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14.4 15. 16.
四 解答题
17.（1）解：联立方程组，解得交点
又直线与直线垂直，所以直线的斜率为
则直线的方程为，即.
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
满足点到直线的距离为5
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即
则点到直线的距离为，求得
故直线的方程为，即
综上可得，直线的方程为或.
18.解：（1）将圆化成标准方程：，
所以的圆心为，半径
所以到直线的距离.
所以
（2）①当直线斜率不存在时，过点的直线为，是圆的一条切线
②当直线的斜率存在时，设圆的切线方程为，即---所以圆心到直线的距离为，
即，解得：
所以此时切线方程为，化简得.
综上所述，所求的直线方程为：或
19.方法一：（1）证明：因为，所以
如图所示，在直三棱柱中，以为坐标原点，直线分别为轴 轴 轴，建立空间直角坐标系，
则
因为
所以，即.
（2）若存在点使平面，则
因为平面，所以存在实数，使成立
则解得
故在上存在点使平面，此时点为中点
方法二：
（1）证明：因为，所以
所以，又平面
所以平面，
又平面，所以
（2）点为中点时，平面
连接，交于点，连接，易得
平面平面，
所以在上存在点使平面，此时点为中点
20.（1）解：设是轨迹上的任意一点，
因为点到点的距离比它到的距离多1，可得，
即，整理得，
所以点的轨迹的方程为
（2）解：在点轨迹中，记，
因为斜率的直线过定点，不妨设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
当时，，此时，可得直线与轨迹恰好有一个公共点；
当时，可得，不妨设直线与轴的交点为，
令，解得，
若直线与轨迹恰好有一个公共点，则满足，
解得或，
综上，当时，直线与轨迹恰好有一个公共点.
21.【详解】（1）[方法一]：几何法
因为，所以.
又因为，所以平面.又因为，构造正方体，如图所示，
过作的平行线分别与交于其中点，连接，
因为分别为和的中点，所以是的中点，
易证Rt，则
又因为，所以
.
又因为，所以平面.
又因为平面，所以.
[方法二]【最优解】：向量法
因为三棱柱是直三棱柱，底面
，又平面
.所以两两垂直.
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
如图.
.
由题设.
因为，
所以，所以.
（2）[方法一]【最优解】：向量法
设平面的法向量为，
因为，
所以，即.
令，则
因为平面的法向量为，
设平面与平面的二面角的平面角为，
则
当时，取最小值为，
此时取最大值为.
所以，此时
.
[方法二]：几何法
如图所示，延长交的延长线于点，联结交于点，
则平面平面.
作，垂足为，因为平面，联结，则为平面与平面所成二面角的平面角.
设，过作交于点.
由得.
又，即，所以.
又，即，所以.
所以.
所以，当时，.
22.【详解】（1）设椭圆的半焦距为，
由题意可得：，解得，
所以椭圆的方程为
（2）当直线斜率存在时，设其方程为，
联立，可得，
可得①，且②，③
若以为直径的圆过原点，则，
整理得，
代入②③两式得，
整理得④，
将④式代入①式，得恒成立，则，
由题意可设，所以，
因为，
且点到直线的距离，
可得，
又因为，则点坐标为，
化简可得，
代入椭圆方程可得，整理得，
则
，
因为，则，
所以；
当直线斜率不存在时，设，
则，且，解得，
可知方程为，
因为直线过中点，即为轴，
可知，
综上所述：四边形面积的取值范围为.