山东省青岛市崂山区2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

青岛市崂山区2023-2024学年高二上学期期中考试
试题（数学）
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线关于x轴对称的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
2.两条平行直线与之间的距离是（ ）
A.2 B. C.1 D.0
3.若椭圆的长轴端点与双曲线的焦点重合，则的值为（ ）
A.4 B. C. D.2
4.已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A. B. C. D.
5.如果直线与曲线有两个不同的公共点，那么实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，若的中点坐标为，则椭圆C的方程为（ ）
A. B. C. D.
7.已知直线与抛物线相交于A，B两点，若，则（ ）
A.2 B. C. D.
8.已知椭圆的左、右焦点分别是，，P是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与x轴平行，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知方程，则下列说法中正确的有（ ）
A.方程可表示圆
B.当时，方程表示焦点在轴上的椭圆
C.当时，方程表示焦点在轴上的双曲线
D.当方程表示椭圆或双曲线时，焦距均为10
10.已知圆与圆，下列说法正确的是（ ）
A.与的公切线恰有4条 B.与相交弦的方程为
C.与相交弦的弦长为 D.若，分别是圆，上的动点，则
11.已知双曲线的左右顶点为，，左右焦点为，，直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，则（ ）
A.若，则的面积为
B.直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，则
C.若的斜率的范围为，则的斜率的范围为
D.存在直线的方程为，使得弦的中点坐标为
12.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点作直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，过点作抛物线的切线与准线交于点，连接，若，则（ ）
A. B.
C.为钝角 D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.抛物线的准线方程为______.
14.若直线与圆相交于，两点，且（其中为原点），则的值为______.
15.一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为______.
16.如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，为线段的中点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知的三个顶点的坐标为，，，求
（1）求的面积；
（2）求的外接圆的标准方程.
18.（12分）已知直线和圆，且直线和圆交于，两点.
（1）当为何值时，截得的弦长为4；
（2）若，求的取值范围.
19.（12分）已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）直线经过点，与交于，两点，线段中点在第一象限，且纵坐标为2，求.
20.（12分）已知动圆过定点，且截轴所得弦长为4.
（1）求动圆圆心的轨迹的方桯；
（2）过点的直线与轨迹交于，两点，若为轨迹的焦点，且满足，求的值.
21.（12分）椭圆与双曲线有相同的焦点，且过.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为，，当动点在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点，.
（i）证明：点B在以为直径的圆内；
（ii）求四边形面积的最大值.
22.（12分）已知点在双曲线上.
（1）双曲线上动点处的切线交的两条渐近线于，两点，其中为坐标原点，求证：的面积是定值；
（2）已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，在线段上取异于点、的点，满足，证明：点恒在一条定直线上.
青岛市崂山区2023-2024学年高二上学期期中考试
答案（数学）
1．【答案】D
2．【答案】B
【详解】直线：即，故与：的距离为.
3．【答案】D
【详解】椭圆的长轴端点为，所以双曲线的焦点为，故.
4．【答案】A
【详解】由，则，解得，所以双曲线的一条渐近线不妨取，则圆心到渐近线的距离，所以弦长.
5.【答案】A
【详解】由可得：，，则该曲线为以原点为圆心，以1为半径的轴上方的半圆，直线和曲线的图象如图所示：当直线与圆相切于点时满足：，解得，当直线与半圆相交于两点时，把代入直线方程可得：，则由数形结合可得直线与曲线有两个不同的交点时，的取值范围为：.
6. 【答案】D
【详解】根据题意设，代入椭圆方程可得；两式相减可得，整理可得；又因为的中点坐标为，可得；因此过两点的直线斜率为，又和的中点在直线上，所以，即，可得；
又易知，且，计算可得；所以椭圆的方程为，代入的中点坐标为，得，则其在椭圆内部，则此时直线与椭圆相交两点.
7.【答案】B
【详解】由抛物线方程可知，因为直线过焦点，所以有，因为，所以，所以.
8．【答案】C
【详解】∵是的中点，G是的重心，∴三点共线，延长交轴于点，则由平行于轴知，，
则,设内切圆半径为r，则，
∴椭圆的离心率为．
9．【答案】BCD
【详解】对于A，当方程可表示圆时，，无解，故A错误;
对于B，当时，，，表示焦点在轴上的椭圆，故B正确;
对于C，当时.，，，表示焦点在轴上的双曲线，故C正确;
对于D，当方程表示双曲线时，；当方程表示椭圆时，，所以焦距均为10，故D正确.
10．【答案】BCD
【详解】由已知得圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
，故两圆相交，所以与的公切线恰有2条，故A错误；
做差可得与相交弦的方程为到相交弦的距离为，故相交弦的弦长为，故B,C正确；.
若分别是圆上的动点，则，故D正确.
11. 【答案】ABC
【详解】在双曲线中，
对于A,易得为双曲线的焦点三角形，所以，故A正确；
对于B，不妨设，当时表示双曲线，当时表示该双曲线的两条渐近线.设直线，与双曲线方程联立后可得，应满足且.由韦达定理可知，都与无关.所以线段的中点与线段的中点重合，不妨设为.由可知，故B正确；
对于C,由于P在双曲线上，分别为双曲线的左右顶点，由性质可得，所以若的斜率范围为，则的斜率的范围为，C正确；
对于D，将直线方程与双曲线联立，可得，故直线与双曲线无交点，所以不存在中点，D错误.
12. 【答案】ABD
【详解】由题可知.如右图，因为，所以有，过作轴的垂线分别交于，根据三角形相似可得，即，又因为
，得，所以，直线.
对于A，由切线方程可得，过点的切线方程为，与准线相交于，易得，A正确；
对于B，由可得,，B正确；
对于C，因为，所以为直角，C错误；
对于D，可得两三角形同底，则面积之比即为高之比，点O到的距离，点M到的距离，所以，D正确.
13. 【答案】
14. 【答案】
15.【答案】
16. 【答案】
【详解】设双曲线的右焦点，连接，.则中，，，则，由直线与圆相切，可得.
又双曲线中，，则，
又，则，整理得，两边平方整理得，则双曲线的离心率，故答案为：.
解答题：
17.(1)，，，为等腰三角形，可得中点,
所以，，故的面积为20.
(2)通过三点坐标可得，，，因为，所以.所以外接圆圆心恰好为中点，所以三角形外接圆标准方程为.
18. (1)设直线与圆心距离为，则，所以有；
(2)当时，，此时.因为，所以，有，即，解得.
19.（1）设点的坐标为，因为，，所以，
化简得：.所以的方程为
（2）当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；

设，，直线方程为，
与联立得：，
由且，解得且，
由韦达定理得，
因为线段中点在第一象限，且纵坐标为，
所以，解得或（舍去），
所以直线为，所以，
所以.
20. (1)如图，设动圆圆心，令圆截y轴所得弦为，有，当不在轴上时，过作交于，则是的中点，于是，化简得，当在轴上时，动圆过定点，且在轴上截得弦的长为4，则与原点重合，即点也满足方程，所以动圆圆心的轨迹的方程为.
(2)显然直线斜率存在，不妨设直线，与联立可得，，得；
韦达定理可知.
已知(1,0)，
解得或1，因为，所以.
所以
21.(1)椭圆方程为
(2)（i）易知，由椭圆对称性可知，不妨设，；
根据题意可知直线斜率均存在，且；
所以直线的方程为，的方程为；
联立直线和椭圆方程，消去可得；
由韦达定理可得，解得，则；
联立直线和椭圆方程，消去可得；
由韦达定理可得，解得，则；
则，；
所以；
即可知为钝角，所以点B在以为直径的圆内；
（ii）易知四边形的面积为，
设，则，当且仅当时等号成立；
由对勾函数性质可知在上单调递增，
所以，可得，
由对称性可知，即当点的坐标为或时，
四边形的面积最大，最大值为6.
22. (1)点（2,3）代入双曲线方程得，解得，则；
设，则过Q点的切线l的方程为（证明略）
将切线l与联立可得
将切线l与联立可得
法一：切线l的方程为
法二：
由AB坐标可得，
，
法三：
；
法四：
（此面积公式需要证明）
法五：切线l的方程为
令
则
法六：
切线l的方程为，令
则
(2)设，则，
设
则，
M,N代入双曲线方程，
,即