山东省日照市2023-2024学年高二上学期期中校际联合考试数学试卷（含答案）

参照秘密级 试卷类型：A
日照市2023-2024学年高二上学期期中校际联合考试
数学试题
2023.11
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z满足，其中i为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角为（ ）
A． B．60° C．120° D．150°
3．已知圆和圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．内含 B．相交 C．外切 D．外离
4．如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若．，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线，过E的右焦点F作其渐近线的垂线，垂足为P，若的面积为，则E的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
6．已知空间一个平面与一个正方体的12条棱所成的角都等于，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知两点，，若直线上存在四个点，使得是直角三角形，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为（ ）
A． B．2 C． D．3
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9．曲线C的方程为，则下列命题正确的是（ ）
A．若曲线C为双曲线，则
B．若曲线C为椭圆，则，且
C．曲线C不可能是圆
D．若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则
10．设a为非零实数，直线，，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．恒过点 D．当时，不经过第一象限
11．如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱面得到一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，，则（ ）
A．椭圆的长轴长等于4
B．椭圆的离心率为
C．椭圆的标准方程可以是
D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为
12．如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（ ）
A．当P在侧面上运动时，四棱锥的体积不变
B．当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是
C．当直线AP与平面ABCD所成的角为45°时，点P的轨迹长度为
D．若F是的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足平面时，PF长度的取值范围是
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，，且，则实数______．
14．已知复数是纯虚数，则实数______．
15．从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图①，一个光学装置由有公共焦点，的椭圆C与双曲线S构成，现一光线从左焦点发出，依次经S与C反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的S去掉，如图②，此光线从点发出，经C两次反射后又回到了点，历时秒．若C与S的离心率之比为，则______．
16．正方形的边长为12，其内有两点P，Q，点P到边，的距离分别为3和1，点Q到边，AB的距离也分别为3和1．现将正方形卷成一个圆柱，使得AB和重合（如图），则此时P，Q两点间的距离为______．
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知i是虚数单位，复数z的共辄复数是，且满足．
（1）求复数z的模；
（2）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．
18．（12分）
已知圆C的方程为：，点．
（1）求圆C的过点P的切线方程；
（2）过点P的直线l被圆C所截得的弦长为，求直线l的方程．
19．（12分）
如图，四棱锥S-ABCD，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，，点E在线段SD上．
（1）求证：；
（2）若直线BE与平面ABCD所成角的正弦值，求二面角的余弦值．
20．（12分）
已知动点M到点，的距离之差的绝对值为，斜率为的直线l与点M的轨迹C交于A，B两点．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）若（O为坐标原点），点，记直线NA，的斜率分别为，，求的值．
21．（12分）
如图（1）所示，在中，，，，DE垂直平分AB．现将沿DE折起，使得二面角大小为60°，得到如图（2）所示的空间几何体（折叠后点A记作点P）．
图（1） 图（2）
（1）求点D到面PEC的距离；
（2）点Q为一动点，满足，当直线BQ与平面PEC所成角最大时，试确定点Q的位置．
22．（12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，且四边形是面积为8的正方形．
（1）求C的标准方程；
（2）M，N为C上且在x轴上方的两点，，与的交点为P，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
日照市2023-2024学年高二上学期期中校际联合考试
数学试题答案
2023.11
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1-4 BCDD 5-8 CADA
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9．ABD 10．BD 11．BCD 12．AC
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14．1 15．6 16．
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．解：（1）设，则，
，所以，，
故，所以；
（2）由（1）知，
又复数在复平面内对应的点在第二象限，
所以，
解得，故实数m的取值范围为．
18．解：（1）由题知，
圆C的标准方程为，则圆心，
当切线斜率不存在时，，检验知不是切线；
当切线斜率存在时，设，
，，
解得或0，故直线方程为或；
（2）由弦长公式，，，
当直线斜率不存在时，，满足；
当直线斜率存在时，设，
，解得．代入，化简得．
故直线方程为或．
19．解：（1）证明：连接BD，因为底面是正方形，所以，
因为平面ABCD，所以，
因为，SD，平面SDB，
所以平面SDB，
又因为平面SDB，
所以．
（2）因为平面ABCD，点E是线段SD上的点，
所以直线BE与平面ABCD所成的角为，所以，
又因为，所以，设，则，
所以，解得，即．
以D为原点，，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
所以，，
设平面ACE的法向量为，则由，得，即，
令，得
易知平面ADE的一个法向量为
由图可知二面角为锐二面角，所以，
所以二面角的余弦值为．
20．解：（1）由题意可知，点M的轨迹C是以，为焦点的双曲线，
且，，所以，，
所以，所以动点M的轨迹C的方程为．
（2）设，，则，则，，
设直线l的方程为，与双曲线C的方程联立，消去y得：，由，得，
由一元二次方程根与系数的关系得，，
所以，
，
则，故．
21．解：（1）因为DE垂直平分AB，所以，，又，所以平面PDB．又平面BCD，所以平面平面PDB．
因为，，
所以二面角的平面角为．
因为，，所以为等边三角形，
又因为，，所以为等边三角形．
取BD中点O，连接PO，OC，则，，
所以为直二面角的平面角，所以．
以O为坐标原点，，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，又由，，，得，
所以，所以，所以，所以．
，，，，．
所以，，设平面PEC的一个法向量为，
则，令，则，
，所以点D到面PEC的距离为．
（2）设，因为，所以，
所以，所以，所以，
设直线BQ与平面PEC所成角为．，
所以当时，有最大值为．此时直线BQ与平面PEC所成角最大，
即当时，直线BQ与平面PEC所成角最大．
22．解：（1）椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，因为四边形是面积为8的正方形，
所以有且，解得，
，所以椭圆的标准方程为；
（2）由已知，则，
设，因为，
所以．又因为，
所以，
所以
．
即．
设，的方程分别为：，，设，，
则，
所以，因此
，
同理可得：，因此，，
所以．
所以为定值，定值为．