山东省青岛市即墨区2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

青岛市即墨区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
2023.11
本试题卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.写出数列的一个通项公式（ ）
A. B. C. D.
2.某学校有学生1000人，其中男生600人，女生400人，现按分层抽样从中随机选择200人，则其中女生为（ ）
A.70人 B.80人 C.90人 D.100人
3.已知在等差数列中，，则（ ）
A.4 B.6 C.8 D.10
4.一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间，设，，则（ ）
A.与互斥 B.与相互对立
C.与相互独立 D.
5.设是数列的前项和，，则（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
6.某同学参与了自媒体《数学的维度》栏目约稿启事，为了估计投稿人数，随机了解到6个投稿回执编号，从小到大依次为，这6个编号把区间分成7个小区间，可以用前6个区间的平均长度估计第7个区间的长度，进而求得投稿人数的估计值为（ ）
A.139 B.141 C.147 D.150
7.天气预报元旦假期甲地降雨的概率为0.4，乙地降雨的概率为0.3，假定这段时间内两地是否降雨相互独立，则这段时间甲乙两地至少有一个降雨的概率为（ ）
A.0.58 B.0.82 C.0.12 D.0.42
8.已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A.数列是递增数列 B.
C.当取得最大值时， D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知数列是一个无穷等比数列，前项和为，公比为，则（ ）
A.将数列中的前项去掉，剩余项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数列
B.取出数列的偶数项，剩余项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数列
C.从数列中每隔10项取出一项组成的新数列仍为等比数列
D.数列不是等比数列
10.一个盒子装有标号的5张标签，则（ ）
A.有放回的随机选取两张标签，标号相等的概率为
B.有放回的随机选取两张标签，第一次标号大于第二次的概率为
C.无放回的随机选取两张标签，标号之和为5的概率为
D.无放回的随机选取两张标签，第一次标号大于第二次的概率为
11.为了解甲 乙两个班级学生的数学学习情况，从两个班学生的数学成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值），关于甲 乙两个班级的数学成绩，则（ ）
A.甲班众数大于乙班众数
B.乙班成绩的60百分位数为125
C.甲班的中位数为124
D.甲班平均数大于乙班平均数估计值
12.设是数列的前项和，，则（ ）
A. B.
C. D.
三 填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.已知一个古典概型的样本空间和事件和，若，则__________.
14.等差数列满足，则__________.
15.某数学老师随机抽取了10名考生的数学成绩：作为样本.经计算得：平均分，则该样本数据的标准差__________.（参考公式及数据：样本方差）
16.设是数列的前项和，，则__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（10分）
某校高二年级的1000名学生参加了一次考试，考试成绩全部介于45分到95分之间，为统计学生的考试情况，从中随机抽取100名学生的考试成绩作为样本，得到的频率分布直方图如图①所示.
（1）求的值；
（2）估算这次考试成绩的平均分；
（3）从这1000名学生中选10名学生，已知他们上次考试成绩的平均分，标准差；记他们本次考试成绩的平均分，标准差，他们的本次考试成绩如表②所示.判断他们的平均分是否显著提高（如果，则认为本次考试平均分较上次考试有显著提高，否则不认为显著提高）.
这10名同学的本次考试成绩
70 72 72 72 74
71 72 72 72 73
表②
18.（12分）
记为数列的前项和，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，证明：.
19.（12分）
为研究某茶品价格变化的规律，收集了该茶品连续40天的价格变化数据，如表所示，在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同.用频率估计概率.
时段 价格变化
第1天到第10天 - + + 0 - - - + + 0
第11天到第20天 + 0 - - + - + 0 - +
第21天到第30天 0 + + 0 - - - + + 0
第31天到第40天 0 + 0 - - - 0 + - +
（1）试估计该茶品价格“上涨” “下跌” “不变”的概率；
（2）假设该茶品每天的价格变化只受前一天影响，判断第41天该茶品价格“上涨” “下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大？
20.（12分）
已知非零数列满足.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和.
21.（12分）
已知甲 乙两人进行台球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分.已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立.设事件分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”.
（1）若进行三局比赛，求“甲至少胜2局”的概率；
（2）若规定多得两分的一方赢得比赛.记“甲赢得比赛”为事件，最多进行6局比赛，求.
22.（12分）
已知等差数列为单调递增数列，成等比数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足.
（i）求数列的通项公式；
（ii）设为非零常数，若数列是等差数列，证明：.
青岛市即墨区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学评分标准
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1-8BBCDACAD
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
9.ABC 10.AD 11.ABD 12.ACD
三 填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 15.10 16.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（10分）
解：（1）由题知：，所以
（2）平均数约为
（3）计算得：
所以，可以判断平均分显著提高
18.（12分）
解：（1）由已知得，
当时，
于是
综上，的通项公式为
（2）由（1）知，
记，
则，
两式相减得：
19.（12分）
解：（1）由表知：40天中价格“上涨”15天，“下跌”15天，“不变”10天
该茶品价格“上涨”的概率为
该茶品价格“下跌”的概率为
该茶品价格“不变”的概率为
（2）研究：40天中除去最后一天价格“上涨”的有14天，
价格“上涨”后仍“上涨”的有4次，概率为，
价格“上涨”后“下跌”的有2次，概率为，
价格“上涨”后“不变”的有8次，概率为，
所以第41天该茶品价格“不变”的概率估计值最大
20.（12分）
解：（1）由题知：
所以
因为，所以，
所以是首项为9，公比为2的等比数列
（2）由（1）知：因为，
所以
所以
21.（12分）
解：（1）记“甲至少胜2局”为事件，则
因为互斥，
所以，
（2）若比赛最多进行6局，甲赢得比赛包括以下3种情况：比赛进行2局甲赢得比赛，比赛进行4局甲赢得比赛，比赛进行6局甲赢得比赛
设“比赛进行局甲赢得比赛”
则
因为，且互斥
所以
22.解：（1）设数列的公差为，由题知：
所以，所以，所以，
解得，所以
（2）（i）由得，
所以
所以
叠加得：，
所以
又因为，所以
（ii）因为是等差数列，所以，
所以，解得，所以
因为
当时，
当时，显然成立，
所以，