辽东教学共同体2023-2024学年高二上学期期中联合考试
数学
（考试时间：120分钟 满分150分）
第一卷（80分）
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意)
1．在空间四边形中下列表达式化简结果与相等的是（ ）
A． B． C． D．
2．过点且斜率为的直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
3．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．若是正实数，则“”是“圆与圆有公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．圆与圆的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，，且为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知 ，是椭圆上的动点，是线段上的点，且满足，则动点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在长方体中，，，记为棱的中点，若空间中动点满足，则点的轨迹与侧面相交所形成的曲线长为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)
9．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值可以是（ ）
A．2 B．1 C．0.5 D．0.3
10．设圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且圆与直线相交的弦长为，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．△ABC的三个顶点坐标为A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列说法中正确的是（ ）
A．边BC与直线平行
B．边BC上的高所在的直线的方程为
C．过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为
D．过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D(3，5)
12．在边长为1的正方体中，M，N分别是，的中点，则（ ）
A．异面直线与MN所成的角为
B．二面角的正切值为
C．点C到平面BMN的距离是点到平面BMN的距离的2倍
D．过A，M，N三点的平面截该正方体所得截面的周长是
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．已知直线：与直线：垂直，则m的值为 .
14．方程化简后为 .
15．已知直线经过A（1,1,1）点B（0,2,0）求点P（0,0,2）到的距离
16．某正方体的顶点A在平面内，三条棱都在平面的同侧.若顶点B，C，D到平面的距离分别为，，2，则该正方体外接球的表面积为
第二卷（70分）
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)
已知直线与直线的交点为M.
(1)求过点M且与直线平行的直线的方程.
(2)求过点M且到点的距离为2的直线的方程；
18．(本题满分12分)
如图，在空间直角坐标系中有长方体，且，， ，求直线与平面所成角的正弦值．
19．(本题满分12分)
已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点，直线过定点.
(1)设点的轨迹为曲线，求的方程；
(2)若直线与曲线相交于两点，求面积取最大值时，直线的方程.
20．(本题满分12分)
如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．
(1)证明：；
(2)点在棱上，当二面角为时，求．
试卷第1页，共3页
21．(本题满分12分)
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图阳马中.平面.点在侧棱上，.
（1）证明:平面；
（2）求二面角的余弦值
22．(本题满分12分)
分别过椭圆左 右焦点 的动直线，相交于点，与椭圆分别交于 与 不同四点，直线 的斜率分别为 ，且满足，已知当与轴重合时，，.
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在定点，，使得为定值？若存在，求出 点坐标，若不存在，说明理由.1、 B 2、C 3、 C 4、 B 5、 B 6、 D 7、 B 8、D
9、 CD 10、 AC 11 、 BC 12、BCD
13、 -3 14、 15、 16、
17、（1）过点（1，2）且与x+3y+1=0平行的直线的斜率为：-，………………2分
所求的直线方程为：y-2=-（x-1），即x+3y-7=0．……………………………4分
（2）由l1：x-2y+3=0与l2：2x+3y-8=0联立方程x-2y+3=0与2x+3y-8=0解得，
∴l1，l2的交点M为（1，2），……………………………………………………6分
设所求直线方程为y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0，
∵P（0，4）到直线的距离为2，
∴，解得k=0或， …………………………………………………8分
∴直线方程为y=2或4x-3y+2=0；…………………………………………………10分
18、
由题得，，，，
………………………………………2分 .
设平面的法向量为，则………………4分
解得，令得，则，……………………………………5分
设直线与平面夹角为，
则…………………………………11分
故直线与平面所成角的正弦值为.……………………………12分
19、
（1）解：设点，因为的坐标是，且是线段的中点，
所以，又有点在圆上运动，
所以点坐标满足圆的方程，…………………………………………2分
即，整理得，
故点的轨迹为；…………………………………………4分
（2）由（1）知点的轨迹方程为，
即轨迹是以点为圆心，半径的圆， …………………………5分
①若直线斜率不存在，则直线，
因为圆心到直线的距离为2等于半径，
此时直线与圆相切，不存在两个不同交点，故不符合题意舍；……7分
②若直线的斜率存在，设直线，即，
由直线与圆相交于两点，圆心到直线的距离小于半径，
即，解得，…………………………………………9分
根据圆的性质可知：，
因为，
当且仅当，即时取等，
所以当时，有最大值为，此时，……11分
解得或，此时直线的方程为或．12分
20、
（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
，…………………………………………2分
，
又不在同一条直线上，
.………………………………………………………………………4分
（2）设，
则，
设平面的法向量，
则，
令 ，得，………………………………………………6分
，
设平面的法向量，
则，
令 ，得，………………………………………………………………8分
，
，
化简可得，，
解得或，
或，
.………………………………………………………………………12分
21、
（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则
…………………………1分
设
……………………3分
由得
即，解得，即
故在侧棱的中点；
连接交于点，连接，则为三角形的中位线
平面平面
平面；………………………………………………………………6分
（2）设为平面的一个法向量，则
而，，则…………8分
取，；
设是平面的一个法向量，则
而，
则…………………………………………10分
取
于是，
而二面角为钝角，故二面角的余弦值为……12分
22、
（1）解：当与轴重合时，，即，…………1分
由椭圆的对称性得直线垂直于轴，
∴，解得，………………2分
椭圆的方程为.………………………………………………3分
（2）解：焦点坐标分别为，
当直线或斜率不存在时，点坐标为或，………………4分
当直线斜率存在时，设斜率分别为，则直线的方程为：
设，
所以联立方程 得，
，…………………………………………5分
，…………………………6分
同理得，
∵，即，………………………………………7分
，即，
∵动直线，相交于点，∴，
，………………………………………………………………10分
设，则，即
由当直线或斜率不存在时，点坐标为或也满足，…………11分
点点在椭圆上，
存在点其坐标分别为，使得为定值……12分
