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人教版八年级（下册）
第十九章一次函数
19.2.3一次函数与方程、不等式
我们先来看下面两个问题：
（1）解方程2x+20=0。
（2）当自变量x为何值时函数y=2x+20的值为0？
问题：
1 对于2x+20=0 和y=2x+20，从形式上看，有什么相同和不同？
2 从问题本质上看，（1）和（2）有什么关系？
作出函数y=2x+20(2)的图象。
思考:函数图象哪一个点的坐标表示函数值为0
与x轴的交点(-10,0)
即当x=-10时，函数y=2x+20的值为0，这说明方程2x+20=0的解是x=-10。方程的解是函数与x轴的交点的横坐标.
20
-10
0
x
y
问题(1)解方程2x+20=0，
得x=-10。
所对应的（ ）为何值？
实质上这可以通过解方程2x+20=0,得出x=-10。因此，这两个问题实际上是同一个问题。
问题(2)就是要考虑当函数y=2x+20的值为（ ）时
自变量x
0
从图象上看：
思考：
由上面两个问题的关系，能进一步得到解方程ax+b=0（a， b为常数）与求自变量x为何值时，一次函数y=ax+b的值为0有什么关系？
由上面问题可以得到,一元一次方程的求解与解相应的一次函数问题相一致。
由于任何一个一元一次方程都可转化ax+b=0(a,b为常数,a 0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数值y为0时，求相应的自变量x的值.从图象上看,这相当于已知直线y=ax+b,确定它与x轴交点的横坐标的值.
求ax+b=0(a, b是
常数，a≠0)的解
X为何值y= ax+b
的值为0
求ax+b=0(a, b是
常数，a≠0)的解
确定直线y= ax+b
与X轴交点的横坐标
从数的角度看
从形的角度看
练习:以下的一元一次方程与一次函数问题是同一问题
序号 一元一次方程问题 一次函数问题
1 解方程3x－2=0 当x为何值时,
y=3x－2的值为0
2 解方程8x+3=0
3 当x为何值时,
y=-7x+2的值为0
4 解方程3x-2=8x+3
当x为何值时,
y=8x+3的值为0
解方程-7x+2=0
当x为何值时,
y=-5x-5的值为0
2、根据下列图象，你能说出哪些一元一次方程并说出相应方程的解？
x
x
x
x
y
y
y
y
0
0
0
0
2
2
-2
1
-1
5x=0
X=0
x+2=0
X=-2
-3x+6=0
X=2
x-1=0
X=1
综合应用
例１、一个物体现在的速度是５米／秒，其速度每秒
增加２米／秒，再过几秒它的速度为１７米／秒？
解法１：设再过ｘ秒物体的速度为１７米／秒。列方程
２ｘ＋５＝１７。
解得ｘ＝６。
解法２：速度ｙ（单位：米／秒）是时间ｘ（单位：秒）的函数
ｙ＝２ｘ＋５。
由 ２ｘ＋５＝１７，
由右图看出直线ｙ＝２ｘ－１２与ｘ轴的交点为（６，０）。
所以ｘ＝６。
得２ｘ－１２＝0。
用图象求方程２ｘ－１２＝０的解。
练习:
1、当自变量x的取值满足什么条件时，函数y=2x+8的值 满足下列条件？(1)y=0；(2)y=-8。
2、已知方程ax+b=0的解是-2，下列图象一定不是直线y=ax+b的是( )
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
-2
-2
-2
-2
-2
（A）
（B）
（C）
（D）
B
X=-4；
X=-8。
小 结
对于任意一个一元一次方程,它都可转化为:
一次函数的一般式为:
就是一次函数
自变量x的值.
从图象上看就是直线
与x轴交点的横坐标.
的值为0时
的解
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第十九章一次函数
19.2一次函数（第1课时）
2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318千米。设列车的平均速度为300千米/时。考虑以下问题：
1318÷300 = 4.4（时）.
y=300t （0≤x≤4.4）.
(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5小时的行程后，是否已经过了距始发站1100千米的南京南站？
(2) 京沪高铁列车y（单位：千米）与运行时间t（单位：时）之间有何数量关系？
当t=2.5时，y=300×2.5=750 （km）.
注意自变量的取值范围哦！
（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？
这时列车尚未到达距始发站1100千米的南京南站
下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？
（1）圆的周长 l随半径r的大小变化而变化.
解： l=2πr .
（2）铁的密度为7.8g/ cm3 ，铁块的质量
m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的大小变化而变化.
解：m =7.8 V .
（3）每个练习本的厚度为0.5 cm，一些练习本摞在一起的总厚度 h（单位：cm）随这些练习本的本数n的变化而变化.
解：h = 0.5n .
（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：分）的变化而变化．
解：T = －2t ．
认真观察以上出现的四个函数解析式，分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式 常数 自变量 函数
（1）l=2πr
（2）m=7.8V
（3）h=0.5n
（4）T= －2t
这些函数有什么共同点？
这些函数都是常数与自变量的乘积的形式！
2π
r
l
7.8
V
m
0.5
n
h
－2
t
T
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
勤学
好问
这里为什么强调k是常数， k≠0呢？
做一做 下列函数是否是正比例函数？比例系数是多少？
是，比例系数k=3.
不是.
是，比例系数k= .
你能举出一些正比例函数的例子吗？
S 不是r的正比例函数，S是
的正比例函数.
例 画出正比例函数 的图象：
列表：
x
y
描点：
连线：
请你画出
的图象．
试一试
观察 比较两个函数的相同点与不同点.
归纳
两图象都是经过原点的 ．函数 的图象从左向右 ，经过第 象限；函数 的图象从左向右 ，经过第 象限．
直线
上升
一、三
下降
二、四
练一练
在同一坐标系中画出
与
的图象,并
对它们进行比较.
一般地，正比例函数 y=kx (k是常数， )的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线 y=kx .当k>0时，直线y=kx经过第三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小．
总结新知
想一想？
经过原点与（１，k）的直线是正比例函数y=kx (k是常数， )的图象，由于两点确定一条直线，画正比例函数图象时，我们只需描点(0，0)和点 (1，k)，连线即可.
经过原点与（１，k）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？
新知应用
已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油15升．所使用的90#汽油今日涨价到5元/升．
（1）写出汽车行驶途中所耗油费 y（元）与行程 x（km）之间的函数关系式；
（2）在平面直角坐标系内描出大致的函数关系图；
（3）计算娄底到长沙220 km所需油费是多少？
y/元
x/km
1 2 3 4 5 6 7 8
6
5
4
3
2
1
O
解：（1）y=15×5x/100，
即 .
（2）
x 0 1
y 0
列表
（3）当
时，
娄底到长沙220公里所需油费是165元．
描点
连线
（元）.
今日作业
课本P98习题19.2第1题，第2题。
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第十九章一次函数
19.2.3一次函数与方程、不等式
练一练：
如图:当x——————一次函数y=x-2的值为0 ，
复习巩固
当x=2是一元一次方程———————的解.
=2
x-2=0
3
2
x
-2
y
0
Y=x-2
4
当x=3时，函数y=x-2的值是-------
1。
当x=4，函数y=x-2的值是--------。
2
思考：当x为何值 时，
函数Y=x-2对应
的值大于0 ？
上节课我们用函数观点，从数和形两个角度
学习了一元一次方程求解问题。
探究：
解：(1)把5x+6>3x+10转化为2x-4>0，解得x >2。
⑵就是要解不等式2x-4>0，解得x >2。
当x >2时，函数y=2x-4的值大于0。
(1)解不等式：5x+6>3x+10。
(2)当x为何值时，函数y=2x-4的值大于0？
议一议：在上面的问题解
决过程中，你能发现它们
之间有什么关系吗？
从数的角度看它们是同一个问题
2.我们如何用函数图象来解决5x+6>3x+10。
解：化简，得2x-4>0。画出直线y=2x-4的图象。
-4
2
y
x
0
Y=2x-4
可以看出，当x＞2时，这条
直线上的点在x轴的上方，
即这时y=2x-4>0。
从形的角度看它们是同一个问题
思考：
问题1：解不等式ax+b>0
问题2：求自变量x在什么范围内，一次函数 y=ax+b的值大于0
上面两个问题有什么关系？
从实践中得出，由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b＞0或ax+b＜0（a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y=ax+b的值大于0（或小于0）时，求自变量相应的取值范围。
从数的角度看：
求ax+b＞0(a≠0)的解 x为何值时y=ax+b的值大于0
从形的角度看：
求ax+b＞0(a≠0)的解 确定直线y=ax+b在x轴上方的
图象所对应的x的值
根据下列一次函数的图象，你能求出哪些不等式的解集？并直接写出相应的不等式的解集。
3x+6>0 ( x>- 2)
3x+6<0 ( x<- 2)
3x+6≥0 ( x ≥- 2)
3x+6≤0 ( x ≤ - 2)
y
x
0
-2
Y=3x+6
可以看出，当x<2时，这条直线上的点在x轴的下方，
解：化简，得3x-6<0。画出直线y=3x-6，
即这时y=3x-6<0，所以不等式的解集为x<2。
例1.用画函数图象的方法解不等式 5x+4<2x+10.
y
x
-6
2
0
Y=3x-6
尝试：
例2：已知函数Y1=5X+4，Y2=2X+10，求当X为何值时，Y1=Y2？X为何值时，Y1可以看出，它们交点的横坐标为2，
解法：画出直线Y1=5X+4与直线Y2=2X+10，
当X=2时， Y1=Y2。
当X＜2时，对于同一个X，直线
Y1=5X+4上的点在直线
Y2=2X+10上相应点的下方时，
5X+4 ＜ 2X+10，所以不等式的解集为X＜2。
Y1=5x+4
y
x
0
Y2=2X+10
2
你能有几种方法
解不等式
5x＋4＜2x＋10
-2
2、如图，直线L1, L2交于一点P，若y1 ≥y2 ，则（ ）
x ≥ 3
x ≤3
2 ≤ x ≤ 3
x ≤ 4
1、已知函数Y=3X+8，当X————————，函数
的值等于0。当X————————，函数的值大于0。当X———————— ，函数的值不大于2。
=
≤- 2
>
B
3.利用函数图象解不等式：3x－4＜x+2(用两种方法)
解法1：化简不等式得2x－6＜0，画出函数y＝2x－6的图象，当x＜3时y＝2x－6＜0，所以不等式的解集为x＜3。
解法2：画出函数y＝3x－4和函数y＝x+2的图象，交点横坐标为3，当x＜3时，对于同一个x，直线y＝3x－4上的点在直线y＝x+2上相应点的下方，这表示3x－4＜x+2，所以不等式的解集为x ＜ 3。
y
x
0
-6
3
Y=2x-6
3
y
x
0
y＝x＋2
y＝3x－4
五.小结一下
1.这节课我们学到了哪些知识？
2.我们是用哪些方法获得这些知识的？
3.你觉得还有什么问题需要继续讨论吗？
小 结
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第十九章一次函数
19.2.3一次函数与方程、不等式
一次函数
二元一次方程
y-3x=1
y=3x+1
y=3x+1这是什么？
1.对于方程3x+5y =8如何用x表示y
2.在平面直角坐标系中画出一次函数y= 的图象。
y = .
是不是任意的二元一次方程都能进行这样的转化呢？
活动一:探究一次函数与二元一次方程的关系
思考：在一次函数y= 上任取一点（x，y）
则x,y一定是方程 3x+5y=8的解吗？为什么？
即: 二元一次方程 (数)
相应的一次函数的图象(形)
对应
结论:
以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上.
反过来,一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程.
(1)在同一直角坐标系中画
y = x +
与 y = 2 x - 1的图象。
这个交点(1,1)是
方程组
的解吗
活动二:探究一次函数与二元一次方程组的关系
是否任意两个一次函数的交点坐标都是它们所对应的二元一次方程组的解？
是
是
y = x +
与 y = 2 x - 1的值相等
这个函数值是多少
(2)当自变量取何值时,函数
与解方程组:
是同一个问题吗
X=1
y=1
是
归纳总结:
从函数的观点看解
二元一次方程组
从“形”的角度看：解方程组相当于确定两条
直线的 交点坐标 。
从“数”的角度看：解方程组相当于考虑
当 自变量 为何值时,两个 函数值相等
以及这个函数值是何值。
应 用
市内通话问题
全球通：月租费50元，0.4元/分
神州行：0.6元/分
如何选择计费方式更省钱
今日作业
课本P100习题19.2第15题。
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第十九章一次函数
19.2一次函数（第3课时）
1．反思：你在作一次函数图象时，分别描 了几个点？
2.引入：在上节课中我们学习了在给定一次函数解析式的前提下，我们可以说出它的图象特征及有关性质；反之，如果给你信息，你能否求出函数的解析式呢？这将是本节课我们要研究的问题
你为何选取这几个点？
可以有不同取法吗？
例4(待定系数法)
已知一次函数的图象过点 (3,5) 与 (-4,-9),
求这个一次函数的解析式.
y
x
0
(3,5)
(-4,-9)
3
5
-4
-9
解：设这个一次函数的解析式为
y=kx+b。
把x=3,y=5；x=-4,y=-9
3k+b=5，
分别代入上式，得
-4k+b=-9。
y
x
0
(3,5)
(-4,-9)
3
5
-4
-9
解：设这个一次函数的解析式为
y=kx+b。
把x=3,y=5；x=-4,y=-9
3k+b=5，
分别代入上式，得
-4k+b=-9。
解得
b=-1，
k= 2。
一次函数的解析式为
y=2x-1。
解：设这个一次函数的解析式为
y=kx+b。
把x=3,y=5；x=-4,y=-9
3k+b=5，
分别代入上式，得
-4k+b=-9。
解得
k=2，
b=-1。
一次函数的解析式为
y=2x-1。
设
代
解
写
先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而具体写出这个式子的方法,叫做待定系数法.
解题的四个步骤:
第一步：设，设出函数的一般形式。(称一次函数的通式)
第二步：代，代入解析式得出方程或方程组。
第三步：求，通过列方程或方程组求出待定系数k,b的值。
第四步：写，写出该函数的解析式。
整理归纳
从数到形
从形到数
数学的基本思想方法：数形结合
3．练习：
（1）已知一次函数的图象经过点（1，-1）和点（-1，2）。求这个函数的解析式。
（2）已知一次函数y=kx+b中，当x=1时，y=3，当x=-1时，y=7。求这个函数的解析式。且求当x=3时,y的值。
（3）师：已知直线上两点坐标，能求出这条直线的解析式，若不直接告诉两点的坐标，已知这条直线的图象，能否求出它的解析式？
如：
1）已知一次函数的图象经过点（1，-1）和点（-1，2）。求这个函数的解析式。
解:设这个一次函数的解析式为y=kx+b。
把x=1,y=-1；x=-1,y=2,分别代入上式，得
﹛
K+b=-1，
-k+b=2。
解得
﹛
K= ，
b= 。
一次函数的解析式为y= x 。
(2)解:把x=1,y=3；x=-1,y=7,分别代入y=kx+b，得
﹛
K+b=3，
-k+b=7。
解得
﹛
K=-2，
b=5。
一次函数的解析式为y=-2x+5。
当x=3时 ，y=-1。
(3)由题意已知一次函数的图象经过点（2，0）和点（0，-3），
设这个一次函数的解析为y=kx+b。
把x=2,y=0；x=0,y=-3分别代入上式，得
﹛
2k+b=0，
b=-3。
解得
﹛
K= ，
b=-3。
一次函数的解析式为y= x-3。
1、选择题
(1)一次函数的图象经过点(2,1)和点(1,5)，则这个一次函数是( )
A.y=4x+9 B. y=4x-9 C. y=-4x+9 D. y=-4x-9
(2)已知点P的横坐标与纵坐标之和为1，且这点在直线y=x+3上，则该点是( )
A.(-7,8) B. (-5,6) C. (-4,5) D. (-1,2)
(3)若点A(-4,0)、B(0,5)、C(m,-5)在同一条直线上，则m的值是( )
A.8 B.4 C.-6 D.-8
C
(4)一次函数的图象如图所示，则k、b的值分别为( )
A.k=-2,b=1 B.k=2,b=1 C.k=-2,b=-1 D.k=2,b=-1
1
1
X
Y
A
D
D
尝试练习
1. 已知一次函数 ，
当
时,
的值为4, 求
的值.
2.已知直线 y=kx+b 经过点(9,0)和
点(24,20)，求k、b的值.
3.一次函数y=kx+5与直线y=2x-1交于点P(2，m)，求k、m的值.
4.一次函数y=3x-b过A(-2,1)则b= ,该图象经过点B( ,-1)和点C(0, ).
5.已知函数y=kx+b的图象与另一个一次函数y=-2x-1的图象相交于y轴上的点A，且x轴下方的一点B(3，n)在一次函数y=kx+b的图象上，n满足关系n2=9.求这个函数的解析式.
小结
本节课里你学到了什么？？？
(1)会用待定系数法求函数的解析式.
(2)一次函数图象的性质及其应用
今日作业
课本P99习题19.2第6题，第7题。
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第十九章一次函数
19.2一次函数（第2课时）
某登山队大本营所在地的气温为5 C，海拔每升高1km气温下降6 C，登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在的位置的气温是y C，试用解析式表示y与x的关系。
下列问题中变量间的对应关系可用怎样的
函数表示？这些函数有什么共同点？
（1）有人发现，在20~25 c时蟋蟀每分鸣叫次数c与温度t
有关，即c的值大约是t的7倍与35的差；
c=7t-35（ ）
（2）一种计算成年人标准体重G（单位：kg）的方法是，以厘米为单位量出身高值h，再减去常数105，所得差是G的值；
G=h-105
（3）某城市的市内电话的月收额y（单位：元）包括：
月租费22元，拨打电话x分的计时费（按0.1元每分收取）；
y=0.1x+22（x≥0）
（4）把一个长10cm、宽5cm的长方形的长减少xcm，宽
不变，长方形的面积y随x的变化而变化。
y=-5x+50
这些函数解析式有什么特点？
y=-6x+5；y=0.1x+22；
y=-5x+50。
都是自变量的k倍与一个常数的和
一般地，形如y=kx+b（k，b是常数， k≠0）的函数，叫做一次函数。
当b=0时，即y=kx，所以说正比例函数是特殊的一次函数
1.下列函数中，哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？
2.已知函数 。（1）当m＿ ＿，
n ＿ ＿时，此函数是一次函数；当m＿ ＿，n ＿ ＿时，
此函数是正比例函数。
≠ 3／5
=1
=-1
=1
3.下列说法正确的是＿ ＿ ＿ ＿（填序号）
①正比例函数一定是一次函数； ②一次函数一定是正比例函数；
③若y-1与x成正比例，则y是x的一次函数； ④若y=kx+b，则y是
x的一次函数。
① ③
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
-15
-10
-5
5
10
15
h
x
(
)
= -6
×
x+5
g
x
(
)
= -6
×
x+5
f
x
(
)
= -6
×
x
从图像形状，倾斜程度及与
y轴交点坐标上比较两个图像。
画出函数y=2x-1与y=-0.5x+1的图像。
x 0 1
y=2x-1 -1 1
y=-0.5+1 1 0.5
由于一次函数图像是直线，所以只要确定两个点
就能画出它。
y=2x-1
y=-0.5x+1
(1,1)
(1,0.5)
(0,-1)
(0,1)
y=x+1
y=2x+1
y=-2x+1
y=-x+1
发现:
（1） 当k＞0时，函数的图象从左到右上升,y随x的增大而增大，必经过第一.三象限；
（2） 当k＜0时，函数的图象从左到右_____． y随x的增大而_____，必经过第____象限
下降
减小
二.四
本节学习了一次函数的意义，知道了其解析式、图象特征，并学会了简单方法画图象，进而利用数形结合的探究方法寻求出一次函数图象特征与解析式的联系，这使我们对一次函数知识的理解和掌握更透彻，也体会到数学思想在数学研究中的重要性．
小结
今日作业
课本P93练习第2题，第3题。
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